10　第二章　第9课时　函数的单调性的应用

第二章

函数第9课时函数的单调性的应用[考试要求]

1．会利用函数的单调性比较函数值的大小、解函数不等式．2．会求函数的最值或值域．理法先行·题练固本知识点函数的最值前提一般地，设函数y＝f(x)的定义域为D，如果存在实数M满足条件①∀x∈D，都有____________；②∃x0∈D，使得_____________①∀x∈D，都有_____________；②∃x0∈D，使得______________结论M是函数y＝f(x)的最大值M是函数y＝f(x)的最小值f(x)≤Mf(x0)＝Mf(x)≥Mf(x0)＝M[常用结论]1．闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值，当函数在闭区间上单调时最值一定在端点处取到．2．开区间上的“单峰(谷)”函数一定存在最大(小)值．1．(人教A版必修第一册P86习题3.2T7改编)已知f(x)＝－2x2＋x，x∈[－1，3]，则其单调递减区间为________；f(x)min＝________．－15

－23．(北师大版必修第一册P65习题2－3A组T2(1))函数y＝x2＋1在区间[1，4]上的最大值为________，最小值为________．17

2

[因为y＝f(x)＝x2＋1在区间[1，4]上单调递增，所以f(x)max＝f(4)＝17，f(x)min＝f(1)＝2．]17

2

考点深研·题型突破考点一比较函数值的大小[典例1]设f(x)的定义域为R，f(x)的图象关于y轴对称，且f(x)在[0，＋∞)上单调递增，则f(－2)，f(－π)，f(3)的大小关系是(

)A．f(－π)<f(－2)<f(3)B．f(－2)<f(3)<f(－π)C．f(－π)<f(3)<f(－2)D．f(3)<f(－2)<f(－π)√B

[因为f(x)的定义域为R，f(x)的图象关于y

轴对称，所以f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－π)＝f(π)．又f(x)在[0，＋∞)上单调递增，且2<3<π，所以f(2)<f(3)<f(π)，所以f(－2)<f(3)<f(－π)．故选B．]易错提醒：比较函数值大小的关键是将各自变量的值转化到同一单调区间上．

√

易错提醒：求解函数不等式时，由单调性脱去“f”，转化为自变量间的大小关系，还要注意函数的定义域．

√

通性通法：函数的最值与单调性的关系(1)若函数在闭区间[a，b]上单调递减，则f(x)在[a，b]上的最大值为f

(a)，最小值为f(b)．(2)若函数在闭区间[a，b]上单调递增，则f(x)在[a，b]上的最大值为f

(b)，最小值为f(a)．(3)求最值时一定要注意所给区间的开闭，若是开区间，则不一定有最大(小)值．

√

易错提醒：易混淆两个概念：“函数的单调区间”和“函数在某区间上单调”，前者指函数具备单调性的“最大”的区间，后者是前者“最大”区间的子集．【教用·通性通法】利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性的定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较，求出参数；(2)若函数在区间[a，b]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．

√

√

[1，2)微点突破4

求函数的值域(最值)的常用方法(1)配方法：主要用于与一元二次函数有关的函数求值域问题．(2)单调性法：利用函数的单调性，再根据所给定义域来确定函数的值域．(3)数形结合法．(4)换元法：引进一个(几个)新的量来代替原来的量，实行这种“变量代换”．(5)分离常数法：分子、分母同次的分式形式采用配凑分子的方法，把函数分离成一个常数和一个分式和的形式．

√√√ACD

[对于A，配方法：y＝x2－2x＋3＝(x－1)2＋2，由x∈[0，3)，再结合函数的图象(如图1所示)，可得函数的值域为[2，6)；

√B

[易知f(x)是R上的减函数，又π>3>2，故f(π)<f(3)<f(2)．故选B．]2．(链接考点二)(2025·杭州期末)已知函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，且f(1－a)＜f(a－3)，则实数a的取值范围是(

