65　第九章　第65课时　两个计数原理、排列与组合

第九章计数原理、概率、随机变量及其分布

√

√√

－284．(2023·新高考Ⅰ卷)甲、乙两人投篮，每次由其中一人投篮，规则如下：若命中则此人继续投篮，若未命中则换为对方投篮．无论之前投篮情况如何，甲每次投篮的命中率均为0.6，乙每次投篮的命中率均为0.8．由抽签确定第1次投篮的人选，第1次投篮的人是甲、乙的概率各为0.5．(1)求第2次投篮的人是乙的概率；(2)求第i次投篮的人是甲的概率；

(3)设第i次投篮时甲投篮的次数为Xi，则Xi的可能取值为0或1，当Xi＝0时，表示第i次投篮的人是乙，当Xi＝1时，表示第i次投篮的人是甲，所以P(Xi＝1)＝pi，P(Xi＝0)＝1－pi，所以E(Xi)＝pi．Y＝X1＋X2＋X3＋…＋Xn，则E(Y)＝E(X1＋X2＋X3＋…＋Xn)＝p1＋p2＋p3＋…＋pn，

1．落实核心概念、基本原理教材经典1．掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(

)A．互斥 B．互为对立C．相互独立 D．相等√

锚点：相互独立事件的概念．教材经典2．填空：(1)甲、乙、丙3名同学选修兴趣课程，从5门课程中，甲选修2门，乙选修4门，丙选修3门，则不同的选修方案共有_____________种．(2)H城市某段时间内发放的汽车牌照号码由2个英文字母后接4个数字组成，其中4个数字互不相同，这样的牌照号码共有________种．5003407040(3)4名教师分配到3所学校任教，每所学校至少1名教师，则不同的分配方案共有_____________种．(4)五人并排站成一排，甲、乙必须相邻且甲在乙的左边，则不同的站法共有_____________种．(5)要排出某班一天中语文、数学、政治、英语、体育和艺术6门课各一节的课程表，要求数学课排在前3节，英语课不排在第6节，则不同的排法共有_____________种．3624288

锚点：排列组合及排列数与组合数的应用．2．重视基本运算教材经典3．设某厂有甲，乙，丙三个车间生产同一产品，已知各车间的产量分别占全厂产量的25%，35%，40%，并且各车间的次品率依次为5%，4%，2%．现从该厂这批产品中任取一件．(1)求取到次品的概率；(2)若取到的是次品，则此次品由三个车间生产的概率分别是多少？[解]

(1)记事件A表示甲车间生产的产品，事件B表示乙车间生产的产品，事件C表示丙车间生产的产品，事件D表示抽取到次品，则P(A)＝0.25，P(B)＝0.35，P(C)＝0.4，P(D|A)＝0.05，P(D|B)＝0.04，P(D|C)＝0.02，取到次品的概率为P(D)＝P(A)P(D|A)＋P(B)P(D|B)＋P(C)·P(D|C)＝0.25×0.05＋0.35×0.04＋0.4×0.02＝0.034

5．

锚点：全概率公式与贝叶斯公式．教材经典4．一家面包房根据以往某种面包的销售记录，绘制了日销售量的频率分布直方图，如图所示．将日销售量落入各组的频率视为概率，并假设每天的销售量相互独立．(1)求在未来连续3天里，有连续2天的日销售量都不低于100个且另1天的日销售量低于50个的概率；(2)用X表示在未来3天里日销售量不低于100个的天数，求随机变量X的分布列，期望E(X)及方差D(X)．[解]

(1)设A1表示事件“日销售量不低于100个”，A2表示事件“日销售量低于50个”，B表示事件“在未来连续3天里，有连续2天日销售量不低于100个且另一天的日销售量低于50个”．因此P(A1)＝(0.006＋0.004＋0.002)×50＝0.6．P(A2)＝0.003×50＝0.15．P(B)＝0.6×0.6×0.15×2＝0.108．

X0123P0.0640.2880.4320.216因为X~B(3，0.6)，所以期望为E(X)＝3×0.6＝1.8．方差D(X)＝3×0.6×(1－0.6)＝0.72．锚点：频率分布直方图、离散型随机变量的分布列期望及方差．3．培养思维品质教材经典5．甲、乙两选手进行象棋比赛，如果每局比赛甲获胜的概率为0.6，乙获胜的概率为0.4，那么采用3局2胜制还是采用5局3胜制对甲更有利？

锚点：利用概率知识解决实际问题．第65课时两个计数原理、排列与组合[考试要求]1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列、组合分析和解决一些简单的实际问题．以题引理·激活思维1．(人教A版选择性必修第三册P11练习T1)乘积(a1＋a2＋a3)(b1＋b2＋b3)(c1＋c2＋c3＋c4＋c5)展开后共有项数为(

