04　第一章　第3课时　等式性质与不等式性质

第一章集合、常用逻辑用语、不等式第3课时等式性质与不等式性质[考试要求]

1．掌握等式性质．2．会比较两个数的大小．3．理解不等式的性质，并能简单应用．理法先行·题练固本知识点1两个实数比较大小的方法关系方法作差法作商法a＞ba－b＞0a＝ba－b＝0a＜ba－b＜0知识点2不等式的性质性质1对称性：a>b⇔______；性质2传递性：a>b，b>c⇒______；性质3可加性：a>b⇔____________；性质4可乘性：a>b，c>0⇒________；a>b，c<0⇒________；b<aa>ca＋c>b＋cac>bcac<bc

a＋c>b＋dac>bd

1．(苏教版必修第一册P53例3改编)设M＝x2＋y2＋1，N＝2(x＋y－1)，则M与N的大小关系为________．M>N

[M－N＝x2＋y2＋1－2x－2y＋2＝(x－1)2＋(y－1)2＋1>0．故M>N．]M>N

√

3．(人教B版必修第一册P81习题2－2BT3节选)已知a∈(1，3)，b∈(2，3)，则a－2b的取值范围是_____________．(－5，－1)

[由b∈(2，3)得－6<－2b<－4，又1<a<3，故－5<a－2b<－1．](－5，－1)

√

考点深研·题型突破

√√√

通性通法：比较两个数(或式子)的大小可以利用不等式的性质直接判断，也可以用作差法或作商法．作差法的关键是将差“变形”为完全平方或几个因式的积(商)的形式．作商法的关键变形是分母有理化或变为幂的形式．【教用·通性通法】比较大小的常用方法(1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论．(2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论．(3)构造函数，利用函数的单调性比较大小．

√

√√

易错提醒：利用不等式的性质判断不等式是否成立时，要特别注意应用性质的条件．【教用·通性通法】利用不等式的性质判断命题真假的两种方法(1)直接法：对于说法正确的，要利用不等式的相关性质证明；对于说法错误的，只需举出一个反例即可．(2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件；二是取值要简单，便于验证计算；三是所取的值要有代表性．考点三不等式性质的综合应用[典例3]

(多选)(2025·西安雁塔区校级月考)已知实数a，b满足－3＜a＋2b＜2，－1＜2a－b＜4，则(

)A．－1＜a＜2 B．－2＜b＜1C．－2＜a＋b＜2 D．－2＜a－b＜4√√√

2．(变结论)本例条件不变，则3a＋2b的取值范围是________．

(－5，6)

易错提醒：多次运用不等式的性质易使变量范围扩大，导致结果错误，一般是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．【教用·通性通法】利用不等式性质求某些代数式的取值范围时，应注意两点：一是必须严格运用不等式的性质；二是在多次运用不等式的性质时有可能扩大了变量的取值范围，解决的途径是先建立所求范围的整体与已知范围的整体的等量关系，最后通过“一次性”不等关系的运算求解范围．

√

√

√√√

4．(链接考点三)(人教A版必修第一册P43习题2.1T5)已知2<a<3，－2<b<－1，则2a＋b的取值范围为________．(2，5)

[因为2<a<3，所以4<2a<6，又－2<b<－1，所以2<2a＋b<5．](2，5)题号135246879101112√一、单项选择题1．(人教A版必修第一册P43习题2.1T3(2)改编)设M＝2a(a－2)，N＝(a＋1)(a－3)，则有(

)A．M>N B．M≥NC．M<N D．M≤N课时作业(三)等式性质与不等式性质A

[因为M－N＝2a(a－2)－(a＋1)(a－3)＝a2－2a＋3＝(a－1)2＋2>0，所以M>N．故选A．]√2．(2025·北京海淀区三模)已知x＞y＞z，且x＋y＋z＝0，下列不等式中成立的是(

)A．xy＞yz B．xz＞yzC．xy＞xz D．x|y|＞z|y|题号135246879101112

√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√5．(2026·福州模拟)已知－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，则3a＋b的取值范围是(

)A．[－3，0] B．[－5，3]C．[－5，0] D．[－2，5]题号135246879101112C

[因为3a＋b＝2(a＋b)＋(a－b)，又－3≤a＋b≤－2，1≤a－b≤4，所以－6≤2(a＋b)≤－4，即－5≤2(a＋b)＋a－b≤0，所以3a＋b的取值范围是[－5，0]．故选C．]题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112三、填空题10．已知a＞0，－1＜b＜0，则a，ab，ab2由小到大依次排列是_______________．题号135246879101112ab＜ab2＜a

[因为a＞0，－1＜b＜0，所以ab＜0，0＜b2＜1，0＜ab2＜a，故ab＜ab2＜a．]ab＜ab2＜a

题号135246879101112a＝－1，b＝2(答案不唯一)a＝－1，b＝2(答案不唯一)

[容易发现，若将①式转化为②式，需使(a＋b)ab<0，即a＋b与ab异号，显然应使a＋b>0，ab<0，当a<0，b>0时，要使a＋b>0，则|a|<|b|，可取a＝－1，b＝2；当a>0，b