高一数学：集合与常用逻辑用语教学课件

数学·必修第一册高一数学集合与常用逻辑用语集合·关系·运算·逻辑2026年课程导览01集合的概念与表示从实例出发，理解集合的含义与表示方法02集合间的关系与运算掌握包含关系与交并补运算03常用逻辑用语理解充分必要条件与量词命题04综合应用与提升运用集合与逻辑解决综合问题01集合的概念与表示从具体到抽象理解集合的含义，掌握集合的表示方法集合的含义与元素一般地，把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合，简称集。常见实例3种某班全体学生1到10之间的所有偶数平面上到定点距离等于定长的所有点元素与集合的关系2种若a是集合A的元素，记作

a∈A若a不是集合A的元素，记作

a∉A确定性、互异性、无序性——集合的三大特性常用数集及其记法数集符号含意自然数集N全体非负整数组成的集合正整数集N*或N+全体正整数组成的集合整数集Z全体整数组成的集合有理数集Q全体有理数组成的集合实数集R全体实数组成的集合记法要点：数集符号为大写空心字母，须规范书写易混辨析：0∈N，但

0∉N*易混辨析：π∈R，但不属于Q列举法表示集合把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法叫列举法。定义把集合中的所有元素一一列举出来，并用花括号括起来表示集合的方法。适用范围元素个数较少且可以逐一列举时。示例大于1且小于5的整数组成的集合为

{2,3,4}方程x²−4=0的解集为

{−2,2}书写要点元素之间用逗号分隔元素互异，不重复书写元素无序，排列顺序任意易错提醒：{2,4}

与

{4,2}

表示同一个集合描述法表示集合用集合所含元素的共同特征表示集合的方法叫描述法。描述法一般形式{x|x满足的条件}适用场景元素个数较多或无限多时示例不等式x-5<3的解集为

{x|x<8}偶数集

{x|x=2k,k∈Z}抛物线y=x²上的点集

{(x,y)|y=x²}注意事项竖线前要写清代表元素，点集与数集必须区分常见错误：{x²|x∈R}

表示的是数的集合，而非点集集合的分类按集合中元素的个数，集合可分为实例辨析有限集有限个元素含有有限个元素的集合如

{1,3,5,7}无限集无限个元素含有无限个元素的集合如

{x|x>0}空集不含任何元素不含任何元素的集合，记作

∅空集是有限集规定：方程无解的解集为空集辨析一{0}

是含一个元素的集合，不是空集辨析二∅

与

{∅}

不同，后者是以空集为元素的集合元素的特征综合辨析判断一组对象能否构成集合，只需检验是否满足确定性。Q

“我校高一年级个子高的同学”能否构成集合？A

不能。理由：不满足确定性，“个子高”没有明确标准。Q

“1,2,2,3组成的集合”应如何表示？A

应写作

{1,2,3}。理由：集合元素必须满足互异性。Q

集合{a,b,c}与{c,b,a}是否相同？A

相同。理由：集合元素满足无序性。02集合间的关系与运算关系是基础，运算是核心掌握子集、交集、并集、补集集合相等的判定如果集合A的任何一个元素都是集合B的元素，同时集合B的任何一个元素也都是集合A的元素，则称集合A与集合B相等，记作A=B。证明集合相等，关键是证双向包含判定方法2项判定方法A=B等价于

A⊆B且B⊆A互异性应用A={1,a}，B={1,a²}，若A=B，则a=a²，解得a=0或a=1，又因互异性a≠1，故a=0判定方法互异性应用实例与证明{x|x²=4}={-2,2}偶数集

{x|x=2k,k∈Z}

与

{x|x=2n,n∈Z}

相等并集的含义与运算由所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合，称为并集——A∪B={x|x∈A或x∈B}运算性质A∪A=A，A∪∅=AA∪B=B∪A若

A⊆B，则A∪B=B示例{1,2,3}∪{2,3,4}={1,2,3,4}{x|x<3}∪{x|x>1}=R求并集要点：将所有元素合并，重复元素只写一次全集与补集由全集

U

中不属于集合

A

的所有元素组成的集合，记作

∁ᵤA全集与补集定义3项全集含有所研究问题中涉及的所有元素的集合，记作

U补集由全集

U

中不属于集合

A

的所有元素组成，记作

∁ᵤA补集描述法∁ᵤA={x|x∈U且x∉A}运算性质与示例3项性质1A∪∁ᵤA=U，A∩∁ᵤA=∅性质2∁ᵤ(∁ᵤA)=A性质3∁ᵤU=∅，∁ᵤ∅=U示例设U={1,2,3,4,5}，A={1,3}，则

