02　第一章　第1课时　集合

第一章集合、常用逻辑用语、不等式第一章集合、常用逻辑用语、不等式第1课时集合[考试要求]

1．了解集合的含义，了解全集、空集的含义．2．理解元素与集合的属于关系，理解集合间的包含和相等关系．3．会求两个集合的并集、交集与补集．4．能用自然语言、图形语言、集合语言描述不同的具体问题，能使用Venn图表示集合间的基本关系和基本运算．理法先行·题练固本知识点1元素与集合(1)集合中元素的三个特性：确定性、________、无序性．(2)元素与集合的关系是______或不属于，表示符号分别为____和∉．(3)集合的三种表示方法：________、________、图示法．互异性属于∈列举法描述法(4)常用数集及记法名称自然数集正整数集整数集有理数集实数集记法________________________NN*或N＋ZQR知识点2集合间的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的______，就称集合A为集合B的子集．记作A____B(或B____A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但______元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的________，记作A

B(或B

A)．(3)相等：若A⊆B，且______，则A＝B．(4)空集的性质：∅是任何集合的子集，是任何______集合的真子集．元素⊆⊇存在真子集B⊆A非空知识点3集合的基本运算

集合的并集集合的交集集合的补集符号表示A∪BA∩B若全集为U，则集合A相对于全集U的补集为∁UA

集合的并集集合的交集集合的补集图形表示集合表示{x|x∈A，或x∈B}_____________________{x|x∈U，且x∉A}{x|x∈A，且x∈B}[常用结论]1．若有限集A中有n个元素，则A的子集有2n个，真子集有2n－1个，非空子集有2n－1个，非空真子集有2n－2个．2．A⊆B⇔A∩B＝A⇔A∪B＝B⇔∁UA⊇∁UB．3．∁U(A∩B)＝(∁UA)∪(∁UB)，∁U(A∪B)＝(∁UA)∩(∁UB)．1．(人教A版必修第一册P9习题1.2T1(2))若集合A＝{x|x2－1＝0}，则下列结论错误的是(

)A．1∈A B．{－1}⊆AC．∅⊆A D．{－1，1}∉A√2．(人教B版必修第一册P11例2)已知区间A＝(－∞，2]和B＝(－∞，a)，且B⊆A，求实数a的取值范围．[解]

因为集合B的元素都是集合A的元素，所以可用数轴表示它们的关系，如图所示．从而可知a≤2．3．(苏教版必修第一册P14例1)已知A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，2，3}，求A∩B

和A∪B．[解]

A∩B＝{－1，0，1}∩{0，1，2，3}＝{0，1}；A∪B＝{－1，0，1}∪{0，1，2，3}＝{－1，0，1，2，3}．4．(北师大版必修第一册P7例4改编)已知集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，B＝{1，2，3，4}，则A∩B的真子集个数为________．7

[对于集合A＝{x|x＝2n，n∈Z}，当n＝0时，x＝1；当n＝1时，x＝2；当n＝2时，x＝4，且B＝{1，2，3，4}，所以A∩B＝{1，2，4}，即A∩B中有3个元素，则其真子集的个数为23－1＝7．]7考点深研·题型突破考点一集合的含义与表示[典例1]

(多选)下列说法正确的是(

)A．已知集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，则a的值为－3B．已知集合A＝{0，1，2}，B＝{ab|a∈A，b∈A}，则集合B中有3个元素C．已知集合A＝{x|x2≤4}，集合B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，则B＝{1，2，3}D．已知集合A＝{1，2，3，4，5}，B＝{(x，y)|x∈A，y∈A，x－y∈A}，则B中含有10个元素√√√ACD

