69　第九章　第69课时　离散型随机变量的分布列和数字特征

第69课时离散型随机变量的分布列和数字特征第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[考试要求]1．理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念．2．理解并会求离散型随机变量的数字特征．以题引理·激活思维1．(人教A版选择性必修第三册P60练习T2(1)改编)抛掷两枚骰子一次，记第一枚骰子掷出的点数减第二枚骰子掷出的点数之差为ξ，则“ξ≥5”表示的试验结果是(

)A．第一枚6点，第二枚2点 B．第一枚5点，第二枚1点C．第一枚1点，第二枚6点 D．第一枚6点，第二枚1点√D

[第一枚的点数减去第二枚的点数不小于5，即只能等于5．故选D．]2．(苏教版选择性必修第二册P146T7)设随机变量X的可能取值为1，2，…，n，并且取1，2，…，n是等可能的．若P(X<4)＝0.3，则下面结论中正确的是(

)A．n＝3 B．n＝4C．n＝10 D．n不能确定√

3．(多选)(人教B版选择性必修第二册P89练习A

T5改编)设离散型随机变量X的分布列为若离散型随机变量Y满足Y＝2X＋1，则下列结果正确的是(

)A．q＝0.1 B．E(X)＝2，D(X)＝1.4C．E(X)＝2，D(X)＝1.8 D．E(Y)＝5，D(Y)＝7.2X01234Pq0.40.10.20.2√√√ACD

[因为q＋0.4＋0.1＋0.2＋0.2＝1，所以q＝0.1，故A正确；E(X)＝0×0.1＋1×0.4＋2×0.1＋3×0.2＋4×0.2＝2，D(X)＝(0－2)2×0.1＋(1－2)2×0.4＋(2－2)2×0.1＋(3－2)2×0.2＋(4－2)2×0.2＝1.8，故B错误，C正确；因为Y＝2X＋1，所以E(Y)＝2E(X)＋1＝5，D(Y)＝4D(X)＝7.2，故D正确．故选ACD．]4．(人教A版选择性必修第三册P60练习T3改编)已知随机变量X服从两点分布，且P(X＝0)＝2a，P(X＝1)＝a，那么a＝_____________．

1．随机变量的有关概念(1)随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有______的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量．(2)离散型随机变量：可能取值为有限个或可以____________的随机变量．唯一一一列举2．离散型随机变量的分布列及性质(1)一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n为X的概率分布列，简称分布列．(2)离散型随机变量分布列的性质①pi____0，i＝1，2，…，n；②p1＋p2＋…＋pn＝__．≥1

X01P1－pp我们称X服从两点分布或0－1分布．提醒：随机变量X只取两个值的分布未必是两点分布．4．离散型随机变量的均值与方差离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xnPp1p2…pn(1)称E(X)＝______________________＝

__________为随机变量X的_________或数学期望，数学期望简称______．它反映了离散型随机变量取值的____________．x1p1＋x2p2＋…＋xnpn均值

期望平均水平(2)称D(X)＝_________________为随机变量X的方差，可以用来度量随机变量X的取值与其均值E(X)的____________，并称________为随机变量X的标准差，记为σ(X)．

偏离程度

5．均值与方差的性质(1)E(aX＋b)＝______________．(a，b为常数)(2)D(aX＋b)＝____________．(a，b为常数)(3)D(X)＝E(X2)－(E(X))2．aE(X)＋ba2D(X)1．求离散型随机变量X的均值与方差的步骤(1)理解X的意义，写出X可能的全部值；(2)求X取每个值的概率；(3)写出X的分布列；(4)由均值、方差的定义求E(X)，D(X)．2．若X1，X2相互独立，则E(X1·X2)＝E(X1)·E(X2)．

精研考点·提升素养√

名师点评：分布列性质的两个作用(1)利用分布列中各事件概率之和为1可求参数的值及检查分布列的正确性．(2)随机变量X所取的值分别对应的事件是两两互斥的，利用这一点可以求随机变量在某个范围内的概率．[巩固迁移]1．设X是一个离散型随机变量，其分布列为则q＝_____________．X－101P1－qq－q2

【教用·备选题】1．(多选)设离散型随机变量X的分布列为X－10123P

√√

2．设离散型随机变量X的分布列为

(1)求2X＋1的分布列；(2)求随机变量η＝|X－1|的分布列．X01234P0.20.10.10.3m[解]

