57　第七章　第52课时　空间点、直线、平面之间的位置关系

第七章立体几何与空间向量第52课时空间点、直线、平面之间的位置关系[考试要求]

1．借助长方体，在直观认识空间点、直线、平面的位置关系的基础上，抽象出空间点、直线、平面的位置关系的定义．2．了解四个基本事实和一个定理，并能应用定理解决问题．理法先行·题练固本知识点1

与平面有关的基本事实及推论(1)与平面有关的三个基本事实基本事实内容图形符号基本事实1过_______________的三个点，有且只有一个平面A，B，C三点不共线⇒存在唯一的α使A，B，C∈α不在一条直线上基本事实内容图形符号基本事实2如果一条直线上的______在一个平面内，那么这条直线在这个平面内A∈l，B∈l，且A∈α，B∈α⇒l⊂α基本事实3如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条________________P∈α，且P∈β⇒α∩β＝l，且P∈l两个点过该点的公共直线(2)三个推论推论内容图形作用推论1经过________和这条直线外一点，有且只有一个平面确定平面的依据推论2经过________直线，有且只有一个平面推论3经过________直线，有且只有一个平面一条直线两条相交两条平行知识点2

空间点、直线、平面之间的位置关系

直线与直线直线与平面平面与平面平行关系图形语言符号语言a

∥ba

∥αα

∥β相交关系图形语言符号语言a∩b＝Aa∩α＝Aα∩β＝l

直线与直线直线与平面平面与平面独有关系图形语言

符号语言a，b是异面直线a⊂α

平行相等或互补[常用结论]1．异面直线判定的一个定理与一个平面相交的直线和这个平面内不经过交点的直线是异面直线，如图所示．2．唯一性结论(1)过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行．(2)过直线外一点有且只有一个平面与已知直线垂直．(3)过平面外一点有且只有一个平面与已知平面平行．(4)过平面外一点有且只有一条直线与已知平面垂直．1．(人教A版必修第二册P128练习T2)下列说法正确的是(

)A．三点确定一个平面B．一条直线和一个点确定一个平面C．圆心和圆上两点确定一个平面D．梯形可确定一个平面√D

[对于A，三个不在同一条直线上的点确定一个平面，故A错误．对于B，直线和直线外一点，确定一个平面，故B错误．对于C，因为圆的一条直径不能确定一个平面，所以若圆心和圆上的两点在同一条直径上，则无法确定一个平面，故C错误．对于D，两条平行直线确定一个平面，梯形有一组对边平行，另一组对边不平行，故梯形可确定一个平面，故D正确．]2．(苏教版必修第二册P173练习T2改编)如果直线a⊂平面α，直线b⊂平面β，且α

∥β，则a与b(

)A．共面B．平行C．是异面直线D．可能平行，也可能是异面直线√D

[∵α

∥β，∴a与b无公共点，∴a与b可能平行，也可能是异面直线．]3．(北师大版必修第二册P225例1改编)如图，在三棱锥A-BCD中，E，F，G，H分别是棱AB，BC，CD，DA的中点，则(1)当AC，BD满足条件______________时，四边形EFGH为菱形；

(2)当AC，BD满足条件____________________时，四边形EFGH为正方形．

AC＝BDAC＝BD且AC⊥BD

√

5．(用结论)如图，在直三棱柱ABC-A1B1C1的棱所在的直线中，与直线BC1成异面直线的条数为(

)A．1

B．2C．3

D．4√C

[与直线BC1成异面直线的有A1B1，AC，AA1，共3条．故选C．]考点深研·题型突破考点一

基本事实的应用[典例1]

已知在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，C1B1的中点，AC∩BD＝P，A1C1∩EF＝Q．求证：(1)D，B，E，F四点共面；(2)若A1C交平面DBFE于点R，则P，Q，R三点共线；(3)DE，BF，CC1三线交于一点．[证明]

(1)如图所示，连接B1D1．因为EF是△D1B1C1的中位线，所以EF

∥B1D1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，B1D1

∥BD，所以EF

∥BD，所以EF，BD确定一个平面，即D，B，E，F四点共面．(2)在正方体ABCD-A1B1C1D1中，连接A1C，设A1，C，C1确定的平面为α，设平面BDEF为β．因为Q∈A1C1，所以Q∈α．又Q∈EF，所以Q∈β，所以Q是α与β的公共点，同理，P是α与β的公共点．所以α∩β＝PQ．又A1C∩β＝R，所以R∈A1C，R∈α，且R∈β．则R∈PQ，故P，Q，R三点共线．(3)因为EF

