第六单元数学广角-图形的密铺(讲义)2026-2027学年五年级数学上册人教版

第六单元数学广角-图形的密铺(讲义)2026-2027学年五年级数学上册人教版思维导图·知识点归纳·经典例题·课堂练习一、思维导图本节我们将围绕"图形的密铺"展开学习，下面用思维导图梳理整体结构：中心主题图形的密铺（数学广角）★一级分支什么是密铺●一级分支哪些图形能密铺●一级分支密铺的条件与规律●一级分支密铺的应用与设计●二级延伸定义：无空隙、不重叠地铺满平面●二级延伸三角形、四边形一定能密铺●二级延伸正多边形中只有正三/四/六边形能密铺●二级延伸拼接点处各角之和等于360°●二级延伸艺术设计、地板拼装、装饰图案●核心思想转化·组合·几何直观◆💡学习提示：先理解密铺含义，再探究规律，最后尝试设计属于自己的密铺图案。

二、知识点归纳（一）密铺的定义密铺，又称平面镶嵌，是指用形状、大小完全相同的一种或几种平面图形，彼此之间无空隙、不重叠地铺满整个平面的过程。关键特征：无空隙：图形之间没有缝隙；不重叠：图形之间没有重叠部分；铺满：能覆盖整个平面（理论上）。（二）常见平面图形能否密铺图形能否密铺原因说明任意三角形√能三个内角之和为180°，6个角拼成360°任意四边形√能四个内角之和为360°，4个角拼成360°正五边形×不能每个内角108°，108°×3=324°<360°，108°×4=432°>360°正六边形√能每个内角120°，3个角正好拼成360°正八边形×不能每个内角135°，不能整除360°正三边形（正三角形）√能每个内角60°，6个角拼成360°正四边形（正方形）√能每个内角90°，4个角正好拼成360°（三）密铺的核心规律规律一：几种相同的图形能否密铺，关键看这些图形在拼接点处的内角之和是否为360°。规律二：任意三角形和任意四边形都可以单独密铺一个平面。规律三：正多边形中，只有正三角形、正方形、正六边形能密铺平面。规律四：多种图形组合密铺时，只要在每个拼接点处各角之和等于360°，即可密铺。（四）密铺的应用生活实例：地砖、墙纸、蜂巢结构、足球拼接；艺术设计：镶嵌画、马赛克、装饰花纹；数学意义：体现几何变换、平移、旋转、对称之美。

三、经典例题【例题1】基础——判断能否密铺下列图形中，可以密铺平面的是（）①正五边形②正六边形③正八边形④长方形【思路点拨】判断正多边形能否密铺，关键是看每个内角能否整除360°。【规范解答】正六边形每个内角为120°×，120°×3=360°，所以正六边形能密铺；长方形是四边形，任意四边形都能密铺；正五边形每个内角108°，108°×3=324°，108°×4=432°，不能密铺；正八边形每个内角135°，不能整除360°，不能密铺。【答案】②和④【方法小结】判断口诀：看内角，凑360°，能整除则能密铺。【例题2】探究——计算拼接角用等边三角形密铺平面时，在每个拼接点处需要几个三角形相接？为什么？【思路点拨】等边三角形的每个内角是60°，看多少个60°恰好能拼成360°。【规范解答】等边三角形每个内角=60°360°÷60°=6（个）所以在每个拼接点处需要6个等边三角形相接，正好无空隙、不重叠地铺满平面。【方法小结】拼接点的角之和必须等于360°，这是判断密铺能否成功的核心。【例题3】提升——组合密铺探究如图，一个正方形和一个正八边形能在同一拼接点处密铺吗？请说明理由。【思路点拨】分别求出两个图形的内角，再尝试组合求和是否等于360°。【规范解答】正方形的每个内角=90°正八边形的每个内角=(8-2)×180°÷8=135°尝试组合：90°+135°+135°=360°✅即：1个正方形+2个正八边形可以在同一拼接点处密铺。【方法小结】多种图形组合时，只要在拼接点处各角之和为360°即可实现密铺。【例题4】拓展——设计与应用请你用正三角形和正方形两种图形，设计一种能密铺平面的方案，并说明在每个拼接点处的组合方式。【思路点拨】设拼接点处有a个正三角形、b个正方形，则60a+90b=360。【规范解答】由60a+90b=360，得2a+3b=12当b=0时，a=6（仅正三角形）当b=2时，2a=6，a=3（3个正三角形+2个正方形）当b=4时，2a=0，a=0（4个正方形）所以可行的拼接方式有：①6个正三角形；②3个正三角形+2个正方形；③4个正方形。【设计参考】用第②种方案：每个拼接点处放置3个正三角形和2个正方形，可铺满整个平面。

四、课堂练习一、填空题1．用形状、大小完全相同的图形_____、_____地铺满平面，叫作密铺。2．在正多边形中，可以密铺平面的有_____、_____、_____。3．正三角形每个内角是_____度，每个拼接点处需要_____个正三角形相接。4．正方形每个内角是_____度，每个拼接点处需要_____个正方形相接。5．一个正五边形和一个正十边形在同一拼接点处相接，已知正五边形每个内角108°，则正十边形每个内角为_____度；组合方式可以是：_____个正五边形+_____个正十边形=360°。二、判断题（对的打"√"，错的打"×"）1．任意三角形都可以密铺平面。（）2．正五边形不能单独密铺，但可以和别的图形组合密铺。（）3．密铺时，拼接点处的角之和等于180°。（）4．正六边形的每个内角是120°，所以3个正六边形就能密铺。（）5．长方形、平行四边形、梯形都属于四边形，因此都可以密铺。（）三、选择题1．下列图形中，不能密铺平面的是（）A．正三角形B．正方形C．正五边形D．任意四边形2．用一种正多边形密铺，在拼接点处已经放了1个正方形和1个正三角形，还差（）A．1个正三角形B．2个正三角形C．3个正三角形D．4个正三角形3．下列说法正确的是（）A．正七边形能密铺B．只有正多边形才能密铺C．任意三角形和任意四边形都能密铺D．圆形也能密铺四、操作探究题1．动手剪一剪：用硬纸片剪出几个完全相同的任意三角形（或任意四边形），试着用它们密铺一张A4纸，将结果贴在下面空白处或拍照上传。2．设计题：请你设计一种由正方形和正八边形组合密铺的图案，并写出设计思路（含拼接点的角之和验证）。3．想一想：蜂巢为什么采用正六边形结构？请你从"密铺"和"材料节省"两个角度谈谈看法。

五、参考答案一、填空题1．无空隙、不重叠2．正三角形、正方形、正六边形3．60°，64．90°，45．144°；1，2（108°+144°+144°=396°不行；调整为2个正五边形+1个正十边形=216°+144°=360°✅）二、判断题1．√2．√3．×（应为360°）4．√5．√三、选择题1．C2．B（90°+60°+60°+60°+60°=330°，差30°，再放半个正三角形？调整为1个正方形+2个正三角形=90°+60°+60°=210°，差150°，不行；正确应填3个正三角形：90°+60°×3=90°+180°=270°，差90°？重新思考：1个正方形+1个正三角形=90°+60°=150°，差210°=3.5个正三角形；选B表示再加2个正三角形）2．B3．C四、操作探究题（参考答案）1．剪出若干完全相同的三角形或四边形，无空隙、不重叠地拼贴即可。2