湖北省中职高考数学总复习与同步练总复习分册

第1章集合中职高考数学总复习与同步练考纲要求知识框架目录CONTENTS考点1集合与元素考点2集合之间的关系考点3集合的运算考点4充分必要条件01集合与元素1.1集合的概念1）集合集合是由某些确定的对象组成的整体，简称集．集合常用大写英文字母表示，如A，B，C，∙∙∙．2）元素组成集合的对象称为这个集合的元素，常用小写英文字母表示，如a，b，c，∙∙∙．集合中元素的特征有：①确定性；②互异性；③无序性．

3）元素与集合的关系如果a是集合A的元素，就称a属于A，记作a∈A；如果a不是集合A的元素，就称a

不属于A，记作a∉A

．集合的运算1.1集合的概念4）集合的分类按所含元素个数的不同，可将集合分为有限集和无限集，其中有限集包括空集，它们的定义如表1-1所示．表1-1①

ƹ{0}

；②

区分{0}和

0，{0}表示集合，0表示元素．易错警示1.1集合的概念5）常用数集及其记法常用的数集主要包括自然数集、整数集、正整数集、有理数集和实数集，如表1-2所示．表1-21.2集合的表示方法集合的表示法主要有两种，分别为列举法和描述法，两种方法的定义和使用注意事项如表1-3所示．表1-3典例精讲例1

下列对象能否组成一个集合？（1）所有短发的女生；

（2）1～10以内的所有奇数；（3）非常大的数；

（4）方程x2

−2

=0的所有实数根；（5）不等式x−7>0的所有解．解析（1）由于“短发”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合．（2）由于1～10以内的所有奇数包括1，3，5，7，9五个数，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．（3）由于“非常大的数”没有具体的标准，表述的对象是不确定的，所以不能构成一个集合．（5）解不等式，

x−7>0可得x>7，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．（4）方程x2

−2

=0的所有实数根为-和，它们是确定的对象，因此可以构成一个集合．【名师点睛】

本题考查集合的概念．典例精讲变式训练1

以下对象能构成集合的是_________．（1）某校2022年招收的高个子学生；（2）著名的数学家；（3）与0接近的全体实数；（4）在直角坐标平面内，第一象限内的所有点．典例精讲例2

设集合，

a=4，则下列表述中正确的是（）．A．

a∈A

B．

a⊆A

C．a∉AD．{a}∈A解析元素a与集合A

的关系应是属于与不属于，因为a=4<，所以a∈A，故选A．变式训练2

设集合M={x|x≤3}，a=π，则（）．A．a⊆M

B．a∈M

C．{a}∈MD．a∉M【名师点睛】

本题考查元素与集合的关系及其符号表示．典例精讲例3

若，求实数2∈{−1，0，a2−a}的值a．解析因为2∈{−1，0，a2−a}，所以a2−a=2，解得a1=2，a2=−1．故实数a的值为2或−1．变式训练3

集合A={0，3，a2+a−5，−1}，若1∈A，求实数a的值．【名师点睛】

本题考查根据元素与集合之间的关系计算集合中的未知数a，但应注意要将计算结果代入集合中进行检验，观察是否满足集合中元素的互异性特征，即集合中的任何两个元素必不相同．典例精讲例4

用列举法表示下列集合．（1）英文单词good中的字母组成的集合；（2）方程的解集；x2−6x+8=0（3）大于且−7小于7的偶数组成的集合．解析（1）{g，o，d}；（2）{4，2}；（3）{−6，−4，−2，0，2，4，6}．

变式训练4

用列举法表示下列集合．（1）{x|(x2−3x+2)(x+1)=0}；（2）{x|−4<x<2，

x∈Z}；（3）{(x，y)|x+2y=3，x∈N，y∈N}．【名师点睛】

本题考查集合列举法的运用，用列举法表示集合时，需先确定元素，同时需注意元素的互异性特征．典例精讲例5

用描述法表示大于3的所有奇数组成的集合．解析该集合中元素的共同属性可以描述为x>3且x=2k+1(k∈

Z)，所以这个集合可以表示为{x|x>3且x=2k+1，k∈

Z}．

【名师点睛】

本题考查集合描述法的运用．运用描述法表示集合时，应注意以下几点：（1）用于描述元素特征性质的语句要力求简明、准确，不产生歧义；多特征描述时，应当准确使用“且”“或”等关联词．（2）所有描述的内容都要写在花括号内．（3）在不引起混淆的情况下，还可用描述法的简略形式表示集合，如等．{}正整数{}实数敲黑板典例精讲变式训练5