∥BD且EF<BD，所以DE与BF相交，设交点为M，则由M∈DE，DE⊂平面D1DCC1得M∈平面D1DCC1，同理，M∈平面B1BCC1．又平面D1DCC1∩平面B1BCC1＝CC1，所以M∈CC1．所以DE，BF，CC1三线交于一点．通性通法：共面、共线、共点问题的证明方法(1)证明共面的方法：①先确定一个平面，然后再证其余的线(或点)在这个平面内；②证明两平面重合．(2)证明共线的方法：①先由两点确定一条直线，再证其他各点都在这条直线上；②直接证明这些点都在同一条特定直线上．(3)证明线共点的方法：先证其中两条直线交于一点，再证其他直线经过该点．考点二

空间两直线位置关系的判定[典例2]

(1)(多选)下列推断中，正确的是(

)A．若M∈α，M∈β，α∩β＝l，则M∈lB．若α∩β＝l，a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈lC．l⊄α，A∈l⇒A∉αD．A，B，C∈α，A，B，C∈β，且A，B，C不共线⇒α，β重合√√√(2)(多选)(2025·阜阳月考)如图所示，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，M，N分别为棱C1D1，C1C的中点，以下四个选项正确的是(

)A．直线AM与CC1是相交直线B．直线AM与BN是平行直线C．直线BN与MB1是异面直线D．直线AM与DD1是异面直线√√(1)ABD

(2)CD

[(1)对于A，因为M∈α，M∈β，α∩β＝l，由基本事实3可知M∈l，A正确；对于B，若a⊂α，b⊂β，a∩b＝A，则A∈α，A∈β，因为α∩β＝l，所以A∈l，B正确；对于C，若l∩α＝A，则有l⊄α，A∈l，但A∈α，C错误；对于D，有三个不共线的点在平面α，β中，故α，β重合，D正确．故选ABD．(2)因为点A在平面CDD1C1外，点M在平面CDD1C1内，直线CC1在平面CDD1C1内，CC1不过点M，所以直线AM与CC1是异面直线，故A错误；取DD1的中点E，连接AE(图略)，则BN∥AE，但AE与AM相交，所以AM与BN不平行，故B错误；因为点B1与直线BN都在平面BCC1B1内，点M在平面BCC1B1外，BN不过点B1，所以BN与MB1是异面直线，故C正确；同理D正确．故选CD．]通性通法：(1)要判断空间中两条直线的位置关系一般有两种方法：一是构造几何体(如正方体、空间四边形等)模型来判断；二是利用排除法．(2)异面直线的判定方法：①反证法；②直接法．

√

√(1)C

(2)C

[(1)取OA的中点E，连接DE，CE，因为D为SO的中点，所以DE

∥SA，则直线CD与AS所成的角为∠CDE(或其补角)，不妨设AB＝2，又圆锥的轴截面SAB是正三角形，O为底面圆的圆心，D为SO的中点，点C在底面圆的圆周上，且△ABC是等腰直角三角形，

通性通法：求异面直线所成的角，关键是将其中一条直线平移到某个位置使其与另一条直线相交，或将两条直线同时平移到某个位置，使其相交形成三角形．平移直线的方法有：(1)直接平移；(2)中位线平移；(3)补形平移．

√

√

微点突破11

截面问题作截面的具体步骤(1)找截点：方式1，延长截面上的一条直线，与几何体的棱、面(或其延长部分)相交，交点即截点；方式2，过一截点作另外两截点连线的平行线，交几何体的棱于截点．(2)连截线：连接同一平面内的两个截点，成截线．(3)围截面：将各截线首尾相连，围成截面．[典例4]

(2025·常州月考)如图，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，M为AB中点，N为BC中点，过M、N、D1三点作正方体ABCD-A1B1C1D1的截面α，则截面α的面积为______________．

1．(链接考点二)(2025·合肥月考)下列说法错误的是(

)A．垂直于同一个平面的两条直线平行B．经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面C．如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等D．如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线√C

