17　第二章　第17课时　函数模型的应用

第17课时函数模型的应用第二章函数的概念与性质[考试要求]1．了解指数函数、对数函数与一次函数增长速度的差异．2．理解“指数爆炸”“对数增长”“直线上升”等术语的含义．3．会选择合适的函数模型刻画现实问题的变化规律，了解函数模型在社会生活中的广泛应用．以题引理·激活思维1．(人教A版必修第一册P138探究改编)当x越来越大时，下列函数中增长速度最快的是(

)A．y＝2x B．y＝lgxC．y＝x2 D．y＝2xD

[结合函数的性质可知，几种函数模型中，指数函数的增长速度最快．]√

√

3．(人教B版必修第一册P131习题3⁃3AT3)加工爆米花时，爆开且不糊的粒数的百分比称为“可食用率”．在特定条件下，可食用率p与加工时间t(单位：min)满足函数关系p＝at2＋bt＋c(a，b，c是常数)，如图记录了三次实验的数据，根据上述函数模型和实验数据，可以得到最佳加工时间为(

)A．3.50min B．3.75minC．4.00min D．4.25min√

4．(人教A版必修第一册P96习题3.4T4改编)图中实线是某景点收支差额y关于游客量x的图象，由于目前亏损，景点决定降低成本，同时提高门票价格．决策后的图象用虚线表示，以下能说明该事实的是(

)√D

[对于A，当x＝0时，虚线y值减小，说明成本提高了，不满足题意，A错误；对于B，两函数图象平行，说明票价不变，不符合题意，B错误；对于C，当x＝0时，y值不变，说明成本不变，不满足题意，C错误；对于D，当x＝0时，虚线y值变大，说明成本减小．虚线的倾斜角变大，说明提高了门票的价格，符合题意，故D正确．故选D．]5．(人教A版必修第一册P72练习T2改编)某城市客运公司确定客运票价格的方法是：如果行程不超过100km，票价是0.5元/km，如果超过100km，超过100km的部分按0.4元/km定价，则客运票价y(单位：元)与行驶千米数x(单位：km)之间的函数解析式是___________________________．

1．指数、对数、幂函数模型性质的比较性质函数y＝ax(a>1)y＝logax(a>1)y＝xn(n>0)在(0，＋∞)上的单调性单调____单调____单调____增长速度越来____越来____相对平稳图象的变化随x的增大逐渐表现为与____平行随x的增大逐渐表现为与____平行随n值变化而各有不同递增递增递增越快越慢y轴x轴[二级结论]“直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小．2．几种常见的函数模型函数模型函数解析式一次函数模型f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0)二次函数模型f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)与指数函数相关的模型f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与对数函数相关的模型f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0)与幂函数相关的模型f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0)建立函数模型解决实际问题的基本过程如下：A

B考点一

用函数图象刻画实际问题[典例1]高为H，满缸水量为V的鱼缸的轴截面如图所示，若鱼缸水深为h时水的体积为v，则函数v＝f(h)的大致图象是(

)精研考点·提升素养√C

D

【教用·名师点评】判断函数图象与实际问题变化过程是否吻合的两种方法(1)构建函数模型法：当根据题意容易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象．(2)验证法：根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际的情况．[巩固迁移]1．(多选)血药浓度是指药物吸收后在血浆内的总浓度．药物在人体内发挥治疗作用时，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度和最低中毒浓度之间．已知成人单次服用1单位某药物后，体内血药浓度及相关信息如图所示．根据图中提供的信息，下列关于成人服用该药物的说法中，正确的是(

)A．首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用B．每次服用1单位该药物，两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒C．首次服用1单位该药物，约5.5小时后第二次服用1单位该药物，可使药物持续发挥治疗作用D．首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，不会发生药物中毒√√√ABC

