47　第六章　第44课时　数列的概念及其函数特性

第六章数列第六章数列第44课时数列的概念及其函数特性[考试要求]

1．了解数列的概念和几种简单的表示方法(列表、图象、通项公式)．2．了解数列是自变量为正整数的一类特殊函数．

理法先行·题练固本知识点1

数列的有关概念名称概念通项公式如果数列{an}的第n项an与它的_____之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式递推公式如果一个数列的相邻两项或多项之间的关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的递推公式序号n名称概念数列{an}的前n项和知识点2

数列的分类分类标准类型满足条件按项数分类有穷数列项数____无穷数列项数____按项与项间的大小关系分类递增数列an+1__an其中n∈N*递减数列an+1__an常数列an+1＝an按其他标准分类摆动数列从第2项起，有些项大于它的前一项，有些项小于它的前一项有限无限><知识点3

数列与函数的关系数列{an}是从正整数集N*(或它的有限子集{1，2，…，n})到实数集R的函数，其自变量是_____，对应的函数值是_____________，记为an＝f(n)．序号n数列的第n项an

2．数列的函数性质由于数列可以看作一个关于n(n∈N*)的函数，因此它具备函数的某些性质：(1)单调性——若an+1>an，则{an}为递增数列；若an+1<an，则{an}为递减数列，否则为摆动数列或常数列(an+1＝an)．(2)周期性——若an+k＝an(k为非零常数)，则{an}为周期数列，k为{an}的一个周期．1．(人教A版选择性必修第二册P8练习T1(1))根据下面的图形及相应的点数，可得点数构成的数列的一个通项公式an＝______________．

5n－4

[由题图可知，a1＝1＝5×1－4，a2＝6＝5×2－4，a3＝11＝5×3－4，a4＝16＝5×4－4＝16，…，归纳得an＝5n－4．]5n－4

2．(人教B版选择性必修第三册P13例3改编)已知数列{an}的前n项和Sn＝n2＋1，则an＝________________________．

增

√

考点深研·题型突破

√

通性通法：已知数列的前几项求通项公式，主要从以下几个方面来考虑：(1)负号用(－1)n与(－1)n+1或(－1)n-1来调节，这是因为n和n＋1奇偶交错．(2)分式形式的数列，分子、分母找通项，要充分借助分子、分母的关系．(3)对于比较复杂的通项公式，要借助于等差数列、等比数列和其他方法解决．

√

[母题探究](变条件)本例(1)中，若Sn＝2n2＋n，求an．[解]

当n＝1时，a1＝3，当n≥2时，an＝Sn－Sn-1＝2n2＋n－[2(n－1)2＋(n－1)]＝4n－1，由于a1＝3满足上式，所以an＝4n－1(n∈N*)．思维建模：和减和模型第1步

类比：令n取n－1，写出Sn-1．第2步

作差：两式相减去掉Sn，Sn-1．第3步

整理：得到an通项或递推关系式．第4步

求通项：求通项公式，然后考虑是否有漏项，有则需要验证，否则不需要．第5步

写通项：若符合通项，则写成一个式子；若不符合，则写成分段形式．【教用·通性通法】an与Sn的关系问题的求解思路(1)利用an＝Sn－Sn-1(n≥2)转化为只含Sn，Sn-1的关系式，再求解．(2)利用Sn－Sn-1＝an(n≥2)转化为只含an，an-1的关系式，再求解．

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√√√

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√

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4

通性通法：(1)解决数列的周期性问题，先求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值．(2)解决数列的单调性问题，常用作差比较法，根据差的符号判断数列{an}的单调性．[多维变迁]1．(2025·黄冈市三模)函数f(x)的定义域为[1，＋∞)，数列{an}满足an＝f(n)，则“函数f(x)为减函数”是“数列{an}为递减数列”的(

)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件√

√

√√√BCD

[A选项：因为an-2＝an－an-1(n≥3)，因此Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝(a3－a2)＋(a4－a3)＋(a5－a4)＋…＋(an+2－an+1)＝an+2－a2＝an+2－1，因此S20＋1＝a22，因此A选项错误．B选项：因为a1＋a3＋a5＋…＋a2n-1＝a2n，因此B选项正确．C选项：因为a2＋a4＋a6＋…＋a30＝a1＋a2＋a4＋a6＋…＋a30－a1＝a3＋a4＋a6＋…＋a30－a1＝…＝a31－a1＝a31－1，因此C选项正确．

√

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7

题/p>

√课时作业(四十四)数列的概念及其函数特性题/p>

√题号135246879102．(2025·南阳期中)已知数列{an}满足a1＝2，且an+1＝an＋3n＋2(n≥1)，则a10＝(

)A．182

B．173C．164

D．155题/p>

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√题/p>

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√√题/p>

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√√√题/p>

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题号135246879108．(2025·成都月考)已知数列{an}的通项公式为an＝n2－2tn＋5(n∈N*)，若{an}是递增数列，则实数