)A．(2，＋∞) B．(－∞，2)C．(1，2) D．(1，3)√A

[因为函数y＝f(x)是定义在R上的增函数，且f(1－a)＜f(a－3)，所以1－a＜a－3，解得a＞2．故选A．]

√

4．(链接考点四)(人教A版必修第一册P100复习参考题3T4改编)已知函数f(x)＝x2－2ax＋4在[0，＋∞)上单调递增，则实数a的取值范围为______________．(－∞，0]

[函数f(x)＝x2－2ax＋4＝(x－a)2＋4－a2，所以f(x)的单调递增区间是[a，＋∞)，依题意知，[0，＋∞)⊆[a，＋∞)，所以a≤0，即实数a的取值范围是(－∞，0]．](－∞，0]

题号135246879101112√一、单项选择题1．已知f(x)是偶函数，f(x)在[1，3]上单调递增，则f(1)，f(－2)，f

(－3)的大小关系为(

)A．f(1)>f(－2)>f(－3)B．f(－2)>f(－3)>f(1)C．f(－3)>f(1)>f(－2)D．f(－3)>f(－2)>f(1)课时作业(九)函数的单调性的应用题号135246879101112D

[因为f(x)是偶函数，所以f(－2)＝f(2)，f(－3)＝f(3)．因为f(x)在[1，3]上单调递增，所以f(3)>f(2)>f(1)，所以f(－3)>f(－2)>f(1)．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√5．(2025·鞍山市立山区期末)min{a，b，c}表示a，b，c三个数中的最小值，则函数f(x)＝min{2＋x，14－x，2x}(x≥0)的最大值为(

)A．2 B．4C．6 D．8题号135246879101112D

[画出函数y＝2x，y＝2＋x，y＝14－x的图象如图所示，由图象可知，当0≤x≤2时，f(x)＝2x，当2＜x≤6时，f(x)＝2＋x，当x＞6时，f(x)＝14－x，当x＝6时，f(x)取到最大值，f(6)＝8．故选D．]题号135246879101112√6．(2025·伊春调研)已知函数f(x)在R上为增函数，若不等式f(－4x＋a)>f(－3－x2)，∀x∈(3，＋∞)恒成立，则实数a的取值范围为(

)A．[－1，＋∞) B．[3，＋∞)C．[0，＋∞) D．(1，＋∞)题号135246879101112C

[由题意，得－4x＋a>－3－x2，∀x∈(3，＋∞)恒成立，则a>－x2＋4x－3，∀x∈(3，＋∞)恒成立．设函数g(x)＝－x2＋4x－3＝－(x－2)2＋1，因为当x>3时，g(x)<g(3)＝0，所以实数a的取值范围为[0，＋∞)．故选C．]题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√8．已知函数f(x)＝－x2＋2|x|＋1，则下列说法正确的是(

)A．函数y＝f(x)在(－∞，－1]上单调递增B．函数y＝f(x)在[－1，0]上单调递减C．当x＝0时，函数y＝f(x)有最小值D．当x＝－1或x＝1时，函数y＝f(x)有最大值题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112三、填空题10．(人教B版必修第一册P107练习BT1)已知函数f(x)的定义域为[－1，5]，且在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，那么下列说法中，一定正确的是____________．(填序号)(1)f(0)<f(2)；(2)f(3)>f(2)；(3)f(x)在区间[－1，5]上有最大值，而且f(2)是最大值；(4)f(0)与f(3)的大小关系不确定；(5)f(x)在区间[－1，5]上有最小值；(6)f(x)在区间[－1，5]上的最小值是f(5)．题号135246879101112(1)(3)(4)(5)(1)(3)(4)(5)

[∵f(x)在区间[－1，2]上单调递增，∴f(0)<f(2)，故(1)正确．∵函数f(x)在区间[2，5]上单调递减，∴f(3)<f(2)，故(2)错误．∵函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，在区间[2，5]上单调递减，∴函数f(x)在区间[－1