80　第十章　第73课时　两个计数原理、排列与组合

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第73课时两个计数原理、排列与组合[考试要求]

1．理解分类加法计数原理和分步乘法计数原理．2．理解排列、组合的概念，能利用计数原理推导排列数公式、组合数公式．3．会用两个计数原理及排列组合分析和解决一些简单的实际问题．理法先行·题练固本知识点1

两个计数原理(1)分类加法计数原理：完成一件事有两类不同方案，在第1类方案中有m种不同的方法，在第2类方案中有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝______种不同的方法．

(2)分步乘法计数原理：完成一件事需要两个步骤，做第1步有m种不同的方法，做第2步有n种不同的方法，那么完成这件事共有N＝____种不同的方法．m＋nm×n知识点2

排列与组合的概念名称定义排列从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素按照__________排成一列组合作为一组一定的顺序

(3)排列数、组合数的公式、性质公式性质n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)1

n！[常用结论]解排列组合问题的基本策略(1)相邻问题捆绑策略，不相邻问题插空策略．(2)多排问题单排策略，定位问题优先策略．(3)定序问题消序策略，有序分配分步策略．(4)多元问题分类策略，交叉问题集合策略．(5)至少(至多)问题间接策略，选排问题先取后排策略．

1．(苏教版选择性必修第二册P63练习T6)若4名学生报名参加数学、计算机、航模兴趣小组，每人选报1项，则不同的报名方式有(

)A．34种 B．43种C．3×2×1种 D．4×3×2种√A

[4名学生中每人有3种可选方案，根据分步乘法计数原理，4人共有3×3×3×3＝34(种)报名方式，故选A．]2．(北师大版选择性必修第一册P162习题5－1T1)在1，2，3，…，200中，被5除余1的数共有______________个．

40

3．(人教A版选择性必修第三册P37复习参考题6T1(3))安排6名歌手演出顺序时，要求某歌手不是第一个出场，也不是最后一个出场，不同排法的种数是______________．

480

√

330

考点深研·题型突破

√(2)(人教A版选择性必修第三册P27习题6.2T17改编)如图，用4种不同的颜色把图中A，B，C，D四块区域区分开，若相邻区域不能涂同一种颜色，则不同的涂法共有(

)A．144种 B．73种C．48种 D．32种√(3)(多选)现安排大三年级A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名同学只能选择一个工厂，且允许多人选择同一个工厂，则下列说法正确的是(

)A．共有43种不同的安排方法B．若甲工厂必须有同学去，则不同的安排方法有37种C．若A同学必须去甲工厂，则不同的安排方法有12种D．若三名同学所选工厂各不相同，则不同的安排方法有24种√√√(1)A

(2)C

(3)ABD

[(1)因为焦点在x轴上，所以m>n，以m的值为标准分类，由分类加法计数原理，可分为四类，第一类：当m＝5时，n有4种选择；第二类：当m＝4时，n有3种选择；第三类：当m＝3时，n有2种选择；第四类：当m＝2时，n有1种选择．故符合条件的椭圆共有10个．故选A．(2)第一步，给A区域涂色，有4种涂法；第二步，给B区域涂色，有3种涂法；第三步，给C区域涂色，有2种涂法；第四步，给D区域涂色，有2种涂法．所以共有4×3×2×2＝48(种)涂法．故选C．(3)对于A，A，B，C三名同学到甲、乙、丙、丁四个工厂进行社会实践，每名学生有4种选法，则三名学生有4×4×4＝43(种)选法，故A正确；对于B，三人到四个工厂，有43＝64(种)情况，其中甲工厂没有人去，即三人全部到乙、丙、丁三个工厂的情况有33＝27(种)，则甲工厂必须有同学去的安排方法有64—27＝37(种)，故B正确；对于C，若同学A必须去甲工厂，剩下2名同学安排到4个工厂即可，有42＝16(种)安排方法，故C错误；对于D，若三名同学所选工厂各不相同，有4×3×2＝24(种)安排方法，故D正确．故选ABD．]通性通法：两个计数原理的应用技巧(1)在应用分类加法计数原理和分步乘法计数原理时，一般先分类再分步，每一步当中又可能用到分类加法计数原理．(2)对于复杂的两个计数原理的综合应用问题，可恰当列出示意图或表格，使问题形象化、直观化．[多维变迁](2025·天津月考)已知0，1，2，3，4，5这六个数字．(1)可以组成多少个无重复数字的三位数？(2)可以组成多少个无重复数字的三位奇数？(3)可以组成多少个无重复数字的小于1000的自然数？(4)可以组成多少个无重复数字的大于3000且小于5421的四位数？[解]