[从图象中可以看出，首次服用1单位该药物，约10分钟后药物发挥治疗作用，A正确；根据图象可知，首次服用1单位该药物，约1小时后血药浓度达到最大值，由图象可知，当两次服药间隔小于2小时时，一定会产生药物中毒，B正确；服药5.5小时时，血药浓度等于最低有效浓度，此时再服药，血药浓度增加，可使药物持续发挥治疗作用，C正确；首次服用1单位该药物，3小时后再次服用1单位该药物，再1小时后，血药浓度之和大于最低中毒浓度，因此一定会发生药物中毒，D错误．]

√

【教用·名师点评】已知函数模型解决实际问题的关键(1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数．(2)根据已知利用待定系数法，确定模型中的待定系数．(3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验．

√

√

2．英国物理学家和数学家牛顿曾提出物体在常温环境下温度变化的冷却模型．如果物体的初始温度是θ1，环境温度是θ0，则经过tmin物体的温度θ将满足θ＝θ0＋(θ1－θ0)e-kt，其中k是一个随着物体与空气的接触情况而定的正常数．现有90℃的物体，若放在10℃的空气中冷却，经过10min物体的温度为50℃，则若使物体的温度为20℃，需要冷却(

)A．17.5min

B．25.5minC．30min D．32.5min√

考点三

构建函数模型的实际问题[典例3]环保生活，低碳出行，新能源电动汽车正成为人们购车的热门选择．某型号电动汽车，在一段平坦的国道进行测试，国道限速80km/h(不含80km/h)．经多次测试，得到该汽车每小时耗电量M(单位：Wh)与速度v(单位：km/h)的下列数据：v0204060M0300056009000

名师点评：构建函数模型解决实际问题的步骤(1)建模：抽象出实际问题的数学模型．(2)推理、演算：对数学模型进行逻辑推理或数学运算，得到问题在数学意义上的解．(3)评价、解释：对求得的数学结果进行深入讨论，作出评价、解释，然后返回到原来的实际问题中去，得到实际问题的解．[巩固迁移]3．甲、乙两地相距1000千米，汽车从甲地匀速行驶到乙地，已知汽车每小时的运输成本(单位：元)由可变部分和固定部分组成．可变部分与速度x(单位：千米/时)的平方成正比，比例系数为0.2，固定部分为720元．为使全程运输成本最小，汽车的速度是________千米/时．60

【教用·备选题】(2025·江苏宿迁期末)为了节能减排，某企业决定安装一个可使用15年的太阳能供电设备，并接入本企业的电网．安装这种供电设备的费用y(单位：万元)与太阳能电池板的面积x(单位：平方米)成正比，比例系数为0.5．为了保证正常用电，安装后采用太阳能和电能互补供电的模式．设在此模式下，安装后该企业每年消耗的电费C(单位：万元)与安装的这种太阳能电池板的面积x(单位：平方米)之

题号135246879课后作业(十七)函数模型的应用√B

[由散点图的定义域可排除C，D选项，由散点图的增长方式可知函数模型为指数型．]题号135246879题号2134568792．地震震级通常是用来衡量地震释放能量大小的数值，里氏震级最早是由查尔斯·里克特提出的，其计算基于地震波的振幅，计算公式为M＝lgA－lgA0，其中M表示某地地震的里氏震级，A表示该地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅，A0表示这次地震中的标准地震振幅．假设在一次地震中，某地地震台测振仪记录的地震波的最大振幅为5000，且这次地震的标准地震振幅为0.002，则该地这次地震的里氏震级约为(

)(参考数据：lg2≈0.3)A．6.3级 B．6.4级C．7.4级 D．7.6级√

题号213456879

题号213456879√

题号213456879

题号213456879√

题号213456879

题号213456879√√

题号213456879

题号213456879声源与声源的距离/m声压级/dB燃油汽车1060~90混合动力汽车1050~60电动汽车1040已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(

)A．p1≥p2 B．p2>10p3C．p3＝100p0 D．p1≤100p2题号213456879√√√

题号213456879三、填空题7．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如表所示．题号213456879每户每月用水量水价不超过12m3的部分3元/m3超过12m3但不超过18m3的部分6元/m3超过18m3的部分9元/m3若某户居民本月缴纳的水费为54元，则此户居民的用水量为_______m3．1515

