38　第四章　第36课时　正弦定理、余弦定理

第四章三角函数与解三角形第36课时正弦定理、余弦定理[考试要求]

1．掌握正弦定理、余弦定理及其变形．2．理解三角形的面积公式并能应用．3．能利用正弦定理、余弦定理解决一些简单的三角形度量问题．理法先行·题练固本知识点1

正弦定理、余弦定理在△ABC中，设角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC的外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容a2＝_________________；b2＝_________________；c2＝_________________

b2＋c2－2bccos

A

c2＋a2－2cacos

Ba2＋b2－2abcos

C定理正弦定理余弦定理变形

sin

A∶sin

B∶sin

C

知识点2

三角形解的个数的判断项目A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsin

Absin

A<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解

1．(人教A版必修第二册P48练习T2(2))在△ABC中，已知b＝2，A＝45°，C＝75°，则c＝______________．

2．(苏教版必修第二册P93练习T1(3))在△ABC中，已知a＝7，b＝5，c＝3，则A＝______________．

3．(北师大版必修第二册P120练习T2)在△ABC中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是(

)A．a＝7，b＝14，A＝30°B．a＝30，b＝25，A＝150°C．a＝72，b＝50，A＝135°D．a＝30，b＝40，A＝26°√

√

6．(用结论)已知△ABC的三边长分别为a＝5，b＝6，c＝7，则△ABC的外接圆半径＝______________．

考点深研·题型突破

√

√

√

√

考点二

判断三角形的形状[典例2]

△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bcos

C＋ccos

B＝asin

A，则△ABC的形状为(

)A．直角三角形

B．锐角三角形C．钝角三角形

D．不确定√

通性通法：判断三角形形状的技巧(1)整理出边的相应关系从而判断三角形是否为等边、等腰或直角三角形；(2)通过三角恒等变换，得出内角之间的关系，从而判断三角形是否为锐角、直角或钝角三角形．求解三角形形状问题时，既要从边的角度考虑又要从角的角度考虑，以免漏解．[多维变迁](多选)(2025·重庆诊断)在△ABC中，下列说法正确的是(

)A．若acos

A＝bcos

B，则△ABC为直角三角形B．若a＝40，b＝20，B＝25°，则△ABC必有两解C．若△ABC是锐角三角形，则sin

A>cos

BD．若cos

2A＋cos

2B－cos

2C<1，则△ABC为锐角三角形√√

即90°>A>90°－B>0°，∴sin

A>sin(90°－B)＝cos

B，故C正确；对于D，由题意及二倍角的余弦公式知1－2sin2A＋1－2sin2B－1＋2sin2C<1，即sin2A＋sin2B－sin2C>0，即a2＋b2－c2>0，∴cos

C>0，即C为锐角，但不能说明△ABC为锐角三角形，故D错误．故选BC．]

√√√

思维建模：边角互化模型(解三角形中的边角共存式)第1步

边化角或角化边：将边角共存式化成只含角或只含边的等式．正弦定理可将每一项的边化成正弦值，也可将每一项的正弦值化成边；余弦定理可将某一项的余弦值化成边．第2步

解方程：解三角方程或关于边的方程．

√

√

3．(2023·全国乙卷)在△ABC中，已知∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1．(1)求sin∠ABC；(2)若D为BC上一点，且∠BAD＝90°，求△ADC的面积．

√

√

√

3．(链接考点二)(多选)已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c．下列判断三角形的形状正确的是(

)A．若AB＝6，AC＝5，BC＝8，则△ABC为钝角三角形B．若cos

A＝cos

B，则△ABC为等腰三角形C．若a∶b∶c＝4∶6∶7，则△ABC为锐角三角形D．若c－acos

B＝(2a－b)cos

A，则△ABC一定为等腰三角形√√√

4．(链接考点三)(人教A版必修第二册P44练习T2改编)在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a＝4，b＝5，c＝6，则cos

A＝______________，△ABC的面积为______________．

题号1352468791011√

课时作业(三十六)正弦定理、余弦定理题号1352468791011B

[由余弦定理得AC2＝AB2＋BC2－2AB·BCcos

B＝49，整理得BC2－8BC＋15＝0，解得BC＝3或BC＝5，经检验均符合题意．故选B．]√2．(人教A版必修第二册P61复习参考题6T11改编)在△ABC中，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是(

)A．b＝10，A＝45°，B＝70°B．a＝60，c＝48，B＝60°C．a＝7，b＝5，A＝80°D．a＝14，b＝16，A＝45°题号1352468791011

题号1352468791011√

题号1352468791011

题号1352468791011√4．(2026·杭州模拟)在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且满足4c2＋a2＝b2，则△ABC为(

)A．直角三角形

B．钝角三角形C．锐角三角形

D．等腰三角形题号1352468791011B

[在△ABC中，4c2＋a2＝b2，由余弦定理得b2＝4c2＋a2＝a2＋c2－2accos

B，则3c2＝－2accos

B>0，因此cos

B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形．故选B．]题号1352468791011√

题号1352468791011

题号1352468791011√二、多项选择题6．(2025·葫芦岛月考)已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且sin

A∶(sin

A＋sin

B)∶(sin

B＋sin

C)＝2∶5∶7，则(

)A．a∶b＝2∶3B．a∶c＝1∶2C．△ABC是锐角三角形D．△ABC是钝角三角形题号1352468791011√√

题号1352468791011√

题号1352468791011√√

题号1352468791011

题号1352468791011

题号13524687910112

[由余弦定理得b2＝c2＋a2－2cacos

B，即c2＋c－6＝0，解得c＝2

或c＝－3(舍去)．