(1)分3步：①先选百位数字有5种选法；②再选十位数字有5种选法；③最后选个位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知，所求三位数共有5×5×4＝100(个)．(2)分3步：①先选个位数字，由于组成的三位数是奇数，因此有3种选法；②再选百位数字有4种选法；③最后选十位数字有4种选法．由分步乘法计数原理知，所求三位数共有3×4×4＝48(个)．(3)分3类：①一位数，共有6个；②两位数，先选十位数字，有5种选法，再选个位数字，也有5种选法，共有5×5＝25(个)；③三位数，先选百位数字，有5种选法，再选十位数字，有5种选法，最后选个位数字，有4种选法，共有5×5×4＝100(个)．因此，比1

000小的自然数共有6＋25＋100＝131(个)．(4)分4类：①千位数字为3或4时，后面三个数位上可随便选择，此时共有2×5×4×3＝120(个)；②千位数字为5，百位数字为0，1，2，3之一时，共有4×4×3＝48(个)；③千位数字为5，百位数字为4，十位数字为0，1之一时，共有2×3＝6(个)；④5

420也满足条件．故所求四位数共有120＋48＋6＋1＝175(个)．

√√√(2)(2023·新高考Ⅰ卷)某学校开设了4门体育类选修课和4门艺术类选修课，学生需从这8门课中选修2门或3门课，并且每类选修课至少选修1门，则不同的选课方案共有______________种(用数字作答)．

64

思维建模：特元特位模型(有特殊要求的排列问题)第1步

特殊优先：先排特殊元素或特殊位置．第2步

排其他，得结论：再排其他元素，并得出结论．考点三

排列、组合的综合问题考向1

分组分配问题[典例3]

按下列要求分配6本不同的书，各有多少种不同的分配方法？(1)分成三份，1份1本，1份2本，1份3本；(2)甲、乙、丙三人中，一人得1本，一人得2本，一人得3本；(3)平均分成三份，每份2本；(4)平均分配给甲、乙、丙三人，每人2本；(5)分成三份，1份4本，另外两份每份1本；(6)甲、乙、丙三人中，一人得4本，另外两人每人得1本．

(2)部分均匀分组：解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，一个分组中有几个这样的均匀分组就要除以几个这样的全排列数．(3)不均匀分组：解答本类题，只需先分组，后排列，注意分组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数．[多维变迁]1．(2025·喀什期末)某班10名同学一起参加数学竞赛，赛后老师为这10名同学拍合影留念，前排站4人后排站6人，后来老师决定从后排6人中抽出两名同学站到前排，其他同学的相对顺序不变，则调整方法有(

)A．150种 B．300种C．450种 D．225种√

2．把9个入团名额分给6个班级，每班至少一人，不同的分法种数为(

)A．41 B．56C．156 D．252√

考向2

相邻、相间问题[典例4]

(多选)(2026·咸阳模拟)某大熊猫繁育基地对该基地大熊猫幼崽进行体检，体检后将体重各不相同的A，B，C，D，E，F六只幼崽排成一排晒太阳，则下列说法正确的是(

)A．若将A，C，D三只幼崽从左到右按照体重递增的顺序排列，则共有120种排法B．若E与F两只幼崽不相邻，则共有480种排法C．若A，B，C三只幼崽排在一起，且A只能在B与C的中间，则共有72种排法D．若幼崽D不在排头，F不在排尾，则共有480种排法√√

思维建模：相邻、相间模型(相邻、不相邻排队问题)第1步

相邻捆绑：若有相邻，则将相邻元素捆绑看作一个无要求元素(求内部顺序)；若没有相邻，则跳过此步．第2步

排其他：将无要求元素全排列．第3步

不相邻插空：若没有不相邻，则得结论；若有不相邻，则将不相邻元素插空，得结论．[多维变迁](2026·重庆模拟)现有A，B，C，D，E五人站成一排，则A，B相邻且C，D不相邻的排法种数共有(

)A．6 B．12C．24 D．48√

微点突破15计数原理中的创新探究问题计数原理中的创新探究问题，是近几年高考中的热点问题．这类问题情境新颖，着重考查学生的运算求解能力、逻辑推理能力和创新应用能力．解决这类问题，除了推理严谨、计算准确外，还要注意利用题目可能具备的开放性，从不同角度分析问题、发现规律，这常常能减少一些不必要的讨论．[典例5]