)A．11 B．16C．45 D．144√C

[三个因式各取一项相乘可得展开式中的项，由分步乘法计数原理知项数为3×3×5＝45．]2．(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(

)A．12条

B．15条C．18条

D．72条√C

[若路线为甲乙丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲丙丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C．]3．(人教B版选择性必修第二册P7例3)某班班委由2位女同学、3位男同学组成，现要从该班班委里选出2人去参加学校组织的培训活动，要求至少有1位女同学参加，则不同的选法共有(

)A．3种 B．6种C．7种 D．9种√

√√

5．(苏教版选择性必修第二册P63练习T6改编)五名学生报名参加四项体育比赛，每人限报一项，则不同的报名方法的种数为_______．五名学生争夺四项比赛的冠军(冠军不并列)，则获得冠军的可能性有_____________种(用数字作答)．10246251024

625

[五名学生参加四项体育比赛，每人限报一项，可逐个学生落实，每个学生有4种报名方法，共有45＝1

024(种)不同的报名方法．五名学生争夺四项比赛的冠军，可对4个冠军逐一落实，每个冠军有5种获得的可能性，共有54＝625(种)获得冠军的可能性．]1．两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝_________种不同的方法．m＋nm×n2．排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照_______________排成一列组合作为一组一定的顺序3．排列数、组合数的定义、公式、性质

排列数组合数定义从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有__________的个数从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有___________的个数不同排列不同组合

排列数组合数公式性质n！111

求解排列组合问题的6种主要方法直接法把符合条件的排列数直接列式计算优先法优先安排特殊元素或特殊位置捆绑法把相邻元素看作一个整体与其他元素一起排列，同时注意捆绑元素的内部排列插空法对于不相邻问题，先考虑不受限制的元素的排列，再将不相邻的元素插在前面元素排列的空当中定序问题除法处理对于定序问题，可先不考虑顺序限制，排列后，再除以定序元素的全排列间接法正难则反，等价转化考点一

两个计数原理及综合应用[典例1]

(1)如图，小明从街道的E处出发，先到F处与小红会合，再一起到位于G处的老年公寓参加志愿者活动，则小明到老年公寓可以选择的最短路径条数为(

)A．24

B．18

C．12

D．9精研考点·提升素养√(2)某学校有一块绿化用地，其形状如图所示．为了让效果更美观，要求在四个区域内种植花卉，且相邻区域花卉颜色不同．现有五种不同颜色的花卉可供选择，则不同的种植方案共有_____________种．(用数字作答)(3)已知abc表示一个三位数，如果满足a>b且c>b，那么我们称该三位数为“凹数”，则没有重复数字的三位“凹数”共_____________个(用数字作答)．180240(1)B

(2)180

(3)240

[(1)由题意可知E到F共有6条最短路径，F到G共有3条最短路径，由分步乘法计数原理知，共有6×3＝18(条)最短路径．(2)先在A中种植，有5种不同的种植方法，再在B中种植，有4种不同的种植方法，再在C中种植，有3种不同的种植方法，最后在D中种植，有3种不同的种植方法，所以不同的种植方案共有5×4×3×3＝180(种)．

【拓展变式】若本例(1)中CD段马路由于正在维修(如图)，暂时不通，则从E到G的最短路径有_____________条．26

名师点评：综合应用两个原理解决问题时应注意以下两点：(1)一般是先分类再分步．在分步时可能又用到分类加法计数原理．(2)对于较复杂的两个原理综合应用的问题，可恰当地列出示意图或列出表格，使问题形象化、直观化．[巩固迁移]1．(2025·山西太原一模)定义：各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，例如“1022，3110”，则所有“吉祥数”的个数是(

)A．35 B．32C．29 D．20√A

[各位数字之和为5的四位数叫“吉祥数”，按首位数字分别计算：当首位数字为5时，则剩余三位数分别是0，0，0，共有1个“吉祥数”；当首位数字为4时，则剩余三位数分别是1，0，0，共有3个“吉祥数”；当首位数字为3时，则剩余三位数分别是1，1，0或2，0，0，共有3＋3＝6(个)“吉祥数”；

2．(2025·贵州铜仁模拟)2025的不同正因数的个数为________．

153．编号为A，B，C，D，E的5种蔬菜种在如图所示的五块试验田里，每块只能种一种蔬菜，要求A品种不能种在1，2试验田里，B品种必须与A种在相邻的两块田里，则不同的种植方法种数为_____．30

【教用·备选题】1．我校某班举办新年联欢班会，抽奖项目设置了特等奖、一等奖、二等奖、三等奖、鼓励奖共五种奖项．甲、乙、丙、丁、戊每人抽取一张奖票，开奖后发现这5人的奖项都不相同．甲说：“我不是鼓励奖”；乙说：“我不是特等奖”；丙说：“我的奖没有戊好但是比丁的强”．根据以上信息，这5人的奖项的所有可能的种数是(

