40　第六章　第40课时　数列的概念与简单表示法

第六章数列第六章数列第六章数列

√√

第六章数列

第六章数列1．重视基本运算教材经典1．在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，求a12的值．[解]

在等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，所以a4＋a12＝a7＋a9，即1＋a12＝16，解得a12＝15．锚点：等差数列的项的性质．第六章数列

锚点：等差数列中基本量的运算，分组求和法．第六章数列【教用·备选题】已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S4＝4S2，a2n＝2an＋1(n∈N*)．(1)求数列{an}的通项公式；(2)若bn＝3n-1，令cn＝anbn，求数列{cn}的前n项和Tn．

锚点：等差数列的通项公式、求和公式及错位相减法求和．第六章数列

√

锚点：等比数列的判定．第六章数列教材经典4．已知数列{an}的前n项和为Sn＝3×2n－1，求数列{an}的通项公式，并判断这个数列是否是等比数列．[解]

当n＝1时，有a1＝S1＝5．当n≥2时，有an＝Sn－Sn-1＝3×2n－1－(3×2n-1－1)＝3×2n-1，a1＝5不满足该式，

锚点：由an与Sn的关系求通项公式，等比数列的判定．第六章数列3．培养思维品质教材经典5．对于任意数列{an}，等式：a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an-1)＝an(n≥2，n∈N*)都成立．试根据这一结论，完成问题：已知数列{an}满足：a1＝1，an+1－an＝2，求通项公式an．

锚点：由数列的递推关系求通项公式．第六章数列

锚点：等差、等比数列的性质及应用．第三章一元函数的导数及其应用第40课时第数列的概念与简单表示法[考试要求]1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表法、图象法、函数解析式法)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．以题引理·激活思维

B

[由a1＝－1，代入检验可知选B．]√

√

3．(苏教版选择性必修第一册P139习题4.1T9改编)如图，在n×n的单位正方形网格中，阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13，则下一阴影相连的正方形个数为_____________，这个数列的一个通项公式为an＝_____________．174n－317

4n－3

[从阴影相连的正方形个数依次为1，5，9，13看出，从第2项起每一项比它的前一项多4，故下一阴影相连的正方形个数为13＋4＝17，且a2＝5＝a1＋4，a3＝9＝a1＋2×4，a4＝13＝a1＋3×4，a5＝17＝a1＋4×4，根据上述规律an＝a1＋(n－1)×4＝1＋(n－1)×4＝4n－3．所以通项公式an＝4n－3．]4．(人教B版选择性必修第三册P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝___________________________．

1．数列的定义一般地，把按照__________排列的一列数称为数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．2．数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是______，对应的函数值是_____________，记为an＝f(n)．确定的顺序序号n数列的第n项an3．数列的分类分类标准类型满足条件项数有穷数列项数____无穷数列项数____项与项间的大小关系递增数列an+1__an其中n∈N*递减数列an+1__an常数列an+1＝an摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项的数列有限无限>

<

4．数列的前n项和在数列{an}中，Sn＝__________________叫做数列{an}的前n项和．a1＋a2＋…＋an

精研考点·提升素养√

名师点评：Sn与an的关系问题转化的两个方向方向1：利用an＝Sn－Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解．方向2：利用Sn－Sn-1＝an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解．[巩固迁移]1．(2026·湖北十堰模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝3n－n，则a5＝(

)A．153 B．161 C．163 D．238√B

[因为Sn＝3n－n，则a5＝S5－S4＝35－5－34＋4＝161．故选B．]

√√√

√2n2＋2n

名师点评：由递推关系求数列的通项公式的常用方法

√

√

√

√√√

名师点评：判断数列单调性的两种方法(1)作差(商)法．(2)目标函数法：写出数列对应的函数，利用导数或基本初等函数的单调性探求其单调性，再将函数的单调性对应到数列中去．[巩固迁移]4．(2025·天津二模)已知{an}是一个无穷数列，“a2>a1”是“{an}为递增数列”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√B

[递增数列是指一个数列从第二项起，每一项都大于它的前一项，即an+1>an(n∈N*)．若{an}是摆动数列，则可能有a2>a1，但是{an}不是递增数列，则仅由a2>a1不能推出{an}为递增数列，但{an}为递增数列可以推出a2>a1．所以“a2>a1”是“{an}为递增数列”的必要不充分条件．故选B．]

－1

√

2．已知数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝3n－1．(1)求a1，a2和an；(2)证明：数列{an}为递增数列．

题号135246879101112131415课后作业(四十)数列的概念与简单表示法√

题号135246879101112131415题号213456879101112131415

√D

[a5＝2×5－1＝9，a6＝26-1＝32，故a5＋a6＝41．故选D．]

题号213456879101112131415√

4．(2025·湖北黄冈三模)已知数列{an}的前n项和Sn满足Sn＋Sm＝Sn+m，且a1＝2，那么a10＝(

)A．2 B．10C．11 D．56题号213456879101112131415√A

[Sn＋Sm＝Sn+m中，令m＝1，即Sn+1－Sn＝S1＝a1＝2，所以a10＝S10－S9＝2．故选A．]

题号213456879101112131415√

6．已知数列{an}满足an+1＝an＋a1＋2n，a10＝130，则a1＝(

)A．1 B．2C．3 D．4题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√√AC

[数列{an}的前5项依次为2，0，2，0，2，经验证，AC选项符合题意，对于B，当n＝1时，a1＝0，故B错误；对于D，当n＝2时，a2＝2，故D错误．故选AC．]题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√√√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415√√√

题号213456879101112131415

题号213456879101112131415三、填空题12．已知数列{an}满足下列条件：①是无穷数列；②是递减数列；③每一项都是正数．写出一个符合条件的数列{an}的通项公式：an＝__________________．题号213456879101112131415

(－4，＋∞)

[因为{an}的前n项和为Sn，{Sn}为递增数列，所以数列{an}从第二项开始要为正数，a2＝4＋λ>0⇒λ>－4，则λ的取值范围为(－4，＋∞)．]13．(2026·上海模拟)已知an＝2n＋λ，若{an}的前n项和为Sn，{Sn}为递增数列，则λ的取值范围为_____________．题号213456879101112131415(－4，＋∞)

题号213456879101112131415

15．(202