34　第四章　第34课时　正弦定理、余弦定理的应用举例

第34课时正弦定理、余弦定理的应用举例第四章三角函数与解三角形[考试要求]能够运用正弦定理、余弦定理等知识解决一些与测量和几何计算有关的实际问题．以题引理·激活思维

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4．(北师大版必修第二册P125练习T1改编)曲柄连杆结构的示意图如图所示，当曲柄OA在水平位置OB时，连杆端点P在Q的位置，当OA自OB顺时针方向旋转角α(α>0)时，P和Q之间的距离是xcm，若OA＝3cm，OQ＝10cm，x＝5，请写出一个满足题意的角α的值______________________．

5．(湘教版必修第二册P49例10改编)如图，为了测量河对岸的塔高AB，有不同的方案，其中之一是选取与塔底B在同一水平面内的两个点C和D，测得CD＝200m，在C点和D点测得塔顶A的仰角分别是45°和30°，且∠CBD＝30°，则塔高AB＝_____________m．200

测量中的几个常用术语术语名称术语意义图形表示在目标视线与水平视线(两者在同一铅垂平面内)所成的角中，目标视线在水平视线上方的叫做____，目标视线在水平视线下方的叫做____仰角俯角术语名称术语意义图形表示方位角从某点的指北方向线起按顺时针方向到目标方向线之间的夹角叫做______，方位角θ的范围是____________方位角正北或正南方向线与目标方向线所成的锐角，通常表达为北(南)偏东(西)α例：(1)北偏东α：

(2)南偏西α：

方位角[0，2π)1．理解仰角、俯角、方向角、方位角，正确画图是解题的关键．2．对于立体测量问题，通常要转化为两类平面问题，一是竖直放置的平面，通常要解直角三角形；另一类是水平放置的平面，通常要解斜三角形．

精研考点·提升素养√

名师点评：距离问题的解题思路：选择合适的辅助测量点，构造三角形，将问题转化为求某个三角形的边长问题，从而利用正、余弦定理求解．

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名师点评：解决高度问题的三个注意事项(1)要理解仰角、俯角的定义．(2)在实际问题中可能会遇到空间与平面(底面)同时研究的问题，这时最好画两个图形，一个空间图形，一个平面图形．(3)注意山或塔垂直地面或海平面，把空间问题转化为平面问题．[巩固迁移]2．[高考改编]三角高程测量法是珠峰高程测量方法之一．如图是三角高程测量法的一个示意图，现有A，B，C三点，且A，B，C在同一水平面上的投影A'，B'，C'满足∠A'C'B'＝45°，∠A'B'C'＝60°．由C点测得B点的仰角为15°，BB'与CC'的差为100；由B点测得A点的仰角为45°，则A，C两点到水平面的高度差为_____________．

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2．在一堂数学实践探究课中，同学们用镜面反射法测量学校钟楼的高度．如图所示，将小镜子放在操场的水平地面上，人退后至从镜中能看到钟楼顶部的位置，此时测量人和小镜子的距离为a1＝1.00m，之后将小镜子前移a＝6.00m，重复之前的操作，再次测量人与小镜子的距离为a2＝0.60m，已知人的眼睛距离地面的高度为h＝1.75m，则钟楼的高度大约是(

)A．27.75m

B．27.25mC．26.75m D．26.25m√

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名师点评：解决角度问题的三个注意事项(1)测量角度时，首先应明确方位角及方向角的含义．(2)求角的大小时，先在三角形中求出其正弦值或余弦值．(3)在解应用题时，要根据题意正确画出示意图，通过这一步可将实际问题转化为可用数学方法解决的问题，解题过程中要注意体会正、余弦定理综合使用的优点．[巩固迁移]3．在一次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12km的水面上，有蓝方一艘小艇正以10km/h的速度沿南偏东75°方向前进，若侦察艇以14km/h的速度，沿北偏东45°＋α方向拦截蓝方的小艇．若要在最短的时间内拦截住，则红方侦察艇所需的时间为_____________h，角α的正弦值为_____________．2

【教用·备选题】(1)如图所示，工程师为了了解深水港码头海域海底的构造，在海平面内一条直线上的A，B，C三点进行测量．已知AB＝60m，BC＝120m，于A处测得水深AD＝120m，于B处测得水深BE＝200m，于C处测得水深CF＝150m，则cos∠DEF＝_____________．

(2)如图所示，位于A处的信息中心获悉：在其正东方向相距40nmile的B处有一艘渔船遇险，在原地等待营救．信息中心立即把消息告知在其南偏西30°，相距20nmile的C处的乙船，现乙船朝北偏东θ的方向沿直线CB前往B处救援，则cosθ的值为_____________．

题号135246879课后作业(三十四)正弦定理、余弦定理的应用举例√

题号135246879题号213456879

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题号2134568793．古代数学家刘徽编撰的《重差》是中国最早的一部测量学著作，也为地图学提供了数学基础．现根据刘徽的《重差》测量一个球体建筑物的高度，如图，已知点A是球体建筑物与水平地面的接触点(切点)，地面上B，C两点与点A在同一条直线上，且在点A的同侧．若在B，C处分别测得球体建筑物的最大仰角为60°和20°，且BC＝100m，则该球体建筑物的高度约为(cos10°≈0.985)(

)A．49.25m B．50.76mC．56.74m D．58.60m题号213456879√

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题号213456879题号213456879

三、填空题6．(人教A版必修第二册P51练习T2改编)某校学生参加课外实践活动“测量一土坡的倾斜程度”，在坡脚A处测得∠PAC＝15°，沿土坡向坡顶前进25m后到达D处，测得∠PDC＝45°．已知旗杆CP＝10m，PB⊥AB，土坡对于地平面的坡度为θ，则cosθ＝_________．题号213456879

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题号2134568792

题号213456879四、解答题8．如图，一辆汽车在一条水平公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧远处一山顶D在北偏西45°的方向上，仰角为30°，行驶4km后到达B处，测得此山顶在北偏西30°的方向上．(1)求此山的高度；(2)设汽车行驶过程中仰望山顶D的最大仰角为θ，求tanθ．题号213456879

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题号2134568799．如图，一智能扫地机器人在A处发现位于它正西方向的B处和北偏东30°方向上的C处分别有需要清扫的垃圾，红外线感应测量发现机器人到B的距离比到C的距离少0.4m，于是选择沿A→B→C路线清扫．已知智能扫地机器人的直线行走速度为0.2m/s，忽略机器人吸入垃圾及在B处旋转所用时间，10s完成了清扫任务．(1)求B，C两处垃圾之间的距离；(精确到0.1m)(2)求智能扫地机器人此次清扫行走路线的夹角B的余弦值．2025课标新变化：数学是重大科技创新发展的基础．题号213456879

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题号135246879101112阶段评估(六)

(第31课时~第34课时)√

题号135246879101112题号2134568791011122．(2026·江苏南通模拟)在△ABC中，若(a＋b＋c)·(a－b＋c)＝ac，则B＝(

)A．30° B．60°C．120° D．150°√

题号213456879101112√

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