53　第七章　第53课时　向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题

第53课时向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题第七章立体几何与空间向量[考试要求]1．能用向量的方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、相互平行的平面间的距离问题．2．掌握空间几何体中的探索性及翻折问题的求解方法．以题引理·激活思维

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3．(人教A版选择性必修第一册P35练习T2改编)如图，在棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为线段A1B1的中点，F为线段AB的中点，则：(1)点B到直线AC1的距离为_____________；(2)直线FC到平面AEC1的距离为_________．

1．平行线间的距离可以转化为点到直线的距离．2．线面距离、面面距离都可以转化为点到平面的距离．

精研考点·提升素养

名师点评：求点面距一般有三种方法(1)作点到平面的垂线，求点到垂足的距离．(2)等体积法．(3)向量法．

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名师点评：(1)对于存在判断型问题的求解，应先假设存在，把要成立的结论当作条件，据此列方程或方程组，把“是否存在”问题转化为“点的坐标是否有解，是否有规定范围内的解”等问题．(2)对于位置探究型问题，通常借助向量，引进参数，综合已知和结论列出等式，解出参数．

[解]

(1)证明：因为EG∥AD且EG＝AD，所以四边形ADGE为平行四边形，又AD＝DG，所以四边形ADGE为菱形，所以AG⊥DE．因为DG⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD，所以DG⊥CD，又AD⊥CD，DG，AD⊂平面ADGE，DG∩AD＝D，所以CD⊥平面ADGE，又AG⊂平面ADGE，所以CD⊥AG，又AG⊥DE，DE，CD⊂平面CDE，DE∩CD＝D，所以AG⊥平面CDE．

【教用·备选题】1．(2026·重庆模拟)如图，C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，平面PAC⊥平面ABC，PA＝PC＝AC＝2，BC＝4，E，F分别是PC，PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为直线l．(1)求证：直线l⊥平面PAC；(2)直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF，直线EF所成的角互余？若存在，求出AQ的值；若不存在，请说明理由．[解]

(1)证明：∵E，F分别是PC，PB的中点，∴BC∥EF．又EF⊂平面EFA，BC⊄平面EFA，∴BC∥平面EFA．又BC⊂平面ABC，平面EFA∩平面ABC＝l，∴BC∥l．又BC⊥AC，平面PAC∩平面ABC＝AC，平面PAC⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴BC⊥平面PAC，则l⊥平面PAC．(2)取AC的中点M，连接PM，∵PA＝PC＝AC，∴PM⊥AC．∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，且PM⊂平面PAC，∴PM⊥平面ABC．又∵C是以AB为直径的圆O上异于A，B的点，∴AC⊥BC，∵M，O分别是AC，AB的中点，

[解]

(1)证明：∵△ABC是等边三角形，O是AC的中点，∴AC⊥OB．∵平面ABB1A1⊥平面ABC，平面ABB1A1∩平面ABC＝AB，A1B⊥AB，A1B⊂平面ABB1A1，∴A1B⊥平面ABC．∵AC⊂平面ABC，∴A1B⊥AC，∵A1B∩OB＝B，A1B，OB⊂平面A1BO，∴AC⊥平面A1BO．

考点三

立体几何中的翻折问题[典例3]

(2025·全国二卷)如图，在四边形ABCD中，AB∥CD，∠DAB＝90°，F为CD的中点，点E在AB上，EF∥AD，AB＝3AD，CD＝2AD．将四边形EFDA沿EF翻折至四边形EFD'A'，使得平面EFD'A'与平面EFCB所成的二面角为60°．(1)证明：A'B∥平面CD'F；(2)求平面BCD'与平面EFD'A'所成的二面角的正弦值．[解]

(1)证明：法一：∵EB∥FC，EB⊄平面CD'F，FC⊂平面CD'F，∴EB∥平面CD'F，∵A'E∥D'F，A'E⊄平面CD'F，D'F⊂平面CD'F，∴A'E∥平面CD'F．∵EB⊂平面BA'E，A'E⊂平面BA'E，EB∩A'E＝E，∴平面BA'E∥平面CD'F．∵A'B⊂平面BA'E，∴A'B∥平面CD'F．法二：如图，延长DC至点G，使得DG＝AB，连接GB，GD'，∵AB∥CD，∴AB∥DG，又AB＝DG，∴四边形ABGD是平行四边形，∴AD＝BG，AD∥BG．翻折后，A'D'＝BG，A'D'∥BG，∴四边形A'BGD'是平行四边形，∴A'B∥D'G．∵A'B⊄平面CD'F，D'G⊂平面CD'F，∴A'B∥平面CD'F．

名师点评：三步解决平面图形翻折问题[巩固迁移]3．图1是由矩形ADEB，Rt△ABC和菱形BFGC组成的一个平面图形，其中AB＝1，BE＝BF＝2，∠FBC＝60°，将其沿AB，BC折起使得BE与BF重合，连接DG，如图2．(1)证明：图2中的A，C，G，D四点共面，且平面ABC⊥平面BCGE；(2)求图2中的平面BCGE与平面ACGD的夹角的大小．[解]