(2024·

新高考Ⅱ卷)在如图的4×4的方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，则共有______________种选法．在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最大值是______________．

1121314012223342132233431524344424

11224

112

[第一步，从第一行任选一个数，共有4种不同的选法；第二步，从第二行选一个与第一个数不同列的数，共有3种不同的选法；第三步，从第三行选一个与第一、二个数均不同列的数，共有2种不同的选法；第四步，从第四行选一个与第一、二、三个数均不同列的数，只有1种选法．由分步乘法计数原理知，不同的选法种数为4×3×2×1＝24．先按列分析，每列必选出一个数，故所选4个数的十位上的数字分别为1，2，3，4．再按行分析，第一、二、三、四行个位上的数字的最大值分别为1，3，3，5，故从第一行选21，从第二行选33，从第三行选43，从第四行选15，此时个位上的数字之和最大．故选中方格中的4个数之和的最大值为21＋33＋43＋15＝112．][母题探究]1．(变结论)本题条件不变，求在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是______________．

108

[由本例解析知所选方格中，40，12，22，34的和最小，选中方格中的4个数之和的最小值为108．]108

2．(综合变式)在如图的4×4方格表中选4个方格，要求每行和每列均恰有一个方格被选中，且4个数之和为正，则共有______________种选法；在所有符合上述要求的选法中，选中方格中的4个数之和的最小值是______________．

－12－344

－12－3－34－122－34－112

4

12

4

[根据题意可得所有情况如图所示．则满足4个数之和为正的有12个，其中最小值为4．]1．(链接考点一)(人教A版选择性必修第三册P11习题6.1T2改编)如图，从甲地到乙地有3条路，从乙地到丁地有2条路；从甲地到丙地有3条路，从丙地到丁地有4条路．则从甲地到丁地的不同路线共有(

)A．12条 B．15条C．18条 D．72条√C

[若路线为甲、乙、丁，则有3×2＝6(条)；若路线为甲、丙、丁，则有3×4＝12(条)，故共有6＋12＝18(条)．故选C．]2．(链接考向1)(2025·西安期末)将5名同学分配到三个班，每班至少1名同学，则不同的分配方法有(

)A．60种 B．180种C．150种 D．300种√

3．(链接考向2)(多选)(2026·眉山模拟)甲、乙、丙、丁、戊五人并排站成一排，下列说法正确的是(

)A．如果甲、乙必须相邻且乙在甲的右边，那么不同的排法有24种B．最左端只能排甲或乙，最右端不能排甲，则不同的排法共有18种C．甲、乙不相邻的排法种数为70D．甲、乙、丙按从左到右的顺序排列的排法有20种√√

4．(链接考点二)(2025·上海卷)4个家长和2个儿童去爬山，6个人需要排成一条队列，要求队列的头和尾均是家长，则不同的排列种数为______________．

288

题号135246879101112√

课时作业(七十三)两个计数原理、排列与组合题号135246879101112

√2．(2025·荆州期末)7名同学排成一排照相，则其中甲、乙不相邻的不同排法种数为(

)A．240 B．3600C．960 D．1920题号135246879101112

√3．(2025·绵阳期末)用数字0，2，3，4，5组成没有重复数字的三位奇数的个数为(

)A．30 B．24C．18 D．12题号135246879101112

题号135246879101112√4．(2025·武汉期末)高二某班为了准备校园文化节活动的展示牌，计划用5种不同的颜色给图中A，B，C，D四个区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不同，则不同的涂色方法数为(

)A．120 B．160C．180 D．240题号135246879101112C

[由题意，区域A有5种涂法，B有4种涂法，C，A不同色，C有3种，D有2种涂法，有5×4×3×2＝120(种)，C，A同色，D有3种涂法，有5×4×3＝60(种)，所以共有120＋60＝180(种)不同的涂色方法．故选C．]题号135246879101112√5．(2025·泉州期中)甲、乙、丙、丁四位师范生分配到A，B，C三所学校实习，若每所学校至少分到一人，则不同的分配方案的种数是(

)A．48 B．36C．24 D．12题号135246879101112

题号135246879101112√6．(人教B版选择性必修第二册P38复习题A组T3改编)在数学中，有这样一类顺读与倒读都是同一个数的自然数，被称为“回文数”．如44，585，2662等，那么用数字1，2，3，4，5，6可以组成4位数的“回文数”的个数为(

)A．30 B．36C．360 D．1296题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号1352468791011