(1)由分布列的性质知，0.2＋0.1＋0.1＋0.3＋m＝1，得m＝0.3．列表为X012342X＋113579从而2X＋1的分布列为2X＋113579P0.20.10.10.30.3(2)由(1)知m＝0.3，列表为X01234|X－1|10123所以P(η＝1)＝P(X＝0)＋P(X＝2)＝0.2＋0.1＝0.3，P(η＝0)＝P(X＝1)＝0.1，P(η＝2)＝P(X＝3)＝0.3，P(η＝3)＝P(X＝4)＝0.3，故η＝|X－1|的分布列为η0123P0.10.30.30.3

X12345P

名师点评：离散型随机变量分布列的求解步骤[巩固迁移]2．(2026·广东深圳模拟)离散型随机变量X的分布列如下：X1234Pm0.3n0.2若E(X)＝2.7，则下列结论错误的是(

)A．m＋n＝0.5 B．E(3X－1)＝7.1C．D(X)＝0.81 D．P(X>2)＝0.5√D

[由分布列的性质可得m＋n＋0.3＋0.2＝1，则m＋n＝0.5，故A正确；E(X)＝2.7，则E(3X－1)＝3E(X)－1＝8.1－1＝7.1，故B正确；由E(X)＝m＋0.6＋3n＋0.8＝2.7，则m＋3n＝1.3，联立m＋n＝0.5，所以m＝0.1，n＝0.4，D(X)＝(1－2.7)2×0.1＋(2－2.7)2×0.3＋(3－2.7)2×0.4＋(4－2.7)2×0.2＝0.81，C正确；P(X>2)＝P(X＝3)＋P(X＝4)＝0.4＋0.2＝0.6，故D错误．故选D．]【教用·备选题】(2022·全国甲卷)甲、乙两个学校进行体育比赛，比赛共设三个项目，每个项目胜方得10分，负方得0分，没有平局．三个项目比赛结束后，总得分高的学校获得冠军．已知甲学校在三个项目中获胜的概率分别为0.5，0.4，0.8，各项目的比赛结果相互独立．(1)求甲学校获得冠军的概率；(2)用X

表示乙学校的总得分，求X

的分布列与期望．

(2)由题意可知，X

的可能取值为0，10，20，30，所以，P(X＝0)＝0.5×0.4×0.8＝0.16，P(X＝10)＝0.5×0.4×0.8＋0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＝0.44，P(X＝20)＝0.5×0.6×0.8＋0.5×0.4×0.2＋0.5×0.6×0.2＝0.34，P(X＝30)＝0.5×0.6×0.2＝0.06

．X的分布列为X0102030P0.160.440.340.06期望E(X)＝0×0.16＋10×0.44＋20×0.34＋30×0.06＝13．考点三

数字特征在决策中的应用[典例3]

(2024·新高考Ⅱ卷)某投篮比赛分为两个阶段，每个参赛队由两名队员组成．比赛具体规则如下：第一阶段由参赛队中一名队员投篮3次，若3次都未投中，则该队被淘汰，比赛成绩为0分；若至少投中一次，则该队进入第二阶段．第二阶段由该队的另一名队员投篮3次，每次投篮投中得5分，未投中得0分，该队的比赛成绩为第二阶段的得分总和．某参赛队由甲、乙两名队员组成，设甲每次投中的概率为p，乙每次投中的概率为q，各次投中与否相互独立．(1)若p＝0.4，q＝0.5，甲参加第一阶段比赛，求甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分的概率．(2)假设0<p<q．(ⅰ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率最大，应该由谁参加第一阶段比赛？(ⅱ)为使得甲、乙所在队的比赛成绩的数学期望最大，应该由谁参加第一阶段比赛？[解]

(1)甲、乙所在队的比赛成绩不少于5分，则甲第一阶段至少投中1次，乙第二阶段也至少投中1次，∴比赛成绩不少于5分的概率P＝(1－0.63)(1－0.53)＝0.686．(2)(ⅰ)若甲先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P甲＝[1－(1－p)3]q3，若乙先参加第一阶段比赛，则甲、乙所在队的比赛成绩为15分的概率为P乙＝[1－(1－q)3]p3，∵0<p<q，∴P甲－P乙＝q3－(q－pq)3－p3＋(p－pq)3＝(q－p)(q2＋pq＋p2)＋(p－q)[(p－pq)2＋(q－pq)2＋(p－pq)(q－pq)]＝(p－q)(3p2q2－3p2q－3pq2)＝3pq(p－q)(pq－p－q)＝3pq(p－q)[(1－p)(1－q)－1]>0，∴P甲>P乙，应该由甲参加第一阶段比赛．