∁ᵤA={2,4,5}德摩根定律德摩根定律揭示了补集与交、并运算之间的转化关系定律一∁ᵤ(A∪B)=∁ᵤA∩∁ᵤB并集的补集等于补集的交集定律二∁ᵤ(A∩B)=∁ᵤA∪∁ᵤB交集的补集等于补集的并集集合运算的综合例题设全集U=R，集合A={x|-1≤x<3}，B={x|2x-4≥x-2}，求A∩B、A∪B、∁ᵤA。题目区求交求并求补集全集

U=R，集合A={x|-1≤x<3}，集合B={x|2x−4≥x−2}。第一步化简B化简集合B2x−4≥x−2，解得

x≥2，即B={x|x≥2}第二步求交与并数轴标区间，求交与并A∩B={x|2≤x<3}，A∪B={x|x≥−1}第三步求补集由全集U=R求补集∁ᵤA={x|x<−1或x≥3}第四步归纳总结归纳总结涉及不等式集合的运算，涉及不等式集合的运算，先画数轴最直观可靠03常用逻辑用语从运算到判断理解充分必要条件与量词命题命题的概念与真假“我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。”判断标准：命题必须同时满足两点——是陈述句，且能判断真假。疑问句、祈使句、感叹句都不是命题。定义真命题与假命题判断为真的语句叫真命题，判断为假的语句叫假命题真命题判断为真的语句假命题判断为假的语句举例下列语句是否为命题？“3大于2”——是命题，真命题“2是有理数”——是命题，真命题“x>5”——不是命题，因x未知，无法判断真假“明天会下雨”——不是命题，无法判断真假充分条件与必要条件p推出q，p是q的充分条件，q是p的必要条件——记忆口诀：p推出q，p是q的充分条件01实例一x=1与x²=1x=1是x²=1的充分条件x²=1是x=1的必要条件关键在于判断

p⇒q

是否成立，方向不能反02实例二三角形全等与面积相等全等是面积相等的充分条件面积相等是全等的必要条件关键在于判断

p⇒q

是否成立，方向不能反充要条件p是q的充分必要条件，需双向推出成立：既有p⇒q，又有q⇒p等价表述等价p与q互为充要条件，也称p与q等价判定程序1先看

p⇒q

是否成立2再看

q⇒p

是否成立⇔两者皆成立才是充要条件实例辨析“x=2”

是

“2x=4”

的充要条件“a>b”

是

“a+c>b+c”

的充要条件“x²=1”

不是

“x=1”

的充要条件，因x=-1也满足条件关系的四种类型“判定要领：分

两个方向

逐一检验推出关系，方向不清是主要失分点。”类型p⇒qq⇒p结论充分不必要成立不成立p是q的充分不必要条件必要不充分不成立成立p是q的必要不充分条件充要条件成立成立p是q的充要条件既不充分也不必要不成立不成立p是q的既不充分也不必要条件全称量词命题短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，用符号∀表示。含有全称量词的命题叫做全称量词命题。证明全称量词命题为真，需全满足；举出反例即可判定为假全称量词命题的结构形式：∀x∈M，p(x)实例“所有的正方形都是矩形”

→∀x∈{正方形}，x是矩形“∀x∈R，x²≥0”

是

真命题“∀x∈R，x²>0”

是

假命题，因x=0时x²=0真命题假命题反例判定方法为真：需证明集合中每一个元素都满足为假：只需找出一个反例存在量词命题对比记忆全称量词需“全验”→存在量词只需“找一个”全称需“全验”，存在只需“找一个”定义短语“存在一个”、“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，用符号

∃

表示。含有存在量词的命题叫做存在量词命题。结构形式：∃x∈M，p(x)实例辨析“存在实数

x，使x²=2”

→

∃x∈R，x²=2

真命题“∃x∈R，x²<0”

是假命题因任意实数平方都不小于0判定方法证明为真只需找到一个满足条件的元素说明为假需证明集合中所有元素都不满足含量词命题的否定对含量词的命题否定，需同时完成两个动作：量词互换

