68　第八章　第62课时　直线与圆、圆与圆的位置关系

第八章解析几何第62课时直线与圆、圆与圆的位置关系[考试要求]

1．能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆、圆与圆的位置关系．2．能用直线和圆的方程解决一些简单的数学问题与实际问题．理法先行·题练固本

位置关系相离相切相交图形量化方程观点Δ__0Δ__0Δ__0几何观点d__rd__rd__r<＝>>＝<

位置关系外离内含相交内切外切圆心距与半径的关系________________________________________________________________d>r1＋r2d<|r1－r2||r1－r2|<d<r1＋r2d＝|r1－r2|

d＝r1＋r2位置关系外离内含相交内切外切图示公切线条数40213

[常用结论]1．圆的切线方程的常用结论(1)过圆x2＋y2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为x0x＋y0y＝r2．(2)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2上一点P(x0，y0)的圆的切线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．(3)过圆x2＋y2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为x0x＋y0y＝r2．(4)过圆(x－a)2＋(y－b)2＝r2外一点M(x0，y0)作圆的两条切线，则两切点所在直线方程为(x0－a)(x－a)＋(y0－b)(y－b)＝r2．2．圆与圆的位置关系的常用结论(1)两圆相交时公共弦所在直线的方程设圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0，圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0，①若两圆相交，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共弦所在的直线方程．②若两圆相切，两式相减，得(D1－D2)x＋(E1－E2)y＋F1－F2＝0，该方程表示圆C1与C2的公共切线所在的直线方程．(2)两个圆系方程①过直线Ax＋By＋C＝0与圆x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＋λ(Ax＋By＋C)＝0(λ∈R)．②过圆C1：x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＝0和圆C2：x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2＝0交点的圆系方程为x2＋y2＋D1x＋E1y＋F1＋λ(x2＋y2＋D2x＋E2y＋F2)＝0(λ≠－1)(该圆系不含圆C2，解题时，注意检验圆C2是否满足题意，以防漏解)．1．(苏教版选择性必修第一册P66练习T2)设a，b为实数，若直线ax＋by＝1与圆x2＋y2＝1相交，则点P(a，b)与圆的位置关系是(

)A．在圆上

B．在圆外C．在圆内

D．不能确定√

2．(北师大版选择性必修第一册P36练习T2改编)圆x2＋y2＝5在点P(1，2)处的切线方程为(

)A．x－2y＋3＝0 B．2x＋y－4＝0C．x＋2y－5＝0 D．2x－y－4＝0√

3．(多选)(人教A版选择性必修第一册P98练习T1改编)已知圆C1：x2＋y2＝4，圆C2：x2＋y2－8x－6y＋16＝0，则下列说法正确的是(

)A．圆C1与圆C2相交B．圆C1与圆C2外切C．两圆的圆心距为5D．两圆的圆心距为3√√

4．(人教A版选择性必修第一册P93练习T3)直线2x－y＋2＝0被圆(x－1)2＋(y－2)2＝4截得的弦长为______________．

5．(湘教版选择性必修第一册P100练习T3改编)若圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，则圆C1与圆C2的公共弦所在直线的方程是(

)A．x－1＝0

B．x＋y＋1＝0C．x＋1＝0

D．x－y－1＝0√B

[由圆C1：x2＋y2＋2x＋y＝0，圆C2：x2＋y2＋4x＋3y＋2＝0，将两圆方程作差，有(x2＋y2＋4x＋3y＋2)－(x2＋y2＋2x＋y)＝0，整理可得x＋y＋1＝0，即公共弦所在直线方程为x＋y＋1＝0．故选B．]考点深研·题型突破考点一

直线与圆的位置关系考向1

位置关系的判断[典例1]

(多选)(2021·新高考Ⅱ卷)已知直线l：ax＋by－r2＝0与圆C：x2＋y2＝r2，点A(a，b)，则下列说法正确的是(

)A．若点A在圆C上，则直线l与圆C相切B．若点A在圆C内，则直线l与圆C相离C．若点A在圆C外，则直线l与圆C相离D．若点A在直线l上，则直线l与圆C相切√√√

通性通法：判断直线与圆的位置关系的常用方法(1)几何法：利用d与r的关系．(2)代数法：联立方程之后利用Δ判断．(3)点与圆的位置关系法：若直线恒过定点且定点在圆内，可判断直线与圆相交．

√

考向3

切线问题[典例3]

若直线l过点P(2，3)，且与圆(x－1)2＋(y＋2)2＝1相切，求直线l的方程．

[母题探究]1．(变条件)若将本例3中“点P(2，3)”改为“点P(2，－2)”，其他条件不变，求直线l的方程．[解]

∵(2－1)2＋(－2＋2)2＝1，∴点P在圆上．∴过P(2，－2)的切线方程为x＝2，即直线l的方程为x＝2．2．(变结论)若本例3中条件不变，求此切线长．

通性通法：求过某点的圆的切线问题时，应首先确定点与圆的位置关系，再求切线方程．若点在圆上(即为切点)，则过该点的切线只有一条；若点在圆外，则过该点的切线有两条，此时注意斜率不存在的切线．