)A．12 B．13C．24 D．26√B

[甲是特等奖，乙有4种情况，则丙、丁、戊有1种情况，所以有4×1＝4(种)；甲不是特等奖，则甲有3种情况，乙有3种情况，而丙、丁、戊有1种情况，所以有3×3×1＝9(种)；所以5人的奖项的所有可能的种数是4＋9＝13．故选B．]2．(2025·湖南省郴州市三模)如图，这是一个平面图形，现提供四种颜色给图中的区域1、区域2、区域3、区域4、区域5、区域6共六个区域涂色，每个区域只涂一种颜色，相邻的区域不能涂相同的颜色，则共有_____________种不同的涂色方案．96

3．在一块并排10垄的田地中，种植作物时每种作物种植一垄，相邻的垄不种同一种作物，现有3种作物可选，则有_____________种种植方法；若3种作物必须都种，则有_____________种种植方法；若只在其中2垄种植其中的A，B两种作物，要求A，B两种作物的间隔不小于6垄，则有_____________种种植方法．15361530121536

1530

12

[3种作物任选时，种植第1垄有3种选择，第2垄有2种选择，后面的垄只需与前一垄不同即可，共有3×2×2×2×2×2×2×2×2×2＝1

536(种)种植方法．3种作物都选时，只需排除只用2种作物完成种植的情况，共有1

536－3×2×1×1×1×1×1×1×1×1＝1

530(种)种植方法．两种作物的间隔不小于6垄时，分两步：第一步，先选垄，如图所示，共有6种选法；第二步，种植A，B两种作物，有2种方法．所以根据分步乘法计数原理，可得有6×2＝12(种)种植方法．]考点二

排列、组合问题[典例2]

(1)(2025·广东湛江二模)4名医生和2名护士站成一排，要求2名护士不相邻，且医生甲不站在队伍的最左端，则不同的站法共有_____________种．(2)从1，3，5，7，9中任取2个数字，从0，2，4，6中任取2个数字，一共可以组成_____________个没有重复数字的四位数．(用数字作答)4081260(3)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有_____________种(用数字作答)．64

名师点评：解决排列与组合问题的三大原则(1)特殊优先原则：如果问题中有特殊元素或特殊位置，优先考虑这些特殊元素或特殊位置．(2)先取后排原则：在既有取出又需要对取出的元素进行排列时，要先取后排，即完整地把需要排列的元素取出后，再进行排列．(3)正难则反原则：当直接求解困难时，采用间接法解决问题．[巩固迁移]4．(2026·沈阳育才中学模拟)北斗七星不仅是天上的星象，也是古人藉以判断季节的依据之一．如图，用点A，B，C，D，E，F，G表示某一时期的北斗七星，其中B，D，E，F看作共线，其他任何三点均不共线，过这七个点中任意两个点作直线，所得直线的条数为(

)A．4 B．13C．15 D．16√

5．学校将从4名男生和4名女生中选出4人分别担任辩论赛中的一、二、三、四辩手，其中男生甲不适合担任一辩手，女生乙不适合担任四辩手，要求所选4人中既有男生又有女生，且男生甲与女生乙至少有1人入选，那么不同的组队方法种数为(

)A．696 B．736C．894 D．930√

6．(2025·山东济南一模)将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为_____________．(用数字作答)

30【教用·备选题】1．(1)某龙舟队有9名队员，其中3人只会划左舷，4人只会划右舷，2人既会划左舷又会划右舷．现选派划左舷的3人、右舷的3人共6人去参加比赛，则不同的选派方法共有(

)A．56种 B．68种C．74种 D．92种√(2)(多选)某周周一到周六的夜间值班工作由甲、乙、丙三人负责，每人负责其中的两天，每天只需一人值班，则下列关于安排方法数的说法正确的有(

)A．共有90种安排方法B．甲连续两天值班的安排方法有30种C．甲连续两天值班且乙连续两天值班的安排方法有18种D．甲、乙、丙三人每人都连续两天值夜班的安排方法有6种√√√(3)以长方体ABCD-A1B1C1D1的任意3个顶点为顶点作三角形，从中随机取出2个三角形，则这2个三角形不共面的情况有_________种．1468

考点三

分组、分配问题[典例3]

(1)把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为(

)A．41

B．56

C．156

D．252(2)(2025·广东广州三模)某班为了响应“学雷锋”活动，将指定的6名学生随机分配到3个不同的办公室打扫卫生，要求每个办公室至少分配1人，则恰好甲、乙两人(仅有两人)打扫同一个办公室的情况有_____________种(用数字作答)．√42

