第四章 线性系统稳定性分析

第四章线性系统稳定性分析（I）2

所谓稳定性是指系统在受到外界力的作用后恢复平衡状态的能力。如果系统受到有界扰动，不论扰动引起的初始偏差有多大，当扰动取消后，系统都能以足够的准确度恢复到初始平衡状态，则这种系统称为大范围稳定的系统；如果系统受到有界扰动，只有当扰动引起的初始偏差小于某一范围时，系统才能在取消扰动后恢复到初始平衡状态，否则就不能恢复到初始平衡状态，则称为小范围稳定的系统。

4.1稳定的概念3如果系统受到有界扰动，系统在取消扰动后无法恢复到初始平衡状态，则称为不稳定的系统。4

对于稳定的线性系统，它必然在大范围内和小范围内都能稳定，只有非线性系统才可能有小范围稳定而大范围不稳定的情况。单摆运动5ab6

线性控制系统稳定性的定义如下：若线性控制系统在初始扰动

(t)的影响下，其过渡过程随着时间的推移逐渐衰减并趋向于零，则称系统为稳定。反之，则为不稳定。线性系统的稳定性只取决于系统自身固有特性，而与输入信号无关。根据定义输入

(t)，其输出为脉冲过渡函数g(t)。如果当t→∞时，g(t)收敛到原来的平衡点，即有

那么，线性系统是稳定的。4.2线性系统稳定性条件7不失一般性，设n阶系统的闭环传递函数为式中，0<

k<1

。即系统有q个实极点和r对共轭复数极点。取拉氏反变换，并设全部初始条件为零，得到系统单位脉冲响应的时间表达式：式中；

k=arccos

k

；Ak、Bk是与C(s)在对应闭环极点上的留数有关的常数。8

系统稳定的条件是

只要满足如下条件，上式成立，系统稳定。线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。线性系统稳定的充要条件9线性系统稳定的充要条件是：闭环系统特征方程的所有根都具有负实部，或者说，闭环传递函数的极点均位于s左半平面（不包括虚轴）。

根据稳定的充要条件，要确定系统的稳定性，必须知道系统特征根的全部符号。如果能解出全部根，则立即可判断系统的稳定性。然而对于高阶系统，求根的工作量很大，常常希望使用一种直接判断根是否全在s左半平面的替代方法。劳斯代数稳定判据就是这个替代方法4.3代数稳定性劳斯判据劳斯判据是一种根据系统闭环特征方程式来判断特征根在s平面的位置，从而判定系统稳定性的代数判别方法。是劳斯于1877年提出的，因此叫劳斯稳定性判据。它能够判定一个多项式方程中是否存在位于复平面右半部的正根，而不必求解方程。由此劳斯获得了亚当奖。4.3.1系统稳定的必要条件式中，a0>0，ai

≠0,si是系统的n个闭环极点，i=1,2,

,

n。根据代数方程的基本理论，下列关系式成立：设线性系统的闭环特征方程为12

从上式可以导出，系统特征根都具有负实部的必要条件为：

aiaj>0(i,j=1,2,

,

n)即闭环特征方程各项同号且不缺项。

如果特征方程不满足上式的条件，系统必然不稳定。但满足上式，还不能确定一定是稳定的，因为上式仅是必要条件。要得到系统稳定的充要条件，必须列写劳斯表。131、劳斯表的第一行的组成：从特征方程式的最高幂次项系数开始，每隔一幂次项系数写一个，直到没有可写的系数了；2、劳斯表的第二行由剩余的项的系数从幂次高的到低的依次列写组成；3、从第三行开始，将由计算公式来决定。

劳斯表的列写步骤：4.3.2劳斯稳定判据劳斯表的组成劳斯表sna0（c11）

a2（c12）

a4（c13）……sn−1a1（c21）

a3（c22）

a5（c23）

……sn−2

c31

c32

c33……sn−3

c41

c42

c43……………………s0

an表中：1）最左一列元素按s的幂次排列，由高到低，只起标识作用，不参与计算。2）第一，二行元素，直接用特征方程式的元素填入。3）从第三行起各元素，是根据前二行的元素计算得到。

