83　第十章　第76课时　事件的相互独立性、条件概率与全概率公式

第十章计数原理、概率、随机变量及其分布第76课时事件的相互独立性、条件概率与全概率公式[考试要求]

1．了解两个事件相互独立的含义．

2．理解随机事件的独立性和条件概率的关系，会利用全概率公式计算概率．理法先行·题练固本

P(A)P(B)B

P(A)P(B|A)

10≤P(B|A)≤1P(B|A)＋P(C|A)1－P(B|A)知识点3

全概率公式一般地，设A1，A2，…，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪…∪An＝Ω，且P(Ai)>0，i＝1，2，…，n，则对任意的事件B⊆Ω，有P(B)＝_________________，我们称该公式为全概率公式．

3．如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．1．(人教A版必修第二册P253习题10.2

T1)掷两枚质地均匀的骰子，设A＝“第一枚出现奇数点”，B＝“第二枚出现偶数点”，则A与B的关系为(

)A．互斥 B．互为对立C．相互独立 D．相等√

2．(苏教版选择性必修第二册P143复习题T1)甲、乙两人射击，中靶的概率分别为0.8，0.7．若两人同时独立射击，则他们都击中靶的概率是(

)A．0.56 B．0.48C．0.75 D．0.6√A

[甲、乙两人射击时相互独立，则他们都中靶的概率为0.8×0.7＝0.56．]3．(人教B版选择性必修第二册P47练习AT4)已知一种节能灯使用寿命超过10000h的概率为0.95，而使用寿命超过12000h的概率为0.9，则已经使用了10000h的这种节能灯，使用寿命能超过12000h的概率为______________．

4．(人教A版选择性必修第三册P50例4)某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐．如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8．则王同学第2天去A餐厅用餐的概率为______________．

0.7

0.7

[设A1＝“第1天去A餐厅用餐”，B1＝“第1天去B餐厅用餐”，A2＝“第2天去A餐厅用餐”，则Ω＝A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得，P(A1)＝P(B1)＝0.5，P(A2|A1)＝0.6，P(A2|B1)＝0.8，由全概率公式，得P(A2)＝P(A1)P(A2|A1)＋P(B1)·P(A2|B1)＝0.5×0.6＋0.5×0.8＝0.7．因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7．]

√考点深研·题型突破考点一

相互独立事件考向1

事件相互独立性的判断[典例1]

(2021·新高考Ⅰ卷)有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则(

)A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立C．乙与丙相互独立 D．丙与丁相互独立√

通性通法：(1)判断事件相互独立，一般用定义判断．(2)求相互独立事件同时发生的概率的主要方法：①利用相互独立事件的概率乘法公式直接求解；②正面计算较复杂(如求用“至少”表达的事件的概率)或难以入手时，可从其对立事件入手计算．

√

√

√

2．(多选)下列结论中错误的是(

)A．P(B|A)＝P(A|B)B．P(B∪C|A)＝P(B|A)＋P(C|A)C．P(AB)＝P(B|A)P(A)D．P(B|A)P(A)≥P(A)＋P(B)√√√

考点三

全概率公式的应用[典例4]

跑步运动越来越受大众喜爱．据统计，某校有高一、高二、高三三个年级，这三个年级中喜欢跑步运动的教师分别占该年级教师人数的40%，30%，35%，且这三个年级的教师人数之比为3∶3∶4，现从这三个年级中随机抽一名教师，则该教师喜欢跑步的概率为(

)A．0.35 B．0.32C．0.45 D．0.36√

通性通法：利用全概率公式解题的思路(1)按照确定的标准，将一个复杂事件分解为若干个两两互斥事件Ai(i＝1，2，…，n)．(2)求P(Ai)和所求事件B在各个互斥事件Ai发生条件下的概率P(B|Ai)．(3)代入全概率公式计算．[多维变迁]1．(2025·沈阳期末)某工业园区安装了一套AI水质污染监测系统，对每日的水质是否被化学污染进行检测．已知该园区水质每日发生化学污染的概率为0.1．当某日水质被化学污染时，系统正确发生警报的概率为0.95；当某日污染不存在时，系统误报的概率为0.05，则该监测系统每日发生警报的概率为(

)A．0.095 B．0.45C．0.14 D．0.1√

【教用·备选题】保险公司将其公司的被保险人分为三类：“谨慎的”“一般的”“冒失的”．统计资料表明，这三类人在一年内发生事故的概率依次为0.05，0.15，0.30．若该保险公司的被保险人中“谨慎的”被保险人占20%，“一般的”被保险人占50%，“冒失的”被保险人占30%，则该保险公司的一个被保险人在一年内发生事故的概率是(

