77　备考纵深·高阶思维突破攻略　疑难突破

疑难突破备考纵深·高阶思维突破攻略疑难突破1

抽象函数求值问题抽象函数求值问题是近几年高考的一个热点，常结合函数性质综合考查学生的能力，解决此类问题的方法一般有三种：赋值法、函数性质法和构造函数法．

√[赏析]

法一(赋值法)：突破点：对变量x或y适当赋值，发现函数f(x)的特性．令y＝1，得f(x＋1)＋f(x－1)＝f(x)·f(1)＝f(x)⇒f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，故f(x＋2)＝f(x＋1)－f(x)，f(x＋3)＝f(x＋2)－f(x＋1)，得到f(x＋3)＝－f(x)，f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，故f(x)的周期为6．

√√

2．已知函数f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，且f(1)＝1，则f(2026)＝_____________．6076

[令y＝1，得到f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＋2＝f(x)＋3，所以f(2)＝f(1)＋3，f(3)＝f(2)＋3，f(4)＝f(3)＋3，…，f(2

025)＝f(2

024)＋3，f(2

026)＝f(2

025)＋3，累加得到f(2)＋f(3)＋…＋f(2

026)＝f(1)＋f(2)＋…＋f(2

025)＋3×2

025，即f(2

026)＝f(1)＋3×2

025＝1＋

6

075＝6

076．]6076疑难突破2

嵌套函数零点问题函数的零点是高考命题的热点，常与函数的性质等相关问题交汇．对于嵌套函数的零点，通常先“换元解套”，将复合函数拆解为两个相对简单的函数，借助函数的图象、性质求解．

[－1，＋∞)[赏析]

第一步：换元解套设t＝f(x)，令f(f(x))－a＝0，则a＝f(t)．第二步：辅助图象在同一平面直角坐标系内作出y＝a，y＝f(t)的图象(如图)．第三步：数形结合当a≥－1时，y＝a与y＝f(t)的图象有两个交点．设交点的横坐标为t1，t2(不妨设t2>t1)，则t1<－1，t2≥－1．当t1<－1时，t1＝f(x)有一解；当t2≥－1时，t2＝f(x)有两解．第四步：归纳总结综上，当a≥－1时，函数g(x)＝f(f(x))－a有三个不同的零点．名师点评：该类问题考查复合函数的零点的判断，换元法和数形结合思想是解决本类问题的关键．含参数的嵌套函数方程，应注意让参数的取值“动起来”，抓临界位置，动静结合，如本例由y＝a与y＝f(t)的图象，确定t1，t2的取值范围，进而由y＝f(x)与y＝t的图象确定零点的个数．

√D

[当a≥0，x≤0时，f(x)＝－x2＋2ax的对称轴为x＝a≥0，所以f(x)在(－∞，0)上单调递增，函数图象如图1．令f(x)＝t，y＝f(f(x))＝f(t)＝0，解得t＝0或t＝1，即f(x)＝t＝0或f(x)＝t＝1，根据图象f(x)＝t＝0有2个解，f(x)＝t＝1有1个解，所以此时y＝f(f(x))有3个零点，不符合题意．

疑难突破3

导函数与原函数性质间的关系1．导函数与原函数对称性、周期性的关系性质1：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于直线x＝a对称⇔导函数f'(x)的图象关于点(a，0)对称．性质2：若函数f(x)连续且可导，则f(x)的图象关于点(a，f(a))对称⇔导函数f'(x)的图象关于直线x＝a对称．性质3：f(x)的图象是周期为T的周期函数⇔f'(x)的图象是周期为T的周期函数．2．导函数与原函数奇偶性的关系性质1：若f(x)为偶函数且可导，则f'(x)为奇函数．性质2：若f(x)为奇函数且可导，则f'(x)为偶函数．

√√

名师点评：求解此类问题的关键是熟知原函数与导函数间的性质关系，明确函数的奇偶性、对称性、周期性之间的转化条件，体会赋值法在解题中的应用．【纵深攻略】1．设函数f(x)的定义域为R，f'(x)是f(x)的导函数．若f(x＋1)是奇函数，则f'(x)的图象(

)A．关于点(1，0)对称B．关于直线x＝1对称C．关于点(－1，0)对称D．关于直线x＝－1对称√B

[因为f(x＋1)是奇函数，所以f(x＋1)＝－f(－x＋1)，即f(x＋1)＋f(－x＋1)＝0，对其求导，则有f'(x＋1)－f'(－x＋1)＝0，所以f'(x)的图象关于直线x＝1对称．故选B．]