(i

3,j=1,2,)闭环特征方程式：劳斯判据判断系统稳定性的步骤：稳定的充要条件：1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项；2、全部系数为正值；3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。根的分布情况如果劳斯表的第一列元素不全为正的，那么劳斯表中第一列元素符号改变的次数，等于该特征方程位于右半s平面上根的个数。16例4-1设有下列特征方程D(s)=s5+2s4+

3s3+4s2

+5s1+7=0，试用劳斯判据判别该特征方程的正实部根的数目。解：劳斯表特征方程式不缺项，且系数都为正值，劳斯表的第一列元素符号改变了2次，∴系统不稳定，且s右半平面有2个根。s5s4s3s2s1s0135247

111.5-5.57007第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况，有两种处理方法。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对此情况，可做辅助方程来重新列写劳斯表。4.3.3劳斯判据的两种特殊情况18例4-3系统的特征方程为

D(s)=2s3+4s3+2s2

+4s+1=0试用劳斯判据判断系统的稳定性。解：系统的劳斯表为第一种特殊情况出现，可作如下处理：s4s3s2s1s02214401①用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项，从而使劳斯表继续下去。②可用因式（s+a）乘以原特征方程，其中a可为任意正数，再对新的特征方程应用劳斯判据。19

∵特征方程式不缺项且系数为正值，ε→0+时，c41<0，劳斯表中第一列元素符号改变了两次。∴系统不稳定，有两个正根。

②

（s+1）乘以原特征方程，得新的特征方程为：

D1(s)

=D(s)(s+1)=2s5+6s4+6s3+6s2+5s+1=0s4s3s2s1s0221440(ε)11s5s4s3s2s1s0

265661414/3-1126/301①0特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中第一列元素符号改变了两次。结论是：系统不稳定，有两个正根（

s=-1是一个负实根）。20例4-4设某线性系统的闭环特征方程为

D(s)=s5+2s4+26s3+52s2+25s+50=0试用劳斯判据判断系统稳定性。解:该系统的劳斯表如下此时，特征方程中存在对原点对称的根（实根，共轭虚根或共轭复数根）。对此情况，可作如下处理：s5s4s3s2s1s012625252500021特征方程式不缺项且系数为正值，劳斯表中第一列元素的符号无变化，∴系统没有正实部的根。解辅助方程求出系统有两对纯虚根，系统处于临界（不）稳定。两对纯虚根分别是s=±j1和s=±5√2j，剩下的一个根是s=-2。

用全为零上一行的系数构成一个辅助方程，对辅助方程求导，用所得方程的系数代替全零行，继续劳斯表。s5s4s3s2s1s01262525250

265088.6050

F(s)=2s4

+52s2+50

F

(s)=8s3+104s81040000劳斯判据小结控制系统稳定的充要条件是：1、系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项；2、全部系数为正值；3、由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。两种特殊情况：第一种特殊情况：劳斯表中某行的第一列元素为零，而其余各项不为零，或不全为零。对此情况有以下两种处理方法：1、用一个很小的正数ε来代替第一列为零的项；2、可用因式（s+a）乘以原特征方程。第二种特殊情况：劳斯表中某行元素全为零。对此情况，可做辅助方程来重新列写劳斯表。23①确定一个或两个参数变化对系统稳定性的影响例4-5已知系统结构图如下，试确定使系统稳定时K的取值范围。

解：系统特征方程式s3+4s2+3s+K=0要使系统稳定，劳斯表中第一列元素均大于零。0<K<12s3s2s1s013

4K(12

K)/4Ks3+4s2+3sR(s)C(s)

K﹣+4.3.4劳斯判据在系统分析中的应用24②确定系统的相对稳定性

例4-6试用劳斯判据判别系统是否有具有s>1的稳定裕量解：1)

劳斯表中第一列元素均为正∴系统在s右半平面没有根，系统是稳定的。s3s2s1s0110

6696s3+6s2+5sR(s)C(s)