[设此户居民本月用水量为x

m3，缴纳的水费为y元，则当x∈[0，12]时，y＝3x≤36元，不符合题意；当x∈(12，18]时，y＝12×3＋(x－12)×6＝6x－36，令6x－36＝54，解得x＝15，符合题意；当x∈(18，＋∞)时，y＝12×3＋6×6＋(x－18)×9＝9x－90>72，不符合题意．综上所述，此户居民本月用水量为15

m3．]题号2134568798．研究发现某人的行车速度v(单位：km/h)与行驶地区的人口密度p(单位：人/km2)有如下关系：v＝50×(0.5＋2-0.00004p)，若此人在人口密度为a人/km2的地区的行车速度为70km/h，则他在人口密度为2a人/km2的地区的行车速度是________km/h．题号21345687965.5

[由70＝50×(0.5＋2-0.000

04a)，得2-0.000

04a＝0.9，所以当人口密度为2a人/km2时，他的行车速度v＝50×(0.5＋2-0.000

04×2a)＝50×[0.5＋(2-0.000

04a)2]＝65.5

km/h．]65.5

题号213456879(1)当宽度为8米时，方案二的报价为29700元，求m的值；(2)求P(x)的函数解析式，并求报价的最小值；(3)若对任意的x∈[6，10]时，方案二都比方案一省钱，求m的取值范围．题号213456879

题号213456879

题号213456879

题号213456879一、单项选择题1．已知集合A＝{x|log2x≤1}，B＝{y|y＝2x，x≤2}，则(

)A．A∪B＝B B．A∪B＝AC．A∩B＝B D．A∩∁RB＝R题号13524687910111213阶段评估(三)

(第11课时~第17课时)√

题号13524687910111213题号213456879101112132．在同一平面直角坐标系中，函数y＝a-x，y＝logax＋a(a>0，且a≠1)的图象可能是(

)A

BC

D√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√

题号213456879101112136．(2026·广东深圳模拟)已知a＝log84，b＝log0.40.6，c＝log32，则(

)A．b<a<c B．b<c<aC．c<a<b D．c<b<a题号21345687910111213√

题号21345687910111213

题号21345687910111213√√

题号213456879101112138．(2026·山东淄博模拟)已知函数f(x)＝log2x＋log2(8－x)，则下列说法正确的是(

)A．f(x)的图象是轴对称图形B．f(x)在(0，3)内单调递增C．f(x)的值域为(0，4]D．f(x)恰有两个零点题号21345687910111213√√√ABD

[函数f(x)的定义域为(0，8)，f(x)＝log2x＋log2(8－x)＝log2(－x2＋8x)，故f(x)的图象关于直线x＝4对称，A正确；t(x)＝－x2＋8x在(0，4)内单调递增，且y＝log2t在其定义域内单调递增，B正确；当x∈(0，8)时，t(x)＝－x2＋8x∈(0，16]，故f(x)的值域为(－∞，4]，C错误；令f(x)＝0，则x2－8x＋1＝0，易得x2－8x＋1＝0有两个解，这两个解均在(0，8)内，D正确．故选ABD．]题号21345687910111213三、填空题9．(2026·湖北襄阳模拟)已知函数f(x)在R上单调递增，函数g(x)是定义在R上的奇函数，且f(x)－g(x)＝－x，则g(x)可以是______________________．(写出一个满足条件的函数即可)题号21345687910111213x3＋x(答案不唯一)

题号21345687910111213

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题号2134568791011121313．设函数f(x)是R上的增函数，对任意x，y∈R，都有__________．在①f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，②yf(x)－xf(y)＝xy(x2－y2)中任选一个条件，然后解答以下问题．(1)求f(0)；(2)求证：f(x)是奇函数；(3)若f(x2＋1)＋f(3x－5)<0，求实数x的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，则按第一个解答计分．题号21345687910111213[解]

若选①：(1)由函数y＝f(x)对任意x，y∈R都有f(x＋y)＝f(x)＋f(y)，得函数的定义域为R，令x＝y＝0，可得f(0)＝0．(2)