用描述法表示下列集合．（1）不超过6的整数构成的集合；（2）不等式组的解集；（3）不小于2的全体实数．解题通法若集合中的元素较少，通常可用列举法表示；若集合中的元素较多或无限，则通常用描述法表示，但如果这些元素存在一定的规律，在不发生误解的情况下，也可以用列举法表示．02集合之间的关系知识盘点集合之间的关系主要包括子集、真子集、相等3种，各类关系的定义和性质如表1-4所示．表1-4知识盘点表1-4（续）典例精讲例1

设集合A={a

，b

，c}，试写出集合A的子集、真子集和非空真子集．解析

由集合A

可得其子集为Ø，{a}，{b}，{c}，{a

，b}，{a

，c}，{b

，c}，{a

，b

，c}；真子集为Ø，{a}，{b}，{c}，{a

，b}，{a

，c}，{b

，c}；非空真子集为{a}，{b}，{c}，{a

，b}，{a

，c}，{b

，c}．变式训练1

一个集合的非空子集有63个，则这个集合的非空真子集的个数为_______．【名师点睛】集合A

含有3个元素，所以该集合的子集有23=8个，真子集有23-1=7个，非空真子集有23-2=6个．典例精讲解析集合M

应是集合A

与集合C={3，4，5，∙∙∙，9，10}的非空子集的并集，所以求集合M

的个数即为求集合C={3，4，5，∙∙∙，9，10}的非空子集的个数．因为集合C

的元素个数为8，所以它的非空子集个数为28-1=255，故选B．例2

已知集合A={1，2}，B={1，2，3，∙∙∙，9，10}，集合M

满足

．这样的集合M

共有（ ）．A．7个B．255个C．256个D．254个变式训练2

满足

的集合A

的个数为（ ）．A．1B．2C．3 D．4

【名师点睛】根据子集和真子集的定义，可得集合M

的个数即为集合

的非空子集的个数．典例精讲解析

A选项中π≠3.1415926，集合A

和B

不相等；B选项中集合A

和B

的元素个数不同，故两集合不相等；D选项中，集合A

和B

中的元素不同，即两个坐标点不同，故两集合不相等C选项中集合A和B

的元素完全相同，两集合相等，故选C．

【名师点睛】判断两个集合是否相同，就看它们的元素是否相同，与元素排列顺序无关．例3

以下选项中，A

和B

表示同一个集合的是（ ）．A．A={π}，B={3.1415926}B．A={1，0}，B={(1，0)}C．A={-1，0，-2，3}，B={-2，-1，0，3}D．A={(2，6)}，B={(6，2)}典例精讲变式训练3

判断下列各组集合之间的关系．（1）P={x|1<x<4，x∈N}，Q={x|x2-5x+6=0}；（2）P={x|x

是矩形}，Q={x|x

是平行四边形}；（3）P={x|2<x≤

8}，Q={x|3<x<4}；（4）P={x|x=5m

，m∈N}，Q={x|x=10n

，n∈N}．典例精讲【名师点睛】

注意要分类讨论；空集是任何集合的子集．例4

若集合A={x|2x2-x-6=0}，B={x|mx+1=0}，B⊆

A

，求m

的值．解析由已知得．（1）当m≠0时，．由得或，解得或．（2）当m=0时，

B=∅，此时B⊆A

，符合题意．综上所述，

m=0或或．变式训练4

设集合A={x|x2-x-6=0}，B={x|x2+3x-a=0}，B

⊆

A

，求实数a

的取值范围．典例精讲【名师点睛】

如图1-1所示，可利用数轴比较两个集合的端点，列出不等式，进而求解未知数的取值范围．例5

已知A={x|-1<x<2}，B={x|a-1<x<a+1}，若B

⊆

A

，求a

的取值范围．解析因为a+1>a-1，所以B

不是空集．因为B

⊆

A

，所以有

，解得0≤a≤„1．图1-1典例精讲解题通法

对

于

此类和实数有关的不等式问题，可借助数轴，将集合语言转化为图形语言，观察图形进而求解实数的值或取值范围．变式训练5

已知A={x|1<x<5}，B={x|2-a<x<3a+1}，若B

⊆

A

，求实数a

的取值范围．03集合的运算3.1交集集合的交集的定义、Venn图和性质如表1-5所示．表1-53.2并集集合的并集的定义、Venn图和性质如表1-6所示．3.3补集1）全集的定义在研究某些集合时，这些集合常常是一个给定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，一般用U来表示．在研究数集时，经常把实数集R作为全集．易错警示全集是一个相对的概念，在不同的情况下，全集的概念也不同．3.3补集2）集合的补集集合的补集的定义、Venn图和性质如表1-7所示．典例精讲例1

