第八单元复习与关联(讲义)2026-2027学年五年级数学上册人教版

新人教版五年级上册数学·第八单元《复习与关联》讲义第页·共页新人教版·数学·五年级上册第八单元《复习与关联》复习讲义全册知识梳理·结构化关联·例题精讲·分层练习适用年级五年级（上）单元课号第八单元·总复习配套教材人教版（2026秋新版）建议课时2～3课时【单元导语】“复习与关联”是全册学习的“总装车间”。它不是把学过的知识简单重复一遍，而是把散落在八个单元里的知识重新“穿珠成链”：数与运算串成一条线，图形的位置、运动与测量连成一张网，可能性与应用提升织成一片云。复习时要用“关联”的眼光看数学——弄清知识的来龙去脉，抓住贯穿其中的数学思想（转化、模型、符号意识、数形结合），才能做到“温故而知新”。【学习目标】复习完本讲义，你应能做到：①系统整理小数乘除法的计算方法，能正确、熟练地计算，并能按要求取积、商的近似值；②会用字母表示数、运算律和常见数量关系，体会由“算术”走向“代数”的符号意识；③能辨认从三个方向观察组合体看到的形状，熟练运用面积公式计算组合图形的面积，体会转化思想；④能判断事件发生的确定性与可能性大小，会设计简单公平的游戏规则；⑤掌握植树问题的基本模型及其变式，能灵活解决实际问题。新人教版五年级上册数学·第八单元《复习与关联》讲义第页·共页■一、全册知识思维导图先用1分钟“鸟瞰”全册：六大板块就像六棵树，根都扎在“转化与关联”的土壤里。建议把这张图打印张贴，每次复习前先在头脑中“过电影”，再对照查漏补缺。新人教版五年级上册数学·第八单元《复习与关联》讲义第页·共页■二、知识点归纳（六大板块）▍板块一数与运算（对应第二单元小数乘法、第三单元小数除法）1.小数乘法意义：小数乘整数表示求几个相同加数的和，如2.5×3表示3个2.5的和；小数乘小数表示求一个数的十分之几、百分之几……计算法则：①先按整数乘法算出积；②看两个因数中一共有几位小数，就从积的右边起数出几位，点上小数点；③位数不够时用0占位，再点小数点；④积末尾的0要化简去掉。积的近似数：用“四舍五入”法，看要保留位数的下一位；解决问题时按实际需要选择“进一法”“去尾法”。运算律推广：整数乘法的交换律a×b＝b×a、结合律(a×b)×c＝a×(b×c)、分配律(a＋b)×c＝a×c＋b×c对小数同样适用，是简算的依据。积与因数的大小关系（0除外）：乘大于1的数，积＞原数；乘1，积＝原数；乘小于1的数，积＜原数。2.小数除法除数是整数：按整数除法的方法计算，商的小数点要与被除数的小数点对齐；整数部分不够商1就商0；除到末位仍有余数，添0继续除。一个数除以小数：依据商不变的性质，把除数转化为整数——除数和被除数的小数点同时向右移动相同的位数，再按“除数是整数”来算（转化思想）。商与被除数的大小关系（0除外）：除数＞1，商＜被除数；除数＜1（不为0），商＞被除数。循环小数：从小数部分的某一位起，一个数字或几个数字依次不断重复出现。重复的部分叫循环节。有限小数、无限小数：小数部分的位数有限的是有限小数；循环小数是无限小数，但无限小数不一定是循环小数。商的近似数：一般先除到比需要保留的小数位多一位，再四舍五入；取近似数时用“≈”。★关联点：小数乘、除法的“根”都在整数运算——把小数转化为整数，算完再“点”小数点；乘法与除法互为逆运算，可用来验算（商×除数＝被除数，有余数时商×除数＋余数＝被除数）。小数点的移动规律（乘或除以10、100、1000…）是沟通两者的桥梁。▍板块二数量关系（对应第五单元用字母表示数和数量关系）字母表示数的意义：用字母表示数，能把数量关系简明、概括地表达出来，是从算术思维走向代数思维的关键一步。书写规则：数与字母相乘，乘号记作“·”或省略不写，数要写在字母的前面，如a×4写作4a；1与字母相乘，1省略不写；相同字母相乘可写作平方，如a×a＝a²。用字母表示运算律：加法交换律a＋b＝b＋a，乘法交换律ab＝ba，乘法结合律(ab)c＝a(bc)，乘法分配律(a＋b)c＝ac＋bc。用字母表示公式：正方形周长C＝4a、面积S＝a²；长方形周长C＝2(a＋b)、面积S＝ab；平行四边形S＝ah；三角形S＝ah÷2；梯形S＝(a＋b)h÷2；路程s＝vt；总价＝单价×数量。求值（代入）：先写出含字母的式子，把字母的值代入计算，结果后面写单位、写答语。