17　第二章　第16课时　对数函数

第二章

函数第16课时对数函数[考试要求]

1．通过实例，了解对数函数的概念，会画对数函数的图象，理解对数函数的单调性与特殊点．2．了解指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数y＝logax(a>0，且a≠1)互为反函数．理法先行·题练固本知识点1对数函数及其性质(1)概念：函数y＝logax(a>0，且a≠1)叫做对数函数，其中x是自变量，定义域是(0，＋∞)．(2)对数函数的图象与性质项目a>10<a<1图象项目a>10<a<1性质定义域：_____________值域：____当x＝1时，y＝0，即过定点__________当x>1时，y>0；当0<x<1时，y<0当x>1时，y<0；当0<x<1时，y>0在(0，＋∞)上是________在(0，＋∞)上是________(0，＋∞)R(1，0)增函数减函数知识点2反函数指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)与对数函数__________(a>0，且a≠1)互为反函数，它们的图象关于直线______对称．它们的定义域和值域正好互换．y＝logaxy＝x

3．对数函数的图象与底数大小的关系对数函数在同一平面直角坐标系中的图象如图所示，其中图象(C1，C2，C3，C4对应的底数依次为a，b，c，d)的相对位置与底数大小有关．图中0<c<d<1<a<b．

√C

[根据f(2)<1，f(3)>1，可知y＝lnx满足．故选C．]2．(人教B版必修第二册P28练习AT5改编)若函数f(x)＝log2(x＋1)的定义域为[0，1]，则函数f(x)的值域为(

)A．[0，1] B．(0，1)C．(－∞，1] D．[1，＋∞)√A

[根据复合函数单调性的同增异减原则，可知f(x)在[0，1]上单调递增，因为0≤x≤1，所以1≤x＋1≤2，则log21≤log2(x＋1)≤log22，即f(x)∈[0，1]．]3．(人教B版必修第二册P27例2)已知log0.7(2m)<log0.7(m－1)，则实数m的取值范围是____________．(1，＋∞)

[因为y＝log0.7x的定义域为(0，＋∞)，且是减函数，故2m>m－1>0，解得m>1．](1，＋∞)4．(人教A版必修第一册P141习题4.4T13(1))设a＝log0.26，b＝log0.36，c＝log0.46，则实数a，b，c的大小关系为________．a>b>c

[法一：如图，作出函数y1＝log0.2x，y2＝log0.3x，y3＝log0.4x的图象，由图可知，当x＝6时，log0.26>log0.36>log0.46，即a>b>c．a>b>c

y＝log5x考点深研·题型突破

√√(2)已知函数f(x)＝loga(2x＋b－1)(a>0，且a≠1)的图象如图所示，则a，b满足的关系是(

)A．0<a-1<b<1 B．0<b<a-1<1C．0<b-1<a<1 D．0<a-1<b-1<1

√(1，＋∞)

(3)如图，在同一平面直角坐标系中分别作出y＝f(x)与y＝－x＋a的图象，其中a表示直线在y轴上的截距．由图象可知，当a＞1时，直线y＝－x＋a与f(x)的图象只有一个交点．故实数a的取值范围为(1，＋∞)．]易错提醒：凡涉及对数型函数，其真数与底数的取值范围一定不能忽略．【教用·通性通法】利用对数函数的图象解决的两类问题及技巧(1)对一些可通过平移、对称变换作出其图象的对数型函数，在求解其单调性(单调区间)、值域(最值)、零点时，常利用数形结合思想．(2)对一些对数型方程、不等式问题常转化为相应的函数图象问题，利用数形结合法求解．【教用·备选题】(多选)(2025·青岛调研)已知ax＝b－x，函数y＝loga(－x)与y＝bx的图象可能是(

)A

B

C

D√√

当0<a<1时，b>1，同理可得，指数函数y＝bx在R上单调递增，且过点(0，1)，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递增，且过点(－1，0)，故B符合题意．故选AB．]

