山东省淄博市张店区第七中学2026-2027学年九年级（上）开学数学试卷（五四学制）(含部分答案)

第=page11页，共=sectionpages11页2026-2027学年山东省淄博市张店区第七中学九年级（上）开学数学试卷（五四学制）一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.cos60°的值等于（）A. B. C. D.2.若，则锐角α的度数为（）A.30° B.45° C.60° D.75°3.如图，Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=12，则下列三角函数表示正确的是（）A.sinA=

B.cosA=

C.tanA=

D.tanB=

4.在Rt△ABC中，∠C=90°，若△ABC的三边都放大2倍，则sinA的值（）A.缩小2倍 B.放大2倍 C.不变 D.无法确定5.在Rt△ABC中，∠ACB=90°，设∠A，∠B，∠C所对的边分别为a,b,c,则（）A.a=b•sinA B.b=c•cosB C.a=b•tanA D.a=b•tanB6.当锐角A＜45°时，cosA的值（）A.小于 B.大于 C.小于 D.大于7.已知α为锐角，且cos（α-20°）=，则α等于（）A.45° B.55° C.60° D.65°8.如图，把一个矩形卡片ABCD放在每格宽度为1的横格纸中，恰好四个顶点都在横格线上（横格线都相互平行）.已知，则AD的长为（）A.

B.4

C.5

D.9.已知△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C，在下列条件：①∠A+∠B=∠C；②∠A：∠B：∠C=1：2：3；③，；④；⑤中，能确定△ABC为直角三角形的条件有（）A.5个 B.4个 C.3个 D.2个10.某限高曲臂道路闸口如图所示，AB垂直地面l1于点A，BE与水平线l2的夹角为α（0°≤α≤90°），EF∥l1∥l2，若AB=1.4米，BE=2米，车辆的高度为h（单位：米），不考虑闸口与车辆的宽度：

①当α=90°时，h小于3.3米的车辆均可以通过该闸口；

②当α=45°时，h等于2.9米的车辆不可以通过该闸口；

③当α=60°时，h等于3.1米的车辆不可以通过该闸口.

则上述说法正确的个数为（）A.0个 B.1个 C.2个 D.3个二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分。11.如图，在△ABC中，∠C=90°，AB=5，BC=3，则tanA的值是

.

12.如图，在平面直角坐标系中，P是第一象限的点，其坐标为（6，y），且OP与x轴正半轴的夹角为α.若tanα=，则OP=

.

13.如图，菱形ABCD的对角线交于点O，过点A作AE⊥BC于点E，连接EO.若AC=6，BD=8，则cos∠AEO=

.

14.正方形ABCD的边长为2，点P在CD边所在直线上，若DP=1，则tan∠BPC的值是

.15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=67.5°，则tanB等于

.

三、解答题：本题共8小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。16.(1)tan260°-4sin45°cos45°(2)cos30°•cos60°-sin30°•tan45°17.(本小题7分)

在△ABC中，∠C=90°，b+c=24，∠A-∠B=30°，解这个直角三角形.18.(本小题10分)

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AD平分∠BAC，，BC=4.

（1）求AC的长；

（2）求tan∠BAD的值.19.(本小题10分)

如图，在正方形ABCD中，M是AD的中点，BE=3AE，试求sin∠ECM的值.20.(本小题10分)

如图，在正方形ABCD外作等腰直角三角形CDE，∠CED=90°，DE=CE，连接BE，求出tan∠DEB的值.21.(本小题10分)

亲爱的同学们，在我们进入高中以后，将还会学到三角函数公式：sin（α+β）=sinαcosβ+cosαsinβ，cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ

例：sin75°=sin（30°+45°）=sin30°cos45°+cos30°sin45°==

（1）试仿照例题，求出cos75°的准确值；

（2）我们知道：，试求出tan75°的准确值；

（3）根据所学知识，请你巧妙地构造一个合适的直角三角形，求出tan75°的准确值（要求分母有理化），和（2）中的结论进行比较．22.(本小题10分)

学习过三角函数，我们知道在直角三角形中，一个锐角的大小与两条边长的比值相互唯一确定，因此边长与角的大小之间可以相互转化.类似的，可以在等腰三角形中建立边角之间的联系，我们定义：等腰三角形中底边与腰的比叫做顶角的正对（sad）.如图，在△ABC中，AB=AC，顶角A的正对记作sadA，这时.容易知道一个角的大小与这个角的正对值也是相互唯一确定的.

根据上述对角的正对定义，解下列问题：

（1）sad60°的值为（______）；

A.

B.1

C.

D.2

（2）对于0°＜A＜180°，则∠A的正对值sadA的取值范围是______；

（3）已知，其中∠A为锐角，求sadA的值.23.(本小题10分)

综合与实践：

如图1，在边长为1的正方形网格中，连接格点D、N和E、C，DN和EC相交于点P，求tan∠CPN的值.

方法归纳：求一个锐角的三角函数值，我们往往需要找出（或构造出）一个直角三角形.观察发现问题中∠CPN不在直角三角形中，我们常常利用网格画平行线等方法解决此类问题，比如连接格点M，N，可得MN//EC，则∠DNM=∠CPN，连接DM，那么∠CPN就变换到Rt△DMN中.

数学思考：

（1）如图中tan∠CPN=______；

（2）如图2，M，N，P，Q四点均在边长为1的正方形网格的格点上，MN与PQ相交于点R，求cos∠MRQ的值；

深入探究：

（3）如图3，A，M，B，C，N五点均在边长为1的正方形网格的格点上，AN交CM的延长线于点P，求sin∠CPN的值.

1.【答案】D

2.【答案】B

3.【答案】C

4.【答案】C

5.【答案】C

6.【答案】A

7.【答案】D

8.【答案】C

9.【答案】B

10.【答案】C

11.【答案】

12.【答案】10

13.【答案】

14.【答案】2或

15.【答案】-1

16.【答案】【小题1】原式=

=3-2

=1【小题2】原式==

17.【答案】解：∵∠C=90°，

∴∠A+∠B=90°，

∵∠A-∠B=30°，

∴∠A=60°，∠B=30°，

∴c=2b,

∵b+c=24，

∴3b=24，

∴b=8，

∴c=16，

∴a=8

18.【答案】5

19.【答案】解：设AE=x，则BE=3x，BC=4x，AM=2x，CD=4x，

∴EC==5x，

EM=x，

CM=x，

∴EM2+CM2=CE2，

∴△CEM是直角三角形，

∴sin∠ECM=．

20.【答案】解：连接BD，如图所示：

∵△CDE是等腰直角三角形，∠CED=90°，DE=CE，

∴设DE=CE=a,∠CDE=45°，

由勾股定理得：CD===，

∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，

∴BC=CD=√2a,∠BDC=45°，

∴△BCD是直角三角形，

由勾股定理得：BD===2a,

∵∠BDE=∠BDC+∠CDE=90°，

∴△BDE是直角三角形，

在Rt△BDE中，tan∠DEB===2，

∴tan∠DEB的值为2．

21.【答案】解：（1）∵cos（α+β）=cosαcosβ-sinαsinβ，

∴cos75°=cos（30°+45°）=cos30°cos45°-sin30°sin45°，

=×-×=；

（2）∵，

∴tan75°===2+；

（3）如下图：在Rt△ABC中，BC=a，AB=2a,AC=a，延长CA到D，使A