圆函数期中试题及详细答案

圆函数期中试题及详细答案考试时间：______分钟总分：______分姓名：______一、选择题：本大题共5小题，每小题4分，共20分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.若复数z满足|z-2i|=1，则z在复平面内对应点构成的图形是(A)以(0,2)为圆心，1为半径的圆(B)以(0,-2)为圆心，1为半径的圆(C)以(2,0)为圆心，1为半径的圆(D)以(0,2)为圆心，2为半径的圆2.圆心在直线x-y=0上，且与直线x+2y-4=0相切，半径为√5的圆的方程是(A)(x-1)²+(y-1)²=5(B)(x+1)²+(y+1)²=5(C)(x-2)²+(y-2)²=5(D)(x+2)²+(y+2)²=53.将参数方程Ẋ=2cosθ,Ị=3sinθ(θ为参数)化为普通方程，正确的是(A)x²/4+y²/9=1(B)x²/9+y²/4=1(C)x²/4+y²/9=1(y≥0)(D)x²/9+y²/4=1(x≥0)4.若点P(a,b)在圆x²+y²=1上，则点Q(a²+b²,ab)在(A)圆x²+y²=1上(B)圆x²+y²=2上(C)圆x²+y²=4上(D)直线y=x上5.已知圆C₁:x²+y²-2x+4y-4=0与圆C₂:x²+y²+4x-6y+k=0相外切，则实数k的值是(A)25(B)20(C)15(D)10二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分。6.求过点(1,2)且与圆x²+y²-4x+6y-3=0相切的直线方程。7.圆心在直线y=x上，且经过点A(1,0)和点B(0,1)的圆的方程为________。8.参数方程Ẋ=t,Ị=t²-1(t为参数)表示的曲线的普通方程是________。9.设z=a+bi(a,b∈ℝ)是方程x²+2x+4=0的一个根，则|z|=________。三、解答题：本大题共5小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。10.(本小题满分10分)已知圆C的方程为x²+y²-4x+6y-3=0，直线L的方程为3x-y-k=0。(1)求圆C的圆心和半径；(2)若直线L与圆C相交于两点P和Q，且线段PQ的长为2√10，求实数k的值。11.(本小题满分10分)已知圆C₁:x²+y²-2x+4y-4=0和圆C₂:x²+y²+4x-6y+k=0。(1)若圆C₁与圆C₂外切，求实数k的值；(2)若圆C₁与圆C₂内切，求两圆的公共弦所在的直线方程。12.(本小题满分10分)利用参数方程证明：圆x²+y²=r²(r>0)上任一点(rcosθ,rsinθ)到直线xcosα+ysinα=p的距离等于|p|。13.(本小题满分12分)已知复数z=cosθ+(sinθ+1)i(θ为实数)。(1)若z在复平面内对应点位于直线y=x上，求θ的值；(2)若|z-i|取得最小值，求θ的值，并求此时z的模。14.(本小题满分8分)求圆x²+y²=4与圆(x-3)²+(y-4)²=1的公共弦的长。试卷答案一、选择题：1.(A)2.(C)3.(A)4.(B)5.(D)二、填空题：6.2x-y-3=0或4x+3y-10=07.x²+y²-x-y=08.y=x²-19.√3三、解答题：10.解：(1)圆C:x²+y²-4x+6y-3=0可化为(x-2)²+(y+3)²=16。故圆心为(2,-3)，半径r=4。(2)圆心(2,-3)到直线3x-y-k=0的距离d=|3*2-(-3)-k|/√(3²+(-1)²)=|9-k|/√10。由垂径定理，d²+(PQ/2)²=r²，即(√10)²+(√10)²=4²。解得d=2√5。故|9-k|/√10=2√5，解得|9-k|=20。所以k=29或k=-11。11.解：(1)圆C₁:x²+y²-2x+4y-4=0可化为(x-1)²+(y+2)²=9。圆心为(1,-2)，半径r₁=3。圆C₂:x²+y²+4x-6y+k=0可化为(x+2)²+(y-3)²=13-k。圆心为(-2,3)，半径r₂=√(13-k)。两圆外切，则|C₁C₂|=r₁+r₂。|C₁C₂|=√((1-(-2))²+(-2-3)²)=√(3²+(-5)²)=√34。故√34=3+√(13-k)。解得√(13-k)=√34-3。两边平方，得13-k=34-6√34+9。解得k=10-6√34。（注：选项中无此值，可能题目或选项有误。按标准解法步骤，此处解得k=10-6√34。）(2)两圆内切，则|C₁C₂|=|r₁-r₂|。√34=|3-√(13-k)|。解得3-√(13-k)=√34或3-√(13-k)=-√34。当3-√(13-k)=√34，无解。当3-√(13-k)=-√34，解得√(13-k)=3+√34。两边平方，得13-k=9+6√34+34。解得k=-50+6√34。（注：选项中无此值，可能题目或选项有误。按标准解法步骤，此处解得k=-50+6√34。）公共弦方程为C₁-C₂=0，即(-2x-6y+k)-(x²+y²+4x-6y+k)=0。整理得x²+y²+6x=0。即(x+3)²+y²=9。故公共弦方程为x²+y²+6x=0。12.证明：圆上点P(rcosθ,rsinθ)到直线xcosα+ysinα=p的距离d=|rcosθ*cosα+rsinθ*sinα-p|/√(cos²α+sin²α)。=|r(cosθcosα+sinθsinα)-p|/1=|rcos(θ-α)-p|。因为|rcos(θ-α)-p|的最小值为0（当且仅当rcos(θ-α)=p时取到）。所以距离的最小值为0。当p≥0时，|p|=p，最小距离为0满足。当p<0时，|p|=-p，最小距离为0满足。故d的最小值为|p|。即圆上点(rcosθ,rsinθ)到直线xcosα+ysinα=p的距离等于|p|。13.解：(1)z=cosθ+(sinθ+1)i，对应点为(cosθ,sinθ+1)。若点在直线y=x上，则sinθ+1=cosθ。即sinθ-cosθ=-1。√2sin(θ-π/4)=-1。sin(θ-π/4)=-1/√2。θ-π/4=-π/4+2kπ或θ-π/4=3π/4+2kπ(k∈ℤ)。θ=2kπ或θ=π+2kπ(k∈ℤ)。(2)|z-i|=|cosθ+(sinθ+1-1)i|=|cosθ+sinθ*i|=√(cos²θ+sin²θ)=√1=1。|z-i|恒为1，其最小值为1。此时z的模|z|=√(cos²θ+(sinθ+1)²)=√(cos²θ+sin²θ+2sinθ+1)=√(1+2sinθ+1)=√(2+2sinθ)=√2(1+sinθ)。要使|z|最小，需sinθ最小。sinθ的最小值为-1，此时sinθ=-1。代入θ=2kπ或θ=π+2kπ(k∈ℤ)。当θ=2kπ，sinθ=0，不满足。当θ=π+2kπ，sinθ=-1。此时|z|=√2(1+(-1))=√2*0=0。故此时z=cos(π+2kπ)+(-1+1)i=-1+0i=-1。|z|=0。（注：此处计算发现矛盾，|z|不可能为0。重新审视|z-i|=1，即|cosθ+sinθ*i|=1。则√(cos²θ+sin²θ)=1，即1=1，恒成立。所以|z-i|的最小值恒为1，对应的z模为√2(1+sinθ)，无法再取最小值。题目可能存在问题。）14.解：圆C₁:x²+y²=4，圆心O₁(0,