)A．0.155 B．0.175C．0.016 D．0.096√

(2)全概率公式和贝叶斯公式的区别①从形式上看，全概率公式是求一个事件发生的总概率，而贝叶斯公式是求一个事件的条件概率．②从思想上看，全概率公式是将一个复杂的事件分解为若干个简单的子事件，然后利用子事件发生的概率和条件概率来求出复杂事件发生的概率．贝叶斯公式是利用已知的结果，反推出原因的可能性，然后利用原因发生的概率和条件概率来更新对原因发生的概率的估计．③从应用上看，全概率公式和贝叶斯公式可以相互配合，一般来说，全概率公式可以用来求出贝叶斯公式中的分母(结果发生的总概率)，而贝叶斯公式可以用来求出全概率公式中的分子(子事件发生的条件概率)．

√(2)(2026·扬州模拟)有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起．已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%．任取一个零件，如果取到的零件是次品，则它是第2台车床加工的概率为______________．

1．(链接考向1)(多选)(人教A版必修第二册P266复习参考题10T1改编)袋内有3个白球和2个黑球，从中有放回地摸球，用A表示“第一次摸到白球”，如果“第二次摸到白球”记为B，其对立事件记为C，那么事件A与B，A与C的关系是(

)A．A与B相互独立 B．A与C相互独立C．A与C互斥 D．A与B互斥√√AB

[由于摸球过程是有放回地，所以第一次摸球的结果对第二次摸球的结果没有影响，故事件A与B，A与C均相互独立，且A与B，A与C均有可能同时发生，说明A与B，A与C均不互斥．故选AB．]2．(链接考向2)(2025·湘潭期末)体育课上甲、乙两名同学进行投篮比赛(甲、乙各投篮一次)，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为(

)A．0.38 B．0.24C．0.14 D．0.5√A

[根据题意可知，甲投中的概率为0.7，乙投中的概率为0.8，则甲、乙两人恰好有一人投中的概率为0.7×(1－0.8)＋0.8×(1－0.7)＝0.38．故选A．]

√

题号1352468791011√

课时作业(七十六)事件的相互独立性、条件概率与全概率公式题号1352468791011

√2．(人教B版选择性必修第二册P45例2改编)天气预报报道，在五一假期甲地的降雨概率是0.2，乙地的降雨概率是0.3．假设在这段时间内两地是否降雨相互之间没有影响，则这两地中恰有一个地方降雨的概率为(

)A．0.2 B．0.3C．0.38 D．0.56题号1352468791011

题号1352468791011√

题号1352468791011

√

题号1352468791011

题号1352468791011√

题号1352468791011

题号1352468791011√

题号1352468791011

题号1352468791011√

题号1352468791011√√

题号1352468791011√8．(2025·南通开学考试)设样本空间Ω＝{1，2，3，4}，且每个样本点是等可能的，已知事件A＝{1，2}，B＝{1，3}，C＝{1，4}，则(

)A．A与B互斥

B．B与C相互独立C．P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)D．P(A|C)＝P(C|A)题号1352468791011√

题号1352468791011

题号1352468791011三、填空题9．(2025·连云港期末)已知随机事件A与B对立，B与C相互独立，若P(A)＝0.4，P(C)＝0.3，则P(BC)＝

______________．

题号13524687910110.18

0.18

[∵随机事件A与B对立，B与C相互独立，P(A)＝0.4，P(C)＝0.3，∴P(B)＝1－P(A)＝1－0.4＝0.6，P(BC)＝P(B)P(C)＝0.6×0.3＝0.18．]10．(人教A版选择性必修第三册P50例5改编)两批同种规格的产品，第一批占30%，次品率为5%；第二批占70%，次品率为4%，将两批产品混合，从混合产品中任取1件，则取到的这件产品是合格品的概率为______________．

题号13524687910110.957

[设B＝“取到合格品”，Ai＝“取到的产品来自第i批”(i＝1，2)，则P(A1)＝0.3，P(A2)＝0.7，P(B|A1)＝0.95，P(B|A2)＝0.96，由全概率公式得P(B)＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)·P(B|A2)＝0.3×0.95＋0.7×0.96＝0.957．]0.957

四、解答题11．(2025·玉林期末)某机器人商店出售的机器人中，甲品牌的占40%，合格率为