★关联点：本板块是“数量关系”的浓缩语言：六年级要学的方程、比例，初中要学的代数式，都从这里起步。字母公式又反过来服务于图形测量（板块四）和应用提升（板块六），一定要融会贯通。▍板块三图形的位置（对应第一单元观察简单组合体）观察方法：从正面、上面、左面三个方向观察由小正方体拼成的组合体，观察时视线要正对观察面。辨认形状：从正面看，确定列数与层数；从上面看，确定列数与行数；从左面看，确定行数与层数。根据视图还原：先按“上面看”的形状搭好“底座”，再按“正面看”确定每列的层数，最后用“左面看”检验调整——这是空间观念与推理能力的综合体现。★关联点：观察物体是“三维与二维互换”的训练：三维→二维（画视图），二维→三维（还原物体）。它与数对、方向与位置共同构成“图形的位置”知识链，也为中学三视图打基础。▍板块四图形的运动与测量（对应第四单元图形的运动、第六单元多边形的面积）1.图形的运动轴对称：对折后两边完全重合的图形是轴对称图形，折痕所在直线是对称轴；能在方格纸上补全轴对称图形（先找对称点，再连线）。平移：两要素——方向和距离；平移后图形的形状、大小不变，只是位置改变。旋转：三要素——旋转中心、旋转方向（顺时针/逆时针）、旋转角度；旋转后图形的形状、大小不变，位置和方向改变。设计图案：利用轴对称、平移、旋转可以设计美丽图案。2.多边形的面积平行四边形：沿高剪开，平移拼成长方形→S＝ah（底×高，底与高要对应）。三角形：两个完全一样的三角形可拼成平行四边形→S＝ah÷2。梯形：两个完全一样的梯形可拼成平行四边形→S＝(a＋b)h÷2。组合图形：用分割法（分成几个基本图形，面积相加）或添补法（补成基本图形，面积相减）计算。重要结论：等底等高的三角形面积相等；等底等高的平行四边形面积是三角形面积的2倍。★关联点：五个面积公式同出一门——都是把新图形“转化”成已经学过的图形（长方形）推导出来的；而“剪、拼、旋转、平移”正是图形的运动知识在测量中的直接应用。面积单位换算：相邻面积单位进率是100，1公顷＝10000平方米。▍板块五可能性（对应第七单元可能性）事件的分类：一定发生的事件用“一定”描述；一定不发生的事件用“不可能”描述；可能发生也可能不发生的事件用“可能”描述——它们是不确定事件。可能性的大小：在总数中，某种结果占的个数越多，发生的可能性就越大；个数相同，可能性就相等。游戏公平性：双方获胜的可能性相等，游戏规则才公平；设计规则时尽量让双方“机会均等”。★关联点：可能性大小与“份数（占比）”有关，本质上是分数、比的思想；判断“一定、可能、不可能”要紧扣已知条件，不能凭感觉。▍板块六应用提升（数学广角：植树问题）基本数量关系：总长÷间距＝段数（间隔数）。四种基本模型：①两端都栽：棵数＝段数＋1；②一端栽、一端不栽：棵数＝段数；③两端都不栽：棵数＝段数−1；④封闭图形（圆、正方形等）：棵数＝段数。常见变式：锯木头（次数＝段数−1）、爬楼梯（层数＝间隔数＋1）、敲钟报时、排队、车站设点等，都要先画线段图找到“对应关系”。★关联点：植树问题的本质是“除法平均分”＋“点与段的对应”（一一对应思想）。解题三步：①分清类型（两端、一端、两端不栽、封闭）；②先求段数；③按模型求棵数，别忘了“两旁”“两侧”要乘2。

■三、经典例题精讲以下9道例题覆盖六大板块的高频考点，先独立完成，再对照“思路点拨”与“规范解答”复盘，最后用一句话总结“方法总结”。例1小数乘法的简便计算【板块一】计算：0.25×32×1.25。【思路点拨】32不能直接与0.25、1.25凑整，把32拆成4×8：0.25配4得1，1.25配8得10——这是“拆数凑整”的常用技巧。规范解答：0.25×32×1.25＝0.25×(4×8)×1.25＝(0.25×4)×(8×1.25)＝1×10＝10【方法总结】见0.25想4，见1.25想8，见2.5想4，见5想2；“凑整”是简算的灵魂。例2小数除法与循环小数【板块一】计算5.7÷0.18，商保留两位小数，并说明商是什么小数。【思路点拨】先把除数0.18变成整数18，小数点同时向右移动两位，被除数5.7变成570；除到百分位后再多除一位用于四舍五入。规范解答：5.7÷0.18＝570÷18＝31.666…，商是循环小数，循环节是6；保留两位小数：31.666…≈31.67。