12　第二章　第12课时　指数运算与对数运算

第12课时指数运算与对数运算第二章函数的概念与性质[考试要求]

1．理解有理数指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握指数幂的运算性质．2．理解对数的概念及运算性质，能用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．3．掌握指数、对数运算在实际问题中的应用．

以题引理·激活思维√

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5．(人教A版必修第一册P126练习T3(2)改编)(log43＋log83)×log32＝________．

aa

03．指数幂的运算性质aras＝______；(ar)s＝____；(ab)r＝______(a>0，b>0，r，s∈R)．4．对数的概念一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作____________，其中__叫做对数的底数，__叫做真数．以____为底的对数叫做常用对数，log10N记为________．以__为底的对数叫做自然对数，logeN记为________．ar+sarsarbrx＝logaNaN10lgNelnN

01logaM＋logaNlogaM－logaNnlogaMN

1．指对互化：ax＝N⇔x＝logaN(a>0，且a≠1)．2．对数运算的技巧：统一底数、化简真数、利用对数恒等式、常值代换(如lg2＋lg5＝1)等．

精研考点·提升素养√

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名师点评：(1)指数幂的运算首先将根式、分数的分数指数幂统一为整数的分数指数幂，以便利用法则计算．(2)运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数．

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642

名师点评：解决对数运算问题的常用方法(1)将真数化为底数的指数幂的形式进行化简．(2)将同底对数的和、差、倍合并．(3)利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用．

√

3．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln2)f(ln4)＝8，则a＝________．e

[∵f(ln

2)f(ln

4)＝aln

2aln

4＝aln

2+ln

4＝a3ln

2＝(aln

2)3＝8，∴aln

2＝2，∴a＝e．]e

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－log62考点三

指对运算的应用[典例3]德国心理学家赫尔曼·艾宾浩斯研究发现，人类大脑对事物的遗忘是有规律的，他依据实验数据绘制出“遗忘曲线”．“遗忘曲线”中的记忆率y随时间t(单位：h)的变化趋势可由函数y＝1－0.6t0.27近似描述，则记忆率由50%变为40%时需要经历的时间约为(参考数据：lg2≈0.30，lg3≈0.48)(

)A．1h B．0.5hC．0.8h D．0.4h√

名师点评：利用指数、对数运算解决实际问题时，要认清所给函数模型、变量、参数，同时结合运算表达式选择合适的公式(如取对数、指对互化等)运算．[巩固迁移]4．(2025·东城区期末)近年来，人工智能快速发展，AI算法是人工智能的核心技术之一．现有一台计算机平均每秒可进行1014次运算，在这台计算机上运行某个AI算法来生成一个文案需要250次运算，则生成这个文案需要的时间约为(参考数据：lg2≈0.30)(

)A．1秒 B．10秒C．20秒 D．50秒√B

[设生成文案所需时间为x秒，则1014x＝250，两边同时取常用对数可得，14＋lg

x≈50×0.3，解得x≈10．故选B．]一、单项选择题1．(2025·山东泰安期中)已知ax＝2，loga6＝y，a>0，且a≠1，则ax+y＝(

)A．5 B．6C．7 D．12D

[loga6＝y，故可得ay＝6，又ax＝2，则ax·ay＝ax+y＝12．故选D．]题号135246879101112131415课后作业(十二)指数运算与对数运算√16题号2134568791011121314152．(2025·山东临沂二模)已知实数x，y满足log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，则x＋y＝(

)A．11 B．12C．16 D．17√D

[因为log2(log3x)＝log3(log2y)＝1，所以log3x＝2，log2y＝3，所以x＋y＝32＋23＝9＋8＝17．故选D．]16

题号213456879101112131415√

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题号213456879101112131415√

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题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516三、填空题12．(2026·辽宁丹东模拟)已知实数a，b满足4a＝3，3b＝2，则2ab＝________．题号213456879101112131415161

[因为4a＝3，3b＝2，所以(4a)b＝3b＝2，化简得22ab＝2，可知2ab＝1．]1

题号21345687910111213141516

3

题号2134