√

2．(2025·上海普陀区期末)已知圆C：(x－1)2＋(y－2)2＝25及直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y＝7m＋4(m∈R)．(1)求过点(4，6)的圆的切线方程；(2)找出不论m取什么实数时直线l恒经过的点，并证明：直线l与圆C恒相交；(3)求直线l被圆C截得的最短弦的长及此时的直线方程．

√

通性通法：(1)判断两圆的位置关系时常用几何法，即利用两圆圆心之间的距离与两圆半径之间的关系，一般不采用代数法．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项得到．[多维变迁]1．(2025·上海黄浦区三模)若圆C1：x2＋y2＝1和圆C2：x2＋y2－6x－8y－k＝0没有公共点，则实数k的取值范围是(

)A．(－9，11)B．(－∞，－9)∪(11，＋∞)C．(－25，－9)D．(－25，－9)∪(11，＋∞)√

2．(2025·马鞍山雨山区期末)圆心在直线x－y－4＝0上，且经过两圆x2＋y2－4x－3＝0，x2＋y2－4y－3＝0的交点的圆的方程为(

)A．x2＋y2－6x＋2y－3＝0B．x2＋y2＋6x＋2y－3＝0C．x2＋y2－6x－2y－3＝0D．x2＋y2＋6x－2y－3＝0√

√

2．(链接考点二)(人教B版选择性必修第一册P120探索与研究改编)圆x2－4x＋y2＝0与圆x2＋y2＋4x＋3＝0的公切线共有(

)A．1条

B．2条C．3条

D．4条√D

[由x2－4x＋y2＝0，得(x－2)2＋y2＝22，则圆心坐标为(2，0)，半径为2；由x2＋y2＋4x＋3＝0，得(x＋2)2＋y2＝12，则圆心坐标为(－2，0)，半径为1．故两圆的圆心距为4，半径之和为3，因为4>3，所以两圆的位置关系是外离，故两圆的公切线共有4条．故选D．]

√

4．(链接考向3)(人教A版选择性必修第一册P92例2改编)过点A(3，5)作圆O：x2＋y2－2x－4y＋1＝0的切线，则切线的方程为_______________________________．

5x－12y＋45＝0或x－3＝0

题号135246879101112√一、单项选择题

1．(2025·永州市期末)已知圆E：x2＋y2－6x－8y＝0，圆F：x2＋y2－2x－4y＋4＝0，则这两圆的位置关系为(

)A．内含

B．相切C．相交

D．外离课时作业(六十二)直线与圆、圆与圆的位置关系题号135246879101112

√2．(2025·长沙月考)已知圆C：(x－2)2＋(y－3)2＝16，直线l：(2m＋1)x＋(m＋1)y－13m－9＝0，则直线l与圆C的公共点个数为(

)A．0

B．1C．2

D．与m有关，不能确定题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112三、填空题10．(2025·天津卷)l1：x－y＋6＝0与x轴交于点A，与y轴交于点B，与圆(x＋1)2＋(y－3)2＝r2(r>0)交于C，D两点，|AB|＝3|CD|，则实数r＝______________．

题号1352468791011122

题号135246879101112

题号1352468791011120或－4

题号135246879101112题号13524687910111212．(2026·晋江模拟)若直线y＝kx＋b(k>0)与圆x2＋y2＝1和圆(x－6)2＋y2＝1都相切，则实数k＝

______________．

题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·丽江二模)过点P(－1，3)且平行于直线x－2y＋3＝0的直线方程为(

)A．x－2y＋7＝0

B．2x＋y－5＝0C．x＋2y－5＝0

D．2x＋y－1＝0阶段检测(十三)第59～62课时题号135246879101112A

[由题意，设直线的方程为x－2y＋c＝0(c≠3)，因为所求直线过点P(－1，3)，所以－1－6＋c＝0，解得c＝7，故所求直线的方程为x－2y＋7＝0．故选A．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√6．(2026·石家庄模拟)已知圆(x－1)2＋(y－1)2＝9上的点P到直线3x－4y＋7＝0的距离为1，则满足条件的点P的个数为(

)A．1

B．2C．3

D．4题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112对于D，直线过原点时，过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为y＝x，直线不过原点时，过点(2，2)且在x轴和y轴上截距都相等的直线方程为x＋y－4＝0，所以选项D错误．故选ACD．]题号135246879101112√8．(2026·苏州模拟)已知点P在圆C1：x2＋y2＝1上，点Q在圆C2：x2＋y2－6x＋8y＋24＝0上，则(

)A．两个圆外离B．|PQ|的取值范围为[3，7]C．两个圆上任意一点关于直线4x＋3y＝0的对称点仍在该圆上D．两个圆的公共弦所在直线的方程为6x－8y－25＝0题号135246879101112√√ABC

[易知圆C1的圆心为C1(0，0)，半径r1＝1．将C2的方程化为(x－3)2＋(y＋4)2＝1，得圆心为C2(3，－4)，半径r2＝1．对于A，两圆的圆心距|C1C2|＝5>r1＋r2，所以两圆外离，故A正确；对于B，|PQ|的最小值为|C1C2|－r1－r2＝3，最大