【方法总结】“一看二移三算”：一看除数是几位小数，二同时移动小数点，三按整数除法计算；循环小数是无限小数，取近似数时才用“≈”。例3积与商的规律（不计算比大小）【板块一】在○里填上“＞”“＜”或“＝”：3.45×0.99○3.453.45×1.01○3.453.45÷0.99○3.453.45÷1.01○3.45【思路点拨】抓住“乘小（于1的数）变小、乘大变大；除以小变大、除以大变小”。3.45≠0，0.99＜1，1.01＞1。规范解答：＜＞＞＜【方法总结】这类题不必计算，把0.99、1.01与1比一比即可；注意“乘1或除以1，等于原数”这一特殊情况。例4用字母表示数与代入求值【板块二】（1）一辆汽车每小时行驶v千米，t小时行驶多少千米？当v＝85，t＝3.6时，行驶了多少千米？（2）水果店运来a千克苹果，运来的梨的质量是苹果的2.5倍。a＋2.5a表示什么？当a＝40时，苹果和梨一共多少千克？【思路点拨】(1)直接用“速度×时间＝路程”；(2)先化简a＋2.5a＝3.5a，弄清3.5a的含义再代入求值——能化简的式子要先化简。规范解答：(1)行驶vt千米；85×3.6＝306（千米）。(2)a＋2.5a＝3.5a，表示苹果和梨的总质量；当a＝40时，3.5a＝3.5×40＝140（千克）。【方法总结】代入求值三步：写式子→代数值→算结果；含字母的式子相加减，先合并（化简）再代入更简便。例5观察组合体【板块三】用5个同样大的小正方体搭成一个组合体：下层从左到右摆4个排成一行，再在第2个的上面摞1个。从正面、上面、左面看，分别看到怎样的形状？（■表示看到的正方形）【思路点拨】从正面看：下层4个、上层1个（对齐第2列）；从上面看：一行4个（上层的正方体从上面看与下层重合）；从左面看：一列2个（上层与下层前后对齐）。规范解答：从正面看从上面看从左面看【方法总结】“正面定层数，上面定行数，左面来检验”；上层的正方体在上方观察时会与下层的重合，别多画。例6组合图形的面积【板块四】一块直角梯形菜地上底4米、下底8米、高6米。中间挖去一个长4米、宽2米的长方形水池（长方形的长与梯形的底平行）。种菜的面积是多少平方米？【思路点拨】组合图形求“剩余”面积用“添补法”思路：梯形总面积−长方形水池面积＝种菜面积。规范解答：S梯形＝(4＋8)×6÷2＝36（平方米）S水池＝4×2＝8（平方米）36−8＝28（平方米）答：种菜的面积是28平方米。【方法总结】组合图形两种思路：分割相加、添补（挖去）相减；选哪种取决于图形“缺什么、补什么”，别忘了统一单位。例7可能性的大小【板块五】盒子里放着除颜色外完全相同的球：红球5个、黄球3个、白球1个。（1）任意摸出一个球，可能出现哪几种结果？摸出哪种颜色球的可能性最大？（2）小明说：“任意摸出一个球，一定是红球。”他说得对吗？（3）要使摸出红球和黄球的可能性相等，可以怎么办？【思路点拨】(1)有几种颜色就可能摸出几种结果，数量越多可能性越大；(2)“一定”要求只有红球；(3)让红、黄球个数相等即可。规范解答：(1)可能摸出红球、黄球或白球，共3种结果；红球最多（5个），摸出红球的可能性最大。(2)不对。因为盒子里还有黄球和白球，摸出红球只是可能性大，不是一定。(3)可以再放入2个黄球（或取出2个红球），使红球和黄球个数相同。【方法总结】可能性大小看数量：多→可能性大，同→可能性相等；但“可能性大”≠“一定发生”。例8植树问题【板块六】（1）学校门前一条小路长42米，每隔6米栽一棵小树（两端都栽），一共要栽多少棵？（2）一个圆形池塘周长240米，沿池塘每隔8米栽一棵柳树，一共要栽多少棵？（3）把一根木头锯成6段，每锯一次用3分钟，一共要用多少分钟？【思路点拨】(1)两端都栽，棵数＝段数＋1；(2)封闭图形，棵数＝段数；(3)锯木头是“两端都不栽”的变式：锯6段只需锯6−1＝5次。先画线段图，再套模型。规范解答：(1)42÷6＝7（段），7＋1＝8（棵）(2)240÷8＝30（棵）(3)(6−1)×3＝15（分钟）【方法总结】植树问题解题三步曲：判断类型→先求段数→套用模型；变式题先找出“谁是树、谁是间隔”。例9估算与决策【综合应用】学校组织春游，全校共102名师生参加，门票每张19.8元。带队老师带了2000元，够吗？【思路点拨】不必精确计算，把19.8往大看作20：102×20＝2040（元）＞2000（元），实际花费一定不超过2040元，却可能超过2000元，所以不够——这是“往大估”的估算策略。规范解答：102×19.8＜102×20＝2040（元）。虽然2040元只是上界，但2040＞2000，说明实际花费有可能超过2000元，所以带2000元不一定够，需要再带一些钱。【方法总结】判断“够不够”时，往大估后都够则一定够；往大估都不够，则需要重新决策。估算的核心是有依据地“放缩”。