5s+6﹣+D(s)=s3+6s2+10s+625

劳斯表中第一列元素全为正，故系统在s1右半平面没有根。因此，系统具有s>1的稳定裕量。s13s12s11s1011312/3

12)令s=s1

1坐标平移，得新特征方程为s13+3

s12

+s1

+

1=0劳斯判据小结系统的闭环特征方程式s的幂次不缺项，全部系数为正值，且由该方程式作出的劳斯表中第一列全部元素都要是正的。劳斯判据下控制系统稳定的充要条件第四章线性系统稳定性分析（II）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@简单回顾：开环频率特性曲线ReIm0

1

=0

（1）

=0，Gk(j0)=k

0

；

（2）

=，

Gk(j

)=0270

；

幅值和相角的变化规律：当

增加时，幅值从k到0，相角是从0

到270

单调递减的。（3）与虚轴的交点：

(

)从0

变化到90

，曲线一定与虚轴的负半轴相交于某一点；（4）与实轴的交点：

(

)从-90

变化到180

，曲线一定与实轴的负半轴相交于某一点。k结论：F(s)平面的原点就是G(s)H(s)的(-1，j0)点。

4.4奈奎斯特稳定判据是美国Bell实验室的奈奎斯特于1932年提出的；是以系统的开环幅相频率特性曲线判别系统稳定性的一种准则；数学基础是复变函数中的幅角原理，或称为映射定理。4.4.1

幅角原理对于复变函数式中，zi，pj

分别是F(s)的零点和极点。j

0zi

AImRe0F(A)pj[s][F(s)]s所在的平面为s平面，F(s)的值域构成的平面称为F(s)平面；F(s)是复变量s的单值函数；s平面上，函数F(s)的零点映射为F(s)平面的原点，函数F(s)的极点映射为F(s)平面的无限远点，除零、极点外的普通点映射为F(s)平面的有限远点。如果某一普通点在s平面移动形成一条封闭的曲线(曲线不经过任意零点和极点)，那么在F(s)平面会有一条包围原点的曲线与之对应。

柯西幅角原理【柯西幅角原理】s平面上不通过F(s)任一零点和极点的封闭曲线

s，包围复变函数F(s)的z个零点，p个极点。当s以顺时针方向沿着封闭曲线

s移动一周时，在F(s)平面映射的曲线

F将以逆时针方向绕原点转动N圈。N，z，p的关系是：N=p-z。j

0

sziAF(s)ImRe0

FB=F(A)pj[s][F(s)]N>0表示

F曲线逆时针运动，包围原点；N=0表示

F曲线逆时针运动，不包围原点；N<0表示

F曲线顺时针运动，包围原点。柯西幅角原理特别注意：关于N，z，p的关系，已知其中两个，可以求另外一个，如：p=N+z，或

z=p-N4.4.2奈奎斯特稳定性判据奈奎斯特当年巧妙运用了幅角原理得到了系统稳定性判据。设系统的结构图如图所示：G(s)R(s)C(s)﹣+H(s)构造辅助函数F(s)，F(s)的表达式：可以看出系统的开环传递函数G(s)H(s)与F(s)只相差常数1。假设：

系统的开环传递函数G(s)H(s)具有如下形式：于是，F(s)的表达式为：而系统的闭环传递函数的表达式为：实际上，辅助函数F(s)是闭环特征多项式和开环特征多项式之比。

F(s)的极点是开环传递函数的极点，零点是闭环传递函数的极点。应用幅角原理因为闭环特征方程所有的正实部根一定被包围整个s右半平面的曲线所包围；所以，构造一条半径为无穷大，顺时针包围s右半平面的封闭曲线

s，如图1所示，

它包围闭环特征方程所有的正实部根。（s的取值:

j+j

）该曲线，被称为奈氏轨线或奈氏路径。

0j

s+图1半径无穷大曲线

s应用幅角原理

0j

s+图1半径无穷大曲线

sReIm0

1图2F(s)和G(s)H(s)平面及其映射的曲线

FGH平面F平面

F假设s在

s曲线上顺时针移动，映射到F(s)平面包围原点的某条曲线

F，如图2所示。

F包围F平面的原点，由于F=1+GH，所以,

F曲线就是包围GH

平面的（-1,j0)点。而

F曲线，实际上，就是前面我们所绘制的幅相频率特性曲线G(j

)H(j

)曲线。j

0

sziAF(s)ImRe0

FB=F(A)pj[s][F(s)]