[对于A，集合A＝{a－2，a2＋4a，12}，且－3∈A，①当a－2＝－3时，a＝－1，所以a2＋4a＝1－4＝－3，此时集合A＝{－3，－3，12}，不满足集合中元素的互异性，故不符合题意，舍去；②当a2＋4a＝－3时，a＝－1或－3，若a＝－1，则a－2＝－3，此时集合A＝{－3，－3，12}，不满足集合中元素的互异性，故不符合题意，舍去，若a＝－3，则a－2＝－5，此时集合A＝{－5，－3，12}，符合题意，综上所述，a＝－3，故A正确．对于B，因为A＝{0，1，2}，a∈A，b∈A，所以ab＝0或ab＝1或ab＝2或ab＝4，故B＝{ab|a∈A，b∈A}＝{0，1，2，4}，即集合B中有4个元素，故B错误．对于C，因为A＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|x∈N*，且x－1∈A}，所以B＝{1，2，3}，故C正确．对于D，当x＝5时，y＝1，2，3，4，当x＝4时，y＝1，2，3，当x＝3时，y＝1，2，当x＝2时，y＝1，综上知，B中的元素个数为10，故D正确．故选ACD．]易错提醒：在解答集合问题时，要注意集合中元素的特性，特别是互异性对集合元素的限制．【教用·通性通法】(1)研究集合问题时，首先要明确集合是数集、点集，还是其他集合，再看集合的构成元素满足的限制条件，从而准确把握集合的含义．(2)利用集合元素的限制条件求参数的值或确定集合中元素的个数时，要注意检验集合中的元素是否满足互异性．考点二集合间的基本关系[典例2]

(1)(2026·杭州西湖区模拟)设集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}，则(

)A．A⊆B B．B⊆AC．A＝B D．A∩B＝A(2)(人教A版必修第一册P9习题1.2T5(2)改编)已知集合A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，若B

A，则实数a的取值范围为(

)A．[1，＋∞) B．(－∞，1]C．(1，＋∞) D．(－∞，1)√√(1)B

(2)B

[(1)集合A＝{x|x＝3k－1，k∈Z}，B＝{x|x＝6k－1，k∈Z}＝{x|x＝3×2k－1，k∈Z}，则集合B是集合A的子集，即B⊆A．故选B．(2)因为A＝{x|x>a}，B＝{x|1<x<2}，且B

A，用数轴表示其关系如图，所以实数a的取值范围为(－∞，1]．故选B．][母题探究]1．(变条件)若本例(2)条件变为：已知集合A＝{x|2a－3≤x≤a}，B＝{x|1<x<2}．若A⊆B，则实数a的取值范围为__________．(3，＋∞)

[因为A＝{x|2a－3≤x≤a}，B＝{x|1<x<2}，且A⊆B，用数轴表示其关系如图．(3，＋∞)

2．(变条件)若本例(2)条件变为：已知集合A＝{x|－a≤x<a}，B＝{－1，0，1，3}，若B⊆A，则实数a的取值范围为___________．

(3，＋∞)易错提醒：(1)若B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．(2)已知两个集合间的关系求参数时，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解．【教用·通性通法】(1)若B⊆A，则应分B＝∅和B≠∅两种情况讨论．(2)已知两个集合间的关系求参数的取值范围时，关键是将两个集合间的关系转化为元素或区间端点间的关系，进而求得参数范围．注意合理利用数轴、Venn图帮助分析及对参数进行讨论．求得参数的取值范围后，一定要把端点值代入进行验证，否则易增解或漏解．考点三集合的运算[典例3]

(2025·全国一卷)已知集合U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，3，5}，则∁UA中元素的个数为(

)A．0 B．3C．5 D．8√C

[U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，A＝{1，3，5}，故∁UA＝{2，4，6，7，8}，故∁UA中有5个元素．故选C．][考题探源](人教A版必修第一册P13例5)设U＝{x|x是小于9的正整数}，A＝{1，2，3}，B＝{3，4，5，6}，求∁UA，∁UB．[解]根据题意可知，U＝{1，2，3，4，5，6，7，8}，所以∁UA＝{4，5，6，7，8}，∁UB＝{1，2，7，8}．易错提醒：易混淆交集与并集的运算以及求补集时端点处的取舍致误．[多维变迁]1．(2024·北京卷)已知集合M＝{x|－3<x<1}，N＝{x|－1≤x<4}，则M∪N＝(

)A．{x|－1≤x<1} B．{x|x>－3}C．{x|－3<x<4} D．{x|x<4}√C

[由集合的并运算，得M∪N＝{x|－3<x<4}．]2．设集合A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，则图中阴影部分表示的集合为(