■四、课堂练习（分层设计）A组·基础过关→人人必做；B组·能力提升→大部分同学完成；C组·思维拓展→挑战自我。▍A组基础过关一、填空题1.3.58×2.4的积有（）位小数。2.已知32×15＝480，那么3.2×1.5＝（），48÷1.5＝（）。3.7.4747…是（）小数，循环节是（），用简便记法写作7.447，保留一位小数约是（）。4.两个因数的积是4.8，如果一个因数扩大到原来的10倍，另一个因数不变，积是（）。5.一个三角形和一个平行四边形等底等高，三角形面积是12平方分米，平行四边形面积是（）平方分米。6.在一条路的一侧每隔5米栽一棵树（两端都栽），一共栽了20棵，这条路长（）米。7.比x的3倍多y的数是（）；当x＝4，y＝1.5时，这个数是（）。8.盒子里有8个红球、2个白球，任意摸出一个，摸出（）球的可能性大。二、判断题（对的打√，错的打×）1.一个数（0除外）乘0.98，积一定小于这个数。（）2.循环小数都是无限小数。（）3.两个面积相等的三角形一定能拼成一个平行四边形。（）4.从不同方向观察同一个物体，看到的形状一定不同。（）5.在圆形花坛边上摆花盆，花盆数与间隔数相等。（）三、计算题1.直接写出得数：0.35×0.2＝6.3÷0.9＝2.4×0.5＝10÷4＝7.2÷2.4＝0.8×1.25＝0.6÷0.06＝2.5×4÷2.5×4＝2.用竖式计算并验算：40.32÷4.2（商是几位小数？验算检验。）▍B组能力提升四、选择题1.计算9.9×10.1时，运用“9.9×10.1＝10×10.1−0.1×10.1”，这里应用了（）。A.乘法交换律B.乘法分配律C.乘法结合律2.下面各算式中，商最大的是（）。A.3.6÷0.9B.3.6÷1C.3.6÷0.093.一个组合体从上面看是“田”字形，它最少由（）个小正方体搭成。A.4B.6C.84.转盘上有红、黄、蓝三种颜色的区域，要使指针停在红色区域的可能性最大，应该（）。A.红色区域份数最多B.黄色区域份数最多C.三种颜色一样多5.把一个平行四边形活动框架拉成长方形后（周长不变），面积（）。A.变大B.变小C.不变五、解决问题1.【小数乘法】苹果每千克5.8元，妈妈买了2.4千克。她带15元，够吗？2.【小数除法】一根钢管长60.3米，平均截成9段，每段长多少米？3.【字母与面积】一块平行四边形麦田，底是a米，高是b米。①用字母表示麦田的面积；②当a＝250，b＝160时，麦田的面积是多少平方米？合多少公顷？4.【组合图形】一块梯形广告牌，上底6米、下底10米、高5米。如果每平方米用油漆0.8千克，给广告牌正反两面都刷漆，一共需要油漆多少千克？5.【植树问题】在一条全长1.5千米的街道两旁安装路灯（两端也要安装），每隔25米安装一盏，一共要安装多少盏路灯？6.【可能性】小明和小刚下跳棋，用“抛硬币”决定谁先走：正面朝上小明先走，反面朝上小刚先走。这个规则公平吗？为什么？▍C组思维拓展1.【巧算】计算：3.6×1.9＋0.36×81。2.【植树问题拓展】在正方形池塘的四边上种树，每边都种10棵（四个顶点都种），一共种了多少棵？写出你的思考过程。

■五、易错警示先自己“踩一踩”，看看这些坑你能不能绕过去：易错点典型错例纠错锦囊积的小数点0.24×0.5＝1.2，把积的小数点位置点错先按整数算出24×5＝120，两个因数共3位小数，得0.120，化简为0.12商的占位3.6÷0.9商的整数部分忘商0整数部分不够商1要商0占位；商的小数点与移动后的被除数对齐循环小数认为3.141592…是循环小数循环小数要“依次不断重复出现”；无限小数不一定是循环小数字母书写把a×4写成a4，把a²当成2a数在前字母在后：4a；a²＝a×a，与2a含义不同面积公式算三角形面积忘记÷2，梯形公式漏加底三角形S＝ah÷2；梯形S＝(a＋b)h÷2，先加再乘最后除面积单位1平方米＝10平方分米（×）相邻面积单位进率是100；1