与

结论否定。记忆口诀：全称变存在，存在变全称，结论要否定∀全称量词命题的否定公式“∀x∈M，p(x)”的否定是“∃x∈M，¬p(x)”示例“所有的正方形都是矩形”的否定是“存在一个正方形不是矩形”∃存在量词命题的否定公式“∃x∈M，p(x)”的否定是“∀x∈M，¬p(x)”示例“存在实数x使x²=2”的否定是“对任意实数x，x²≠2”逻辑用语综合例题已知

p：x>2，q：x²>4，判断p是q的什么条件。判定过程p⇒q若x>2，则必有x²>4结论成立q⇒p若x²>4，则x>2或x<-2，不一定有x>2结论不成立p是q的充分不必要条件归归纳·解集包含关系含义p对应解集A，q对应解集B判据若A⊆B且A≠B，则p是q的充分不必要条件04综合应用与提升融会贯通运用集合与逻辑解决综合问题集合与条件的转化条件关系可以转化为集合间的包含关系，这是数形结合思想的重要应用。转化规则设p对应解集为A，q对应解集为Bp是q的充分条件⇔A⊆Bp是q的必要条件⇔B⊆Ap是q的充要条件⇔A=B实例对照p：x>2对应A=(2,+∞)，q：x>1对应B=(1,+∞)因A⊆B，故p是q的

充分不必要条件含参数集合问题已知集合

A={x|−2≤x≤5}，B={x|m+1≤x≤2m−1}，若

B⊆A，求实数m的取值范围。一情形一：B=∅空集

B=∅

时，恒有

B⊆A

成立。此时需

m+1>2m−1。解得

m<2。二情形二：B≠∅非空需

m≥2（即m+1≤2m−1）。左端点约束：m+1≥−2。右端点约束：2m−1≤5。三式联立，解得

2≤m≤3。充要条件的证明证明

p是q的充要条件

需分两步完成：充分性

与

必要性充分性由p出发，推出q，即

p⇒q。例题：求证关于x的方程

ax²+bx+c=0（a≠0）有一个根为1的充要条件是

a+b+c=0。若a+b+c=0，则x=1代入得

a·1+b·1+c=0，故1是方程的根。必要性由q出发，推出p，即

q⇒p。若1是方程的根，代入得

a+b+c=0。归纳：证明充要条件务必将

两个方向

都写清楚。易错点集中辨析①概念与集合互异性集合{1,a}中

a≠1，含参集合常忽略此限制点集描述法表示时代表元素写错，如把点集写成数集②逻辑与推理方向充分与必要条件方向易颠倒，判定时逐句写清“谁推出谁”量词含量词命题的否定须量词互换同时结论否定，只换其一必错避坑每道含参题先检验互异性，每道包含关系题先讨论空集全章知识结构梳理本章知识结构可归纳为两条主线采用

双主线并进+交汇聚焦

的方式梳理全章知识脉络主线一：集合主线集合的含义与表示→集合间关系（子集、相等）→集合运算（交、并、补）→德摩根定律主线二：逻辑用语主线命题与真假→充分条件、必要条件、充要条件→全称量词、存在量词→命题的否定两条主线于

交汇点

相互对应：条件关系⇔集合包含关系，量词命题⇔集合元素性质描述，最终汇于

数形结合

与

分类讨论

两大思想课堂练习与自我检测完成下列练习，检测本章掌握情况基础题集合表示与子集用列举法表示集合{x|x²-3x+2=0}设A={1,2,3}，写出A的所有真子集提升题补集与量词命题设U=R，A={x|-3≤x≤4}，求

∁ᵤA判断命题“∀x∈R，x²+1>0”的真假，并写出其否定综合题充分条件与必要条件已知p：x²-5x+6=0，q：x=2，判断

p是q的什么条件核对答案子集与真子集{.textdata-chapter-index="2"data-narrative-logic="概念建立式，由包含关系引入子集与真子集定义，结合Venn图直观呈现从属关系"da⊆子集·知识要点Q

什么是子集？A

若集合A的任意一个元素都是集合B的元素，则称A是B的子集，记作

A⊆B

或B⊇A，读作

“A包含于B”。Q

什么是真子集？A

若A⊆B且存在元素x∈B但x∉A，则称A是B的真子集，记作A⫋B。Q

子集有哪些性质？A

①

任何集合都是它本身的子集，即A⊆A；②

空集是任何集合的子集，即∅⊆A；③

空集是任何非空集合的真子集。Q

子集有传递性吗？A

若A⊆B，B⊆C，则A⊆C，具有传递性。实例{1,2}