若乙先参加第一阶段比赛，比赛成绩Y的所有可能取值为0，5，10，15，同理E(Y)＝15(q3－3q2＋3q)·p，∴E(X)－E(Y)＝15[pq(p＋q)(p－q)－3pq(p－q)]＝15pq(p－q)(p＋q－3)，∵0<p<q≤1，∴p－q<0，p＋q－3<1＋1－3<0，∴pq(p－q)(p＋q－3)>0，即E(X)>E(Y)，∴应该由甲参加第一阶段比赛．名师点评：利用均值、方差进行决策的方法随机变量的均值和方差从整体和全局上刻画了随机变量，是生产实际中用于方案取舍的重要理论依据．一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定．[巩固迁移]3．(2021·新高考Ⅰ卷)某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A，B两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分．已知小明能正确回答A类问题的概率为0.8，能正确回答B类问题的概率为0.6，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．(1)若小明先回答A类问题，记X为小明的累计得分，求X的分布列；(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．[解]

(1)由已知可得，X的所有可能取值为0，20，100，P(X＝0)＝1－0.8＝0.2，P(X＝20)＝0.8×(1－0.6)＝0.32，P(X＝100)＝0.8×0.6＝0.48，所以X的分布列为X020100P0.20.320.48(2)当小明先回答A类问题时，由(1)可得E(X)＝0×0.2＋20×0.32＋100×0.48＝54.4．当小明先回答B类问题时，记Y为小明的累计得分，则Y的所有可能取值为0，80，100，P(Y＝0)＝1－0.6＝0.4，P(Y＝80)＝0.6×(1－0.8)＝0.12，P(Y＝100)＝0.6×0.8＝0.48，所以Y的分布列为Y080100P0.40.120.48则E(Y)＝0×0.4＋80×0.12＋100×0.48＝57.6．因为E(Y)>E(X)，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答B类问题．一、单项选择题1．在篮球比赛中，规定一次中距离投篮投中得2分，投不中得0分，则选手甲在三次中距离投篮中的总得分ξ的所有可能取值的和是(

)A．8 B．10C．12 D．14题号13524687910111213课后作业(六十九)离散型随机变量的分布列和数字特征√C

[选手甲在三次中距离投篮中可能都不中，得0分，中一次，得2分，中两次，得4分，中三次，得6分，故总得分ξ的所有可能取值为0，2，4，6，所以总得分ξ的所有可能取值的和为12．]题号13524687910111213题号21345687910111213

√

题号21345687910111213√X－101Pmn

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213ξ012Pb－aba√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√√√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√√

题号21345687910111213三、填空题9．编号为1，2，3的三位学生随意入座编号为1，2，3的三个座位，每位学生坐一个座位，设与座位编号相同的学生的人数是ξ，则E(ξ)＝_____________，D(ξ)＝_____________．题号2134568791011121311

题号21345687910111213所以ξ的分布列为题号21345687910111213ξ013P

10．(2022·浙江卷)现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为ξ，则P(ξ＝2)＝_____________，E(ξ)＝_____________．题号21345687910111213

四、解答题11．(2024·九省联考)盒中有标记数字1，2，3，4的小球各2个，随机一次取出3个小球．(1)求取出的3个小球上的数字两两不同的概率；(2)记取出的3个小球上的最小数字为X，求X的分布列及数学期望E(X)．题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号21345687910111213

题号21345687910111213X123P12．(2024·北京卷)某保险公司为了解该公司某种保险产品的索赔情况，从合同保险期限届满的保单中随机抽取1000份，记录并整理这些保单的索赔情况，获得数据如下表：题号21345687910111213索赔次数01234保单份数800100603010假设：一份保单的保费为0.4万元；前三次索赔时，保险公司每次赔偿0.8万元；第四次索赔时，保险公司赔偿0.6万元．假设不同保单的索赔次数相互独立．用频率估计概率．(1)估计一份保单索赔次数不少于2的概率；(2)一份保单的毛利润定义为这份保单的保费与赔偿总金额之差．(ⅰ)记X为一份保单的毛利润，估计X的数学期望