√

通性通法：比较对数值大小的方法(1)若底数为同一常数：可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，则需对底数进行分类讨论．(2)若底数不同，真数相同：可以先用换底公式化为同底后，再进行比较．(3)若底数与真数都不同：常借助1，0等中间量进行比较．

√

通性通法：对数不等式(组)的求解常利用对数函数的单调性，当底数a的取值范围没有明确时，必须分0<a<1和a>1两种情况讨论．考向3

对数函数性质的综合应用[典例4]已知函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)．(1)证明：f(x)的图象关于直线x＝2对称；(2)求f(x)的最大值．[解]

由x>0且4－x>0，得函数f(x)的定义域为(0，4)．(1)证明：因为函数f(4－x)＝log2(4－x)＋log2x＝f(x)，所以f(x)的图象关于直线x＝2对称．(2)函数f(x)＝log2x＋log2(4－x)＝log2(4x－x2)＝log2[－(x－2)2＋4](0<x<4)，当x＝2时，4x－x2取到最大值4，此时f(x)＝log2x＋log2(4－x)取到最大值log24＝2，所以函数f(x)的最大值为2．[母题探究]1．(变结论)本例中，函数解析式不变，求函数f(x)的单调区间．[解]

f(x)＝log2(4x－x2)(0<x<4)可以看作是由函数y＝log2u和u＝－x2＋4x(0<x<4)复合而成的，因为y＝log2u是定义域上的增函数，u＝－x2＋4x(0<x<4)在(0，2)上单调递增，在(2，4)上单调递减，所以f(x)的单调递增区间是(0，2)，单调递减区间是(2，4)．2．(变结论)本例中，函数解析式不变，f(x)的图象是否关于点(2，0)对称？[解]

因为f(4－x)＋f(x)＝2f(x)＝0不恒成立，所以f(x)的图象不关于点(2，0)对称．通性通法：求与对数函数有关的函数值域和复合函数的单调性问题，必须弄清三个问题：一是定义域；二是底数与1的大小关系；三是复合函数的构成．

糖水不等式1．(教材母题)(人教A版必修第一册P43习题2.1T10)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m克糖(m>0)(假设全部溶解)，糖水变甜了．请将这一事实表示为一个不等式，并证明这个不等式成立．

√

1．(链接考点一)(2025·眉山仁寿县期中)已知a＞1，则函数y＝ax与函数y＝loga(－x)的图象在同一坐标系中可以是(

)√A

BC

DA

[因为a＞1，所以y＝ax在R上单调递增，排除C；又y＝loga(－x)的定义域为(－∞，0)，所以由复合函数的单调性可知，y＝loga(－x)在(－∞，0)上单调递减，且恒过点(－1，0)，排除B，D．故选A．]

√

√

题号135246879101112√

课时作业(十六)对数函数题号135246879101112

2．(2026·长沙模拟)已知lga＋lgb＝0(a>0，b>0，且a≠1，b≠1)，则函数f(x)＝a－x与g(x)＝logbx的图象可能是(

)题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112D

[根据函数y＝log3x与y＝log4x的图象知，题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√二、多项选择题7．(人教A版必修第一册P140习题4.4T2改编)下列结论中正确的是(

)A．若log3m<log3n，则0<m<nB．若log0.3m<log0.3n，则m>n>0C．若logam<logan，则0<m<nD．若logm5<logm7，则m>1题号135246879101112√√ABD

[函数y＝log3x在定义域(0，＋∞)上是增函数，又log3m<log3n，所以0<m<n，所以A正确；函数y＝log0.3x在定义域(0，＋∞)上是减函数，又log0.3m<log0.3n，所以m>n>0，所以B正确；当0<a<1时，函数y＝logax在定义域(0，＋∞)上是减函数，又logam<logan，所以m>n>0，所以C错误；因为5<7，且logm5<logm7，所以y＝logmx在定义域(0，＋∞)上是增函数，所以m>1，所以D正确．故选ABD．]题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号1352468791