22　第三章　第22课时　利用导数解决恒(能)成立问题

*第22课时利用导数解决恒(能)成立问题第三章一元函数的导数及其应用

[解]

法一(函数最值法)：x2f(x)＋a≥2－e，即xln

x－ax＋a＋e－2≥0对任意x∈(0，＋∞)恒成立．令h(x)＝xln

x－ax＋a＋e－2，则h'(x)＝ln

x＋1－a．

法三(数形结合法)：通过变形原不等式等价于xln

x≥a(x－1)＋2－e，x∈(0，＋∞)．若令g(x)＝xln

x和h(x)＝a(x－1)＋2－e，则只需令函数g(x)的图象在直线h(x)的上方．首先分析g(x)＝xln

x的图象．可知当x∈(0，e-1)时，g(x)单调递减；当x∈(e-1，＋∞)时，g(x)单调递增，且g(x)min＝g(e-1)＝－e-1．其次分析h(x)＝a(x－1)＋(2－e)的图象．因为a≥0，所以h(x)表示过定点(1，2－e)的非递减函数，且g(x)min＝－e-1>2－e．两个函数的大致图象如图1所示，所以如果能说明当曲线g(x)和h(x)相切时二者只有一个切点，如图2，就能求出a的最大值．

因为t(0)＝－e-1＋e－2>0，所以函数t(a)在区间[0，1]上无零点，又t(2)＝0，所以函数t(a)在区间(1，＋∞)上有且仅有一个零点．综上所述，a的取值范围为[0，2]．名师点评：导数背景下不等式恒成立问题，有四种常见解法：函数最值法、分离参数法、数形结合法和端点效应法(详见教材拓展端点效应)．[巩固迁移]1．(2025·河南鹤壁二模)已知函数f(x)＝tx＋lnx(t∈R)．(1)当t＝－1时，证明：f(x)≤－1；(2)若对于定义域内的任意x，f(x)≤x·e2x－1恒成立，求t的取值范围．

[解]

(1)当a＝1时，f(x)＝ex＋x2－x，f'(x)＝ex＋2x－1．令h(x)＝f'(x)＝ex＋2x－1(x∈R)，则h'(x)＝ex＋2>0恒成立，∴h(x)在R上单调递增，又∵h(0)＝0，即f'(0)＝0，∴当x∈(－∞，0)时，f'(x)<0；当x∈(0，＋∞)时，f'(x)>0．综上所述，当a＝1时，f(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

①当a≤0时，g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g'(0)＝0，所以g'(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝0成立；②当0<a≤1时，令h(x)＝g'(x)，h'(x)＝ex－a>0，g'(x)在(0，＋∞)上单调递增，又g'(0)＝0，所以g'(x)>0，g(x)在(0，＋∞)上单调递增，g(x)>g(0)＝0成立；③当a>1时，令h(x)＝g'(x)，当0<x<ln

a时，h'(x)＝ex－a<0，则g'(x)单调递减，又g'(0)＝0，所以g'(x)<0，g(x)单调递减，又g(0)＝0，所以g(x)<g(0)＝0，不符合题意．综上，a的取值范围为(－∞，1]．名师点评：能成立问题一般是通过分离参数或移项作差构造函数来解决，单变量能成立问题中的等价转化有以下两种形式：(1)存在x∈[a，b]，f(x)≥a成立⇔f(x)max≥a．(2)存在x∈[a，b]，f(x)≤a成立⇔f(x)min≤a．

[解]

(1)当a＝1时，f(x)＝x－ex，则f'(x)＝1－ex，当x<0时，f'(x)>0，当x>0时，f'(x)<0，所以函数f(x)在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，所以函数f(x)的极大值为f(0)＝－1，无极小值．

名师点评：双变量恒(能)成立问题，一定要正确理解其实质，深刻挖掘内含条件，进行等价转换，常见的等价转换有：(1)∀x1，x2∈D，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)max．(2)∀x1∈D1，∃x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)min>g(x)min．(3)∃x1∈D1，∀x2∈D2，f(x1)>g(x2)⇔f(x)max>g(x)max．

1．已知函数f(x)＝x2lnx．(1)讨论f(x)的单调性；(2)若存在x>0，使得f(x)≤ax成立，求实数a的取值范围．课后作业(二十二)利用导数解决恒(能)成立问题

(2)f(x)在[0，2]上的值域为[0，4]，g(x)在[0，2]上的值域为[－a，ln

3－a]，若对任意的x1，x2∈[0，2]，恒有f(x1)>g(x2)，则f(x)min>g(x)max，即0>ln

3－a，所以a>ln

3．所以实数a的取值范围为(ln

3，＋∞)．(3)若对任意的x2∈[0，2