[对于A，由线面垂直的性质得：垂直于同一个平面的两条直线平行，故A正确；对于B，由平面的基本性质得：经过一条直线和这条直线外一点，有且只有一个平面，故B正确；对于C，由等角定理得：如果空间中两个角的两条边分别对应平行，那么这两个角相等或互补，故C错误；对于D，如果两个不重合的平面有一个公共点，则两个平面必交于一条直线，且公共点在该直线上，所以它们有且只有一条过该点的公共直线，故D正确．故选C．]2．(链接考点一)在空间四边形ABCD各边AB，BC，CD，DA上分别取E，F，G，H四点，如果EF，GH相交于点P，那么(

)A．点P必在直线AC上B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内D．点P必在平面ABC外√A

[如图，因为EF⊂平面ABC，而GH⊂平面ADC，且EF和GH相交于点P，所以点P在两平面的交线上，因为AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．]

√

题、单项选择题

1．(2025·上饶期末)已知AB∥PQ，BC∥QR，∠ABC＝60°，则∠PQR等于(

)A．60°

B．60°或120°C．120°

D．以上结论都不对√课时作业(五十二)空间点、直线、平面之间的位置关系题

[∵AB∥PQ，BC∥QR，且∠ABC＝60°，∴∠PQR＝60°或120°．故选B．]√题号135246879102．(2025·肥城期末)长方体ABCD-A1B1C1D1中，直线A1C与平面AB1D1的交点为M，A1C1与B1D1交于点O，则下列结论正确的是(

)A．A，M，O三点共线B．A，M，O三点确定一个平面C．D，D1，M，O四点共面D．A，B1，B，M四点共面题

[如图，根据题意，连接AO，AC，则A1C1∥AC，所以A1，C1，C，A四点共面，所以A1C⊂平面ACC1A1，又M∈A1C，所以M∈平面ACC1A1，又M∈平面AB1D1，所以点M在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，同理可得点O在平面ACC1A1与平面AB1D1的交线上，所以A，M，O三点共线，故A正确，B错误；由上面分析知OM⊂平面AB1D1，又DD1⊄平面AB1D1，DD1∩平面AB1D1＝D1，所以OM与DD1为异面直线，故C错误；连接BM，易知AB1与BM为异面直线，故D错误．故选A．]题/p>

√题/p>

√题/p>

题/p>

√题、多项选择题5．(人教A版必修第二册P131练习T4改编)已知a，b是两条不重合直线，α，β是两个不重合平面，则下列说法正确的是(

)A．若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b是异面直线B．若a∥b，b⊂α，则直线a平行于平面α内的无数条直线C．若α∥β，a⊂α，则a∥βD．若α∩β＝b，a⊂α，则a与β一定相交√题C

[故选BC．]选项正误原因A×若α∥β，a⊂α，b⊂β，则a与b平行或异面B√若a∥b，b⊂α，则平面α内所有与b平行的直线都与a平行C√若α∥β，则平面α内所有直线都与β平行，因为a⊂α，所以a∥βD×若α∩β＝b，a⊂α，则当a∥b时，a∥β题号135246879106．如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为正方形ABCD的中心，当点P在线段BC1上(不包含端点)运动时，下列直线中一定与直线OP异面的是(

)A．AB1

B．A1CC．A1A

D．AD1√√√题CD

[对于A，如图1，连接AB1，C1D，BD，当P为BC1的中点时，OP∥DC1∥AB1，故A不正确；对于B，如图2，连接A1C，A1C1，AC，因为A1C⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1C，P∉平面AA1C1C，所以直线A1C与直线OP一定是异面直线，故B正确；对于C，如图2，因为A1A⊂平面AA1C1C，O∈平面AA1C1C，O∉A1A，P∉平面AA1C1C，所以直线A1A与直线OP一定是异面直线，故C正确；题于D，如图3，连接AD1，D1C，AC，因为AD1⊂平面AD1C，O∈平面AD1C，O∉AD1，P∉平面AD1C，所以直线AD1与直线OP一定是异面直线，故D正确．]题、填空题7．如图，在正三棱柱ABC-A1B1C1中，AA1＝4，AB＝2，则直线A1B与直线B1C所成角的余弦值为______________．