)A．{1，2，3，5} B．{2，3，5}C．{1，2，5} D．{3}√C

[因为A＝{1，3}，B＝{2，3，5}，所以A∩B＝{3}，A∪B＝{1，2，3，5}，所以阴影部分表示的集合为∁A∪B(A∩B)＝{1，2，5}．故选C．]3．(2025·合肥质检)已知集合A＝{x|x2≤4}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围是__________________________．(－∞，－3)∪(3，＋∞)

[由题意得，A＝{x|x2≤4}＝{x|－2≤x≤2}，B＝{x|a－1≤x≤a＋1}，因为A∩B＝∅，所以a＋1＜－2或a－1＞2，得a＜－3或a＞3，则实数a的取值范围为(－∞，－3)∪(3，＋∞)．](－∞，－3)∪(3，＋∞)【教用·备选题】已知集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，若A∩B＝∅，则实数a的取值范围为(

)A．(－∞，1] B．(－∞，2]C．[1，＋∞) D．[2，＋∞)√B

[因为集合A，B满足A＝{x|x>1}，B＝{x|x<a－1}，且A∩B＝∅，所以a－1≤1，解得a≤2．即实数a的取值范围是(－∞，2]．故选B．]【教用·通性通法】集合的基本运算的关注点(1)集合是由元素组成的，从集合中元素的构成入手是解决集合运算问题的前提．(2)有些集合是可以化简的，先化简再研究其关系并进行运算，可简化问题，易于解决．(3)注意数形结合思想的应用，常用的数形结合形式有数轴、坐标系和Venn图．(4)根据集合运算结果求参数，先把符号语言译成文字语言，然后应用数形结合求解．微点突破1

集合的新定义解决集合新定义问题的关键(1)紧扣新定义．首先分析新定义的特点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，再应用到具体的解题过程中．(2)用好集合的性质．解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素．

√√

【教用·教材拓展】容斥原理在研究集合时，经常遇到有关集合中元素的个数问题．一般地，若有限集合A＝{a1，a2，…，an}，用card(A)来表示有限集合A中元素的个数．关于集合中的元素个数有下面的关系：(1)二元容斥原理：crad(A∪B)＝card(A)＋card(B)－card(A∩B)．(2)三元容斥原理：card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)．[典例]

(1)某中学的学生积极参加体育锻炼，其中有96%的学生喜欢足球或游泳，60%的学生喜欢足球，82%的学生喜欢游泳，则该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是(

)A．62% B．56%C．46% D．42%(2)某学校教师中，会打乒乓球的教师人数为30，会打羽毛球的教师人数为60，会打篮球的教师人数为20，若至少会其中一个体育项目的教师人数为80，且三个体育项目都会的教师人数为5，则会且仅会其中两个体育项目的教师人数为________．√20(1)C

(2)20

[(1)设集合A＝{x|x是喜欢足球的学生}，集合B＝{x|x是喜欢游泳的学生}，不妨设该中学有100名学生，则card(A∪B)＝96，card(A)＝60，card(B)＝82．由二元容斥原理可得card(A∩B)＝card(A)＋card(B)－card(A∪B)＝60＋82－96＝46，所以该中学既喜欢足球又喜欢游泳的学生数占该校学生总数的比例是46%．故选C．(2)设A＝{x|x是会打乒乓球的教师}，B＝{x|x是会打羽毛球的教师}，C＝{x|x是会打篮球的教师}．根据题意得card(A)＝30，card(B)＝60，card(C)＝20，card(A∪B∪C)＝80，card(A∩B∩C)＝5，根据三元容斥原理得card(A∪B∪C)＝card(A)＋card(B)＋card(C)－card(A∩B)－card(B∩C)－card(C∩A)＋card(A∩B∩C)，有card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(C∩A)＝35，而card(A∩B)＋card(B∩C)＋card(C∩A)中把A∩B∩C的区域计算了3次，故要减掉这3次，才能得到会且仅会其中两个体育项目的教师人数．因此会且仅会其中两个体育项目的教师人数为35－3×5＝20．]1．(链接考点三)(2025·