名师点评：分配问题属于“排列”问题，常见的分配方法有三种：(1)相同元素的分配问题，常用“挡板法”．(2)不同元素的分配问题，利用分步乘法计数原理，先分组，后分配．(3)有限制条件的分配问题，采用分类求解．[巩固迁移]7．(2026·河北邢台模拟)运动会期间，将甲、乙等5名志愿者安排到A，B，C三个场地参加志愿服务，每名志愿者只能安排去一个场地，每个场地至少需要1名志愿者，且甲、乙两名志愿者不安排到同一个场地，则不同的安排方法种数为(

)A．72 B．96C．114 D．124√

8．20个不加区别的小球放入编号为1，2，3的三个盒子中，要求每个盒内的球数不小于它的编号数，则不同的放法共有(

)A．120种 B．240种C．360种 D．720种√

9．将座位号为1，2，3，4的四张电影票全部分给甲、乙两个人，每人至少一张，若分给同一人多张票，则必须连号，那么不同的分法种数为(

)A．4 B．6C．7 D．12√B

[①当甲分一张票，乙分三张票时，有2种不同的分法；②当甲分两张票，乙分两张票时，有2种不同的分法；③当甲分三张票，乙分一张票时，有2种不同的分法；所以，一共有2＋2＋2＝6(种)不同的分法．故选B．]【教用·备选题】1．某单位春节共有四天假期，但每天都需要留一名员工值班，现从甲、乙、丙、丁、戊、己六人选出四人值班，每名员工最多值班一天，已知甲在第一天不值班，乙在第四天不值班，则值班安排共有(

)A．192种 B．252种C．268种 D．360种√

2．将5本不同的书(2本文学书、2本科学书和1本体育书)分给甲、乙、丙三人，每人至少分得1本书，每本书只能分给一人，其中体育书只能分给甲、乙中的一人，则不同的分配方法数为(

)A．78

B．92

C．100

D．122√

题号135246879101112131415课后作业(六十五)两个计数原理、排列与组合√16

题号13524687910111213141516题号2134568791011121314152．已知两条异面直线a，b上分别有5个点和8个点，则这13个点可以确定不同的平面个数为(

)A．40 B．16C．13 D．10√C

[分两类情况讨论：第一类，直线a分别与直线b上的8个点可以确定8个不同的平面；第二类，直线b分别与直线a上的5个点可以确定5个不同的平面．根据分类加法计数原理知，共可以确定8＋5＝13(个)不同的平面．]163．将1个0，2个1，2个2随机排成一行，则2个1不相邻的情况种数是(

)A．10 B．20C．18 D．40题号213456879101112131415√

164．从集合{1，2，3，…，10}中任意选出三个不同的数，使这三个数成等比数列，这样的等比数列的个数为(

)A．3

B．4

C．6

D．8题号213456879101112131415√D

[以1为首项的等比数列为1，2，4；1，3，9；以2为首项的等比数列为2，4，8；以4为首项的等比数列为4，6，9；把这4个数列的顺序颠倒，又得到另外的4个数列，故所求的数列共有8个．]165．将5件相同的小礼物全部送给3个不同的球迷，让每个球迷都要得到礼物，则不同的分法种数是(

)A．2 B．10C．5 D．6题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415166．(2025·山东枣庄二模)子贡曰：“夫子温、良、恭、俭、让以得之”，“温、良、恭、俭、让”指五种品德：温和、善良、恭敬、节俭、谦让．现有分别印有这5个字的卡片(颜色均不同)各2张，同学甲从中抽取4张卡片分给另外4位同学，每人一张卡片，恰有2位同学分到的卡片是相同字的分配方案有(

)A．120种 B．210种C．1440种 D．2880种题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415167．甲、乙、丙等5人站成一排，且甲不在两端，乙和丙之间恰有2人，则不同排法共有(

)A．20种 B．16种C．12种 D．8种题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415168．(2025·湖北武汉三模)如图，某社区为墙面A，B，C，D四块区域宣传标语进行涂色装饰，每个区域涂一种颜色，相邻区域(共边)不能用同一颜色，若只有4种颜色可供使用，则恰好使用了3种颜色的涂法有(

)A．12种 B．24种C．48种 D．144种题号213456879101112131415√16ABCD

题号21345687910111213141516二、多项选择题9．用0，1，2，3，4组成数字，下列说法正确的是(

)A．元素可重复使用时，可以组成100个三位数B．元素不可重复使用时，可以组成60个三位数C．各位数字不同的三位奇数有18个D．各位数字不同的三位偶数有48个题号213456879101112131415√16√AC

[三位数先选百位有4种方法，再选十位，个位，各有5种方法，共4×5×5＝100(个)；元素不重复使用时，三位数百，十，个位分别有4，4，3种方法，共4×4×3＝48(个)；三位奇数先选个位，再百位，再十位有2×3×3＝18(个)，三位偶数按个位是否为0讨论，再选百位、十位，有4×3＋2×3×3＝30(个)．]题号2134568791011121