(1)证明：由已知得AD∥BE，CG∥BE，所以AD∥CG，故AD，CG确定一个平面，从而A，C，G，D四点共面．由已知得AB⊥BE，AB⊥BC，BE∩BC＝B，BE，BC⊂平面BCGE，故AB⊥平面BCGE．又因为AB⊂平面ABC，所以平面ABC⊥平面BCGE．

1．(2026·湖南株洲模拟)如图，在长方体ABCD-A1B1C1D1中，A1A＝2AB＝2BC＝2，E为棱DD1的中点，F为棱BB1的中点．(1)证明：FC1∥AE，并求直线FC1到直线AE的距离；(2)求点A1到平面AB1E的距离．课后作业(五十三)向量法求距离及立体几何中的探索性、翻折问题

2．(2025·江苏南京三模)如图，在直角梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC＝90°，AB＝3，BC＝DC＝1，DE⊥AB于点E，沿DE将△ADE折起，使得点A到点P的位置，使∠PEB＝90°，N，F分别是棱BC，PB的中点．

(1)证明：EF⊥BC；(2)求平面EFN与平面PCD的夹角的余弦值．[解]

(1)证明：根据题意，沿DE将△ADE折起后，PE⊥DE，BE⊥DE，PE∩BE＝E，PE，BE⊂平面PEB，则DE⊥平面PEB，因为EF⊂平面PEB，则DE⊥EF，易得四边形BCDE为矩形，故BC∥DE，故BC⊥EF，得证．

[解]

(1)证明：由四边形ABCD为平行四边形，则AD∥BC，又BF∥DE，AD⊂平面ADE，BC⊄平面ADE，则BC∥平面ADE，同理BF∥平面ADE，又BC∩BF＝B，BC，BF⊂平面BCF，则平面BCF∥平面ADE，FC⊂平面BCF，则FC∥平面ADE．(2)平面ADE⊥平面CDE，AD⊥DE，平面ADE∩平面CDE＝DE，AD⊂平面ADE，所以AD⊥平面CDE，DE，CD⊂平面CDE，则AD⊥DE，AD⊥CD，选条件①：AE⊥CD，AD∩AE＝A，AD，AE⊂平面ADE，则CD⊥平面ADE，DE⊂平面ADE，则CD⊥DE；选条件②：由AD⊥DE，AD⊥CD，AD＝DE＝DC＝1，则△ADE≌△ADC，又AC＝CE，故AC＝AE＝CE，所以△ADE≌△ADC≌△EDC，则CD⊥DE，综上，AD⊥DE，AD⊥CD，CD⊥DE．

一、单项选择题1．在空间直角坐标系中，A(1，1，－2)，B(1，2，－3)，C(－1，3，0)，D(x，y，z)(x，y，z∈R)，若A，B，C，D四点共面，则(

)A．2x＋y＋z＝1 B．x＋y＋z＝0C．x－y＋z＝－4 D．x＋y－z＝0题号135246879101112阶段评估(十)

(第51课时~第53课时)√

题号135246879101112题号213456879101112

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题号213456879101112对于C，连接BD交AC于点O，连接A1O，A1D，A1B，如图所示，由题意可得四边形ABCD为菱形，A1D＝A1B，所以BD⊥AC，BD⊥A1O，由AC∩A1O＝O且AC，A1O⊂平面ACC1A1，可得BD⊥平面ACC1A1，由于BD∥B1D1，A1C⊂平面ACC1A1，所以B1D1⊥A1C，故C正确；对于D，因为BD⊥平面ACC1A1，CC1⊂平面ACC1A1，所以BD⊥CC1，又CC1∥BB1，所以BD⊥BB1，所以四边形BDD1B1是正方形，又因为边长为2，故四边形BDD1B1的面积为4，故D错误．故选AC．]题号213456879101112

题号213456879101112√√√

题号213456879101112

题号213456879101112

题号213456879101112三、填空题9．已知向量a＝(9，4，－4)，b＝(1，2，2)，则a在b上的投影向量的坐标为_____________．题号213456879101112

(1，2，2)10．(2026·福建莆田模拟)如图，在120°的二面角α-l-β中，A∈l，B∈l，AC⊂α，BD⊂β且AC⊥AB，BD⊥AB，垂足分别为A，B，已知AC＝AB＝BD＝5，则线段CD的长为_____________．题号21345687910111210

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题号213456879101112法二(几何法)：连接AB1．因为AA1＝AB，所以四边形ABB1A1是正方形，故AB1⊥A1B．因为平面A1BC⊥平面ABB1A1，且平面A1BC∩平面ABB1A1＝A1B，AB1⊂平面ABB1A1，所以AB1⊥平面A1BC．设AB1∩A1B＝E，如图，过点E作