八省联考)已知集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，则A∩B＝(

)A．{0} B．{1}C．{0，1} D．{－1，0，1，4}√C

[因为集合A＝{－1，0，1}，B＝{0，1，4}，所以A∩B＝{0，1}．故选C．]2．(链接考点一)(2025·哈尔滨二模)设集合A＝{x|2x－1＞m}，若2∈A，则实数m的取值范围是(

)A．(－∞，3] B．[3，＋∞)C．(－∞，3) D．(3，＋∞)√C

[因为A＝{x|2x－1＞m}，2∈A，所以2×2－1＞m，解得m＜3．故选C．]

√B

[依题意，有a－2＝0或2a－2＝0．当a－2＝0时，解得a＝2，此时A＝{0，－2}，B＝{1，0，2}，不满足A⊆B；当2a－2＝0时，解得a＝1，此时A＝{0，－1}，B＝{－1，0，1}，满足A⊆B．所以a＝1，故选B．]

题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·合肥期末)已知U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，则A∩(∁UB)＝(

)A．{0，5} B．{1，5}C．{0，1，5} D．{0，1}课时作业(一)集合题号135246879101112D

[U＝{0，1，2，3，4，5}，A＝{0，1，2}，B＝{2，3，4}，则∁UB＝{0，1，5}，A∩(∁UB)＝{0，1}．故选D．]√2．(2025·沈阳三模)已知集合A＝{1，2}，B＝{x2－y2|x，y∈A}，则下列判断错误的是(

)A．1∈B B．0∈BC．3∈B D．－3∈B题号135246879101112A

[∵A＝{1，2}，B＝{x2－y2|x，y∈A}，∴B＝{－3，0，3}，∴1∉B，0∈B，3∈B，－3∈B，A错误．故选A．]题号135246879101112√3．已知集合A

{1，2，3}，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A的个数有(

)A．2 B．3C．4 D．5题号135246879101112D

[根据题意，A是{1，2，3}的真子集，且A中至少有一个奇数，则这样的集合A有{1}，{3}，{1，2}，{2，3}，{1，3}，共5个，故选D．]√4．(人教A版必修第一册P13练习T3改编)已知全集U＝R，集合A＝{x|x<－1，或x>4}，B＝{x|－2≤x≤3}，那么图中阴影部分表示的集合为(

)A．{x|－2≤x<4} B．{x|x≤3，或x≥4}C．{x|－2≤x≤－1} D．{x|－1≤x≤3}题号135246879101112D

[阴影部分表示的集合为(∁UA)∩B＝{x|－1≤x≤4}∩{x|－2≤x≤3}＝{x|－1≤x≤3}．]题号135246879101112√5．(2025·全国二卷)已知集合A＝{－4，0，1，2，8}，B＝{x|x3＝x}，则A∩B＝(

)A．{0，1，2} B．{1，2，8}C．{2，8} D．{0，1}题号135246879101112D

[由题可得B＝{－1，0，1}，所以A∩B＝{0，1}，故选D．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√二、多项选择题7．(2025·武威月考)下面四个说法中不正确的是(

)A．10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}B．由2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}C．方程x2－4x＋4＝0的所有解组成的集合是{2，2}D．∅与{∅}表示同一个集合题号135246879101112√CD

[10以内的质数组成的集合是{2，3，5，7}，故A正确；2，3组成的集合可表示为{2，3}或{3，2}，故B正确；x2－4x＋4＝0的所有解组成的集合是{2}，故C错误；∅：不含有任何元素的集合，{∅}：仅含有一个元素∅的集合，故D错误．故选CD．]题号135246879101112√

题号135246879101112√

题号135246879101112√9．(2025·鹤壁一模)已知集合M＝{x|x≥2}，N＝{x|y＝ln(2x－6)}，则下列结论正确的是(

)A．M∩N＝MB．M∪N＝MC．(∁RN)∩M＝{x|2≤x≤3}D．(∁RM)∩N＝∅题号135246879101112√√BCD

[由M＝{x|x≥2}，N＝{x|y＝ln