66　第九章　第66课时　二项式定理

第66课时二项式定理第九章计数原理、概率、随机变量及其分布[考试要求]能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题．1．(人教A版选择性必修第三册P30例2改编)(1－2x)4展开式中第3项的二项式系数为(

)A．6

B．－6

C．24

D．－24以题引理·激活思维√

√

3．(人教A版选择性必修第三册P35习题6.3T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(

)A．252x3 B．210x4C．252x5 D．210x6

√4．(苏教版选择性必修第二册P88习题7.4T13改编)若(2x－1)4＝a4x4＋a3x3＋a2x2＋a1x＋a0，则a0＋a2＋a4＝_____________．

41

82

k＋1

相等

2n

精研考点·提升素养√

√√

√－28(1)A

(2)－28

[(1)由组合知识可知，含x3的求解，需要从5个因式中，3个因式选择x，2个因式选择常数，则含x3的项的系数是(－4)×5＋3×5＋3×(－4)＋(－2)×5＋(－2)×3＋(－2)×(－4)＋1×5＋1×(－4)＋1×3＋1×(－2)＝－23．故选A．

√

名师点评：几种求展开式特定项的解法(1)求二项展开式中的特定项，一般是化简通项后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出k，代回通项即可．(2)对于几个多项式积的展开式中的特定项问题，一般都可以根据因式连乘的规律，结合组合思想求解，但要注意适当地运用分类方法，以免重复或遗漏．(3)对于三项式问题一般先变形化为二项式再解决或从组合角度求特定项．[巩固迁移]1．已知多项式(x－2)5＋(x－1)6＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5＋a6x6，则a3＝(

)A．60 B．74C．20 D．－1√

2．若(1＋ax＋x2)(1－x)8的展开式中含x2的项的系数为21，则a＝(

)A．3 B．2C．1 D．－1√

－873【教用·备选题】1．在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3项的系数为(

)A．6480

B．2160C．60 D．－2160√

√

√(2)(多选)(2026·湖南长沙模拟)若(1＋2x)2024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2024x2024，则下列正确的是(

)A．a0＝2024B．a0＋a1＋…＋a2024＝32024C．a0－a1＋a2－a3＋…＋a2024＝1D．a1－2a2＋3a3－…－2024a2024＝－2024√√(3)(2026·重庆模拟)已知多项式(x＋1)3(2x－3)2＝a1(x－1)5＋a2(x－1)4＋a3(x－1)3＋a4(x－1)2＋a5(x－1)＋a6，则a1＋a3＋a5＝_____________．9

(2)对于A，令x＝0，则a0＝1，故A错误；对于B，令x＝1，则a0＋a1＋…＋a2

024＝32

024，故B正确；对于C，令x＝－1，则a0－a1＋a2－a3＋…＋a2

024＝1，故C正确；对于D，由(1＋2x)2

024＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2

024x2

024，两边同时求导得2

024×2×(1＋2x)2

023＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2

024a2

024x2

023，令x＝－1，则a1－2a2＋3a3－…－2

024a2

024＝－4

048，故D错误．故选BC．

√5

提醒：①注意项的系数与二项式系数的区别；②理解奇数项与偶数项，奇次幂与偶次幂．[巩固迁移]4．(2026·山东济南模拟)(a＋x)(1＋x)4的展开式中x的奇数次幂的系数之和为32，则a＝(

)A．1 B．2C．3 D．4√C

[设(a＋x)(1＋x)4＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a5x5，令x＝1，则a0＋a1＋a2＋…＋a5＝16(a＋1)，①令x＝－1，则a0－a1＋a2－…－a5＝0．②①－②得，2(a1＋a3＋a5)＝16(a＋1)，即2×32＝16(a＋1)，求得a＝3．故选C．]

√

√√

√

√√

考点三

二项式定理的应用[典例6]

(1)设a∈Z，且0≤a≤13，若512023＋a能被13整除，则a等于(

)A．0 B．1C．11 D．12(2)1.026的近似值(精确到0.01)为(

)A．1.12 B．1.13C．1.14 D．1.20√√

名师点评：二项式定理应用的题型及解法(1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式．(2)二项式定理的一个重要用途是作近似计算：当n不很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx．

√8

题号135246879101112131415课后作业(六十六)二项式定理√16

题号13524687910111213141516题号2134568791011121314152．在二项式(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(

)A．－960 B．960C．1120 D．1680√16

3．(人教A版选择性必修第三册P38复习参考题6T9改编)在(1－x)5＋(1－x)6＋(1－x)7＋(1－x)8的展开式中，含x3的项的系数是(

)A．74 B．121C．－74 D．－121题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415√16

题号213456879101112131415165．(2026·江苏如皋模拟)已知(1＋x)2＋(1＋x)3＋…＋(1＋x)9＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a9x9，则a2的值为(

)A．60 B．80C．84 D．120题号213456879101112131415√

16

题号213456879101112131415√

167．在(x2＋x＋y)6的展开式中，x5y2的系数为(

)A．60 B．15C．120 D．30题号213456879101112131415√

168．已知(x＋3)(x＋2)8＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9，则a8＝(

)A．8 B．10C．28 D．29题号213456879101112131415√16

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号213456879101112131415√16√√

题号21345687910111213141516

题号21345687910111213141516三、填空题12．(2025·天津卷)在(x－1)6的展开式中，x3项的系数为_____________．题号21345687910111213141516

－2013．(2025·北京卷)已知(1－2x)4＝a0－2a1x＋4a2x2－8a3x3＋16a4x4，则a0＝_____________；a1＋a2＋a3＋a4＝_____________．题号21345687910111213141516

11514．若(x＋2＋m)9＝a0＋a1(x＋1)＋a2(x＋1)2＋…＋a9(x＋1)9，且(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝39，则实数m的值为_____________．题号21345687910111213141516－3或1

[令x＝0，则(2＋m)9＝a0＋a1＋a2＋…＋a9，令x＝－2，则m9＝a0－a1＋a2－a3＋…－a9，又(a0＋a2＋…＋a8)2－(a1＋a3＋…＋a9)2＝(a0＋a1＋a2＋…＋a9)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a8－a9)＝39，∴(2＋m)9·m9＝39，∴m(2＋m)＝3，∴m＝－3或m＝1．]－3或115．(多选)若(a＋b＋c)6的展开式是关于a，b，c的多项式，则下列说法正确的是(

)A．展开式中每一项的次数都是6B．展开式中含a3b2c项的系数是60C．所有项的系数之和为26D