√√√

√√√ACD

[因为f'(x)＝g'(x－1)，则f(x)＋a＝g(x－1)＋b，因为g(x)－f(3－x)＝2，所以g(x)＝f(3－x)＋2，用3－x去替换x，所以有f(x)＝g(3－x)－2，所以有g(3－x)－2＋a＝g(x－1)＋b，令x＝2，则g(1)－2＋a＝g(1)＋b，则a－2＝b，故g(3－x)＝g(x－1)，用x＋1替换x，可得g(2－x)＝g(x)，则函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，故A正确；

疑难突破4

隐零点问题在解导数综合题时，经常会碰到这种情形：导函数存在零点，但是不能求出具体的解，这种零点我们称之为隐零点，相应的问题称为隐零点问题．这类问题的解题思路是对函数的零点设而不求，通过整体代换和过渡，再结合题目条件解决问题．【典例展示】已知函数f(x)＝xex－lnx－1，若f(x)≥mx恒成立，求实数m的取值范围．

由切线不等式得ex+ln

x－(x＋ln

x)－1≥0，故(1－m)x≥0(x>0)恒成立，所以1－m≥0，即m≤1，即实数m的取值范围是(－∞，1]．名师点评：函数零点存在但不可求时，常虚设零点，利用函数零点存在定理估计所设零点所在的一个小区间(区间长度小于1个单位长度)，然后利用零点所满足的关系进行代换化简．【纵深攻略】1．证明：xex－x－lnx－1≥0．

2．已知f(x)＝ex，g(x)＝lnx．证明：f(x)>g(x)＋2．

疑难突破5

截面、交线问题在立体几何中，截面是指用一个平面去截一个几何体得到的平面图形，截线就是平面与相应几何体面的公共线．解答此类问题的关键是熟知立体几何理论体系，提升空间想象能力．

√√√

名师点评：空间几何体的截面作图的常用方法(1)平行线法．用平行线法解决截面问题的关键是：截面与几何体的两个平行平面相交，或者截面有一条直线与截面上某点所在的几何体的某一个表面平行．(2)延长线法．用延长线法解决截面问题的关键是：截面上至少有两个点在一个几何体的一个表面上，那么这两点的连线一定在截面内．

√

名师点评：作交线的两种方法(1)利用基本事实3作交线．(2)利用线面平行及面面平行的性质定理去寻找线面平行及线线平行，然后根据性质作出交线．

√

疑难突破6

圆锥曲线“非对称”根与系数的关系问题的多角度思考对于某些圆锥曲线大题，在联立直线与圆锥曲线的方程时，常常会涉及一元二次方程，它的两个根x1，x2满足根与系数的关系．一般来说，在应用题设条件解决问题时，常常能凑出x1＋x2和x1x2，但有些时候无法直接凑出这两个式子，进而无法直接代入根与系数的关系，这就是所谓的“非对称”的根与系数的关系问题．下面通过对一道圆锥曲线“非对称”结构问题的多角度切入求解，给出其适当的拓展与变式，以探究圆锥曲线非对称结构问题的一般性解决方法．

名师点评：代数式y1＝－2y2为非对称结构，需要通过适当的处理使之变为对称结构，下面就以此为例，给出此类y1＝λy2(或x1＝λx2)问题的几种处理方法，并对其进行拓展．

拓展2

配凑法由y1＋λy2＝0配凑，得λ(y1＋y2)＝(λ－1)y1，y1＋y2＝(1－λ)y2，两式相乘，可得λ(y1＋y2)2＝－(λ－1)2y1y2，从而将问题转化为对称结构．

拓展3

方程组法该拓展的实质是借助方程思想，由非对称式结合根与系数的关系，列方程组解答．

疑难突破7

二项分布与超几何分布的区别与联系

超几何分布二项分布区别描述的是不放回抽样问题(总体在变化)，一次性取描述的是有放回抽样问题(总体不改变)，一个一个地取考察对象分为两类每一次试验是伯努利试验已知各类对象的个数联系(当总体容量很大时)超几何分布可近似看作二项分布【典例展示】某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水线上的40件产品作为样本称出它们的质量(单位：g)，质量的分组区间为(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到样本的频率分布直方图(如图)．(1)根据频率分布直方图，求样本中质量超过505g的产品数量；(2)在上述抽取的40件产品中任取2件，设X为质量超过505g的产品数量，求X的分布列；(3)从该流水线上任取2件产品，设Y为质量超过505g的产品数量，求Y的分布列．[赏析]

(1)质量超过505

g的产品的频率为5×0.05＋5×0.01＝0.3，所以样本中质量超过505

g的产品数量为40×0.3＝12．

X012P

Y012P名师点评：抓住超几何分布与二项分布各自的特征，明确两者间的区别与联系是解决此类问题的关键所在．【纵深攻略】一个袋中放有大小、形状均相同的小球，其中有1个红球、2