0j

s+ReIm0

1GH平面F平面

Fs平面幅角原理的图与幅角原理实际应用的图对照zp

0j

s+39综上所述，可以得到如下结论：F(j

)

曲线包围原点的圈数，也就是G(j

)H(j

)曲线包围(-1，j0)点的圈数N可以数出来，开环特征方程的正实部极点数p可以求出来，闭环特征方程式的正实部极点数z可由下面的式子计算出来：z=p-R。若z=0，系统是稳定的。若z

0，系统是不稳定的。

ReIm0

1GH平面F平面

Fs平面

奈氏判据：（一般意义下，开环传递函数无积分环节）

已知开环系统特征方程式在s右半平面根的个数为P，开环奈氏曲线（

:0）包围(1，j0)点的圈数为N，则闭环系统特征方程式在s右半平面根的个数为Z，且有

Z=P

N

若Z=0，闭环系统是稳定的。若Z

0，闭环系统是不稳定的。

试用奈氏判据判断系统的稳定性。41

例4-8

一单位反馈系统，其开环传函当

=0，Gk(j0)=-k

180

当

，Gk(j

)=0-90

ReIm0

=0

k

解：已知p=1频率特性

当

k<

1时，k>1，R=1

z=p

R=0∴闭环系统是稳定的。当

k>

1，k<1，R=0，z=p

R

=

1

闭环系统是不稳定的。42ReIm0

=0

k

143

+jε（2）开环有积分环节的系统

由于开环极点因子1/s

，既不在的s左半平面，也不在的s右半平面，开环系统临界稳定。在这种情况下，不能直接应用奈氏判据。

j

如果要应用奈氏判据，可把零根视为稳定根。因此，在数学上作如下处理：在s平面上的s=0邻域作一半径无穷小ε的半圆，绕过原点。-jε44

0j

s+ImRe0

=0+

增补线

=0--jε+jε45用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数，知p=0

（2）作开环极坐标图起点：Gk(j0)=

90

终点：Gk(j

)=0

270

与坐标轴交点：

例4-9已知系统的开环传函为

令虚部=0，得，

46系统的开环极坐标图如图示：R=

2

z=p

R=2∴闭环系统是不稳定的。ImRe0

=0+

增补线

1

=0-所作的增补线如虚线所示。47

(3)由奈氏判据判稳的实际方法用奈氏判据判断系统稳定性时，一般只须绘制

从0时的开环幅相曲线，然后按其包围(-1，j0)点的圈数R（逆时针为正，顺时针为负）和开环传递函数在s右半平面根的个数P，根据公式

Z

=P

2R来确定闭环特征方程正实部根的个数，如果Z=0，闭环系统是稳定的。否则，闭环系统是不稳定的。如果开环传递函数包含积分环节，且假定个数为N，则绘制开环极坐标图后，应从

=0+对应的点开始，补作一个半径为，逆时针方向旋转N90的大圆弧增补线，把它视为奈氏曲线的一部分。然后再利用奈氏判据来判断系统的稳定性。

例4-12已知系统的开环传函为48起点：Gk(j0)=270

终点：Gk(j

)=090

与坐标轴交点：

x=101/2

Re(

x)=0.1k

开环极坐标图如图用奈氏判据判断稳定性。解：（1）从开环传递函数知

p=1（2）作开环极坐标图49ImRe0

=0

增补线

10.1k(3)稳定性判别:因为是1型系统，需作增补线如图续上一页

当

0.1k>

1，k<10时，

R=-1/2，z=p

2R

=2

闭环系统是不稳定的。

当

0.1k<

1，k>10时，

R=1/2，z=p

2R

=0

闭环系统是稳定的。51ReIm0

1(+)(

)4.4.3伯德图上的稳定性判据

由图可知，幅相曲线包不包围(

1，j0)点。此结果也可以根据

增加时幅相曲线穿越实轴区间(

，

1)的次数决定(自下向上幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自上向下幅角增加，称为正穿越，用N+表示)。