题/p>

题号135246879108．如图，在空间四边形ABCD中，AB＝CD＝8，M，N分别是BC，AD的中点．若异面直线AB与CD所成的角为60°，则MN的长为______________．

题/p>

题/p>

题/p>

题2)由(1)知四边形EFGH为梯形，且EH，FG是梯形的两腰，所以EH，FG相交于一点．设交点为P，因为EH⊂平面ABD，所以P∈平面ABD，同理P∈平面BCD，而平面ABD∩平面BCD＝BD，所以P∈BD，故点P是直线EH，BD，FG的公共点，即直线EH，BD，FG相交于一点．题号1352468791010．(2025·金华期末)如图所示，在棱长为2的正方体ABCD-A1B1C1D1中，E，F分别是AB，CC1的中点．(1)求异面直线A1E与D1F所成角的余弦值；(2)求三棱锥A1-D1EF的体积．题解]

(1)如图，设BB1的中点为H，连接HF，EH，A1H，因为F是CC1的中点，所以A1D1∥CB∥HF，A1D1＝CB＝HF，因此四边形A1D1FH是平行四边形，所以D1F∥A1H，D1F＝A1H，因此∠EA1H(或其补角)是异面直线A1E与D1F所成的角．因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2，E是AB的中点，题/p>

题/p>

题号135246879101112√一、单项选择题1．(2025·盐城期中)下列关于空间几何体的论述，正确的是(

)A．有两个面平行，其他各个面都是平行四边形的多面体是棱柱B．有两个平面平行且相似，其他各个面都是梯形的多面体是棱台C．连接圆柱上、下底面圆周上任意两点的线段是圆柱的母线D．圆台的轴截面不可能为直角梯形阶段检测(十)第50～52课时题号135246879101112D

[对于A，如图1，利用两个底面全等的斜棱柱拼接而成的几何体满足A中条件，但该几何体不是棱柱，A错误；对于B，如图2，利用两个上底面全等，下底面相似的棱台拼接而成的几何体满足B中条件，但该几何体不是棱台，B错误；题号135246879101112对于C，连接圆柱上、下底面圆周上任意两点，只有连线平行于旋转轴时才是母线，C错误；对于D，圆台的轴截面是指过圆台轴的平面截取几何体得到的截面，其形状为等腰梯形，这是因为圆台由圆锥被平行于底面的平面截得，轴截面包含上、下底面的直径和母线，形成对称的等腰梯形，故圆台的轴截面始终是等腰梯形，不可能为直角梯形，D正确．故选D．]√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√4．(2025·宁乡期末)中国古代数学专著《九章算术》中对两类空间几何体有这样的记载：①“堑堵”，即底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱；②“阳马”，即底面为矩形，且有一侧棱垂直于底面的四棱锥．现有一“堑堵”ABC-A1B1C1，如图所示，AC⊥BC，AA1＝3，AC＝2，则其中“阳马”B-A1ACC1与“堑堵”ABC-A1B1C1的体积之比为(

)A．1∶2

B．2∶3C．1∶4

D．4∶5题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112

题号135246879101112√

题号135246879101112√√

题号135246879101112√8．(2025·武威月考)如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，O为AC，BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，则下列结论正确的是(

)A．C1，O，A，M四点共面B．直线C1O与直线A1C为异面直线C．直线A1A与直线OM相交D．D1，D，O，M四点共面题号135246879101112√AC

[对于A选项，如图，连接A1C1，因为O为AC，BD的交点，直线A1C交平面C1BD于点M，所以点C1，M，O在平面C1BD与平面ACC1A1的交线上，即C1，M，O三点共线，则点C1，O，A，M四点共面，故选项A正确；对于B选项，由选项A的分析可知C1，M，O三点共线，所以直线C1O与直线A1C相交，故选项B错误；题号135246879101112对于C选项，因为O为AC的中点，点M为直线A1C与平面C1BD的交点，所以M不是A1C的中点，又因为A1A，OM⊂平面A1AC，且A1A与OM不平行，所以直线A1A与直线OM相交，故选项C正确；对于D选项，连接D1B1，因为点D1，D，O均在平面D1DBB1内，点M不在平面D1DBB1内，且直线OM与直线DD1没有交点，所以直线OM与直线