R=N

N

自实轴区间（

，

1）开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴区间（

，

1）开始向上的穿越为半次负穿越。极坐标图与伯德图的对应关系ReIm0

1(+)(

)-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)53-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)对数频率稳定判据：一个反馈控制系统，其闭环特征方程正实部根个数Z，可以根据开环传递函数s右半平面极点数P和开环对数幅频特性为正值的所有频率范围内，对数相频特性曲线与

180

2k

线的正负穿越次数之差R=N

N

确定

Z=P

2RZ为零，闭环系统稳定；否则，不稳定。正负穿越的说明极坐标图（在实轴（

，

1）区间）自下向上幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自上向下幅角增加，称为正穿越，用N+表示自实轴开始向下的穿越称为半次正穿越，自实轴开始向上的穿越为半次负穿越。对数坐标图（在幅频值大于零的区间内）自上向下幅角减小，称为负穿越，用N

表示；自下向上幅角增加，称为正穿越，用N+表示自2kπ+π线开始向上的穿越称为半次正穿越，自2kπ+π线开始向下的穿越为半次负穿越。ReIm0

1(+)(

)-180

(

)/(°)0

L(

)/dB(

)(+)对数频率稳定性判据的特殊情况如果开环传递函数中含有积分环节，则做如下处理：在对数相频特性曲线

=0+的起始位置向上增补90°*N长度的曲线，这里N是积分环节数。计算穿越时，应把它考虑在内。

180

(

)/(°)0辅助线

c例4-13

一反馈控制系统其开环传递函数

56

解：由开环传递函数知P=0，作系统的开环对数频率特性曲线

180

(

)/(°)0

L(

)/dB1/T40dB/dec60dB/dec270辅助线用对数稳定判据判断系统稳定性。

显见N

=0，N

=1R=N

N

=

1Z=P

2R=2故系统不稳定。57G(s)H(s)有两个积分环节N

=2，故补画了0

到

180

的辅助线。58例4-14

一反馈控制系统其开环传递函数

解：①由开环传递函数知P=1。②作系统的开环对数频率特性曲线。

(

)=arctan0.01

90(180arctan

)

当

(

)=180

时，

g=10

，A(

g)=2L(

g)=20lg2③稳定性判别。G(s)H(s)有一个积分环节N

=1，故补画了

180

到

270的辅助线。

用对数稳定判据判断系统稳定性。59

L(

)/dB1040dB/dec

180

(

)/(°)027010020dB/dec20dB/dec90

g

c

160显然，

c

>

g，即A(

g)>1，N

=1，N

=1/2R=N

N

=

1/2Z=P

2R=0故系统稳定。本节结束第四章线性系统稳定性分析（III）主讲人：XXX电话：XXXXXXXXXXXemail:XXX@4.5开环频域指标63根据奈氏判据，系统开环幅相曲线临界点附近的形状，对闭环稳定性影响很大。

两个表征系统稳定程度的指标：相角裕度

和幅值裕度h。ReIm0-1ReIm0-1ReIm0-164

（1）幅值裕度h

：令相角为

180

时对应的频率为

g（相角穿越频率），频率为

g时对应的幅值A(

g)的倒数，定义为幅值裕度h

，即或20lgh=

20lgA(

g)

（2）相角裕度

：令幅频特性过零分贝时的频率为

c（幅值穿越频率），则定义相角裕度

为

=180+

(

c)65ReIm0-1A(

g)

h具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环增益增大到原来的h倍时，则系统就处于临界稳定了。

具有如下含义：如果系统是稳定的，那么系统的开环相频特性变化

角度时，则系统就处于临界稳定了。

c66

180

(

)/(°)0

L(

)/dB

c

gh(dB)

67

解：系统的开环传递函数为

c=3.16

L(

)/dB140dB/dec1020dB/dec60dB/dec3.16

例4-15

已知单位负反馈的最小相位系统，其开环对数幅频特性如图示，试求开环传递函数；计算系统的稳定裕度。k=c=3.16

(

)=arctan

180

2arctan0.1