设全集U={-3，-2，-1，0，1，2，3}，集合A={-1，0，1，2}，集合B={-3，0，2，3}，则

=（ ）．

A．{-3，3}B．{0，2}C．{-1，1}D．{-3，0，1}解析因为，，所以，故选C．【名师点睛】

先求，再求，计算时需注意所求集合中的元素不要遗漏或重复．变式训练1

设全集U={x|1≤x≤7，x

∈

Z}，集合A={3，5，7}，B={1，2，5，6}，则下列关系式中错误的有（ ）．①；②

；③；④．A．0个 B．1个 C．2个 D．3个典例精讲例2

已知A={(x

，y)|2x-y+7=0}，B={(x

，y)|x+y+2=0}，求A∩

B

．【名师点睛】

掌握描述法表示集合的交集的求法．变式训练2

已知A={(x

，y)|x2+y2=1}，B={(x

，y)|y=x}，求A

∩B

．解析由题意得集合A

，B

的交集就是二元一次方程组

的解集．解方程组得

，所以A∩B={(-3，1)}．典例精讲例3

设集合M={x|0≤x≤2}，集合N={x|x2-2x-3<0}，求解以下各式．（1）

； （2）

； （3）

；（4）

； （5）

； （6）

；解析由已知得．（1）（2）（3）（4）（5）（6）典例精讲【名师点睛】

还可先解不等式求出集合N，然后利用如图1-2所示的数轴解题，方便简单，直观明了．图1-2解题通法进行集合的交、并、补计算的步骤：①根据元素满足的条件解方程或不等式，将集合化简；②利用交集、并集、补集的定义进行计算，必要时可借助数轴和Venn图，方便求解．变式训练3

已知，，求解以下各式．（1）；（2）；（3）；（4）．典例精讲例4

已知集合，，若，则实数m的取值范围是（）．A．B．C．D．解析集合

，在数轴上画出集合B，如图1-3所示．图1-3由图1-3可得，解得．故选C．典例精讲【名师点睛】

先化简集合B，再用数轴表示所给集合，根据端点间的关系列出不等式进行求解，最后将结果代入验证端点能否取到．变式训练4

已知集合，，且，求实a数的取值范围．典例精讲例5

已知A={x|x2-px-2=0}，B={x|x2+qx+r=0}，且A∪B={-2，1，5}，A∩

B={-2}，求p

，q

，r

的值．解析因为A

∩

B={-2}，所以由交集的定义可得-2是方程x2-px-2=0和x2+qx+r=0的根，将x=-2代入方程x2-px-2=0，解得p=-1，进而解得方程x2-px-2=0的另一个根为x=1．又因为A∪B={-2，1，5}，所以有B={-2，5}，将x1=-2，x2=5代入方程x2+qx+r=0得

【名师点睛】

由交集的定义可得−2既在集合A中，又在集合B中，即−2是两个一元二次方程的解，将−2代入集合的方程中A可得的值p，再由并集的定义得出集合B中方程的另一个根，进而求出q，r的值．变式训练5

已知集合A={x|-2<x<-1或x>0}，B={x|x2+ax+b

≤0}，若A∩B={x|0<x

≤2}，A∪B={x|x>-2}，求实数a

，b

的值．04充分必要条件4.1命题能够唯一判定真假的陈述句称为命题，常用小写字母p

，q

，r

，∙∙∙表示．命题有真有假，正确的称为真命题，错误的称为假命题．命题由条件和结论两部分组成．4.2充分必要条件的定义设条件p

对应的集合为P

，结论q

对应的集合为Q

，则充分必要条件的定义、集合表示、记法与读法如表1-8所示．表1-8与充分必要条件等价的词语有“当且仅当”“等价于”“有且只有”“反过来也成立”等．敲黑板4.3充分必要条件的传递性若p⇒q，

q⇒r，则p⇒r.典例精讲例1

将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”和“既不充分也不必要条件”填入下列空格中．（1）“x

是实数”是“x

是有理数”的________；（2）“x

是正方形”是“x

是矩形”的________；（3）“

A⊆B”是“

A

∩B

=A

”的

________；（4）“

x

=0”的

________是“

x2

+x

=0”．解析（1）x

是有理数时必然也是实数，但x

是实数时不一定是有理数，故“x

是实数”是“x

是有理数”的必要不充分条件．（2）正方形一定是矩形，矩形不一定是正方形，故“x

是正方形”是“x

是矩形”的充分不必要条件．（3）因为A

⊆

B

⇔

A

∩B=A

，故“A

⊆B

”是“A

∩B=A

”的充分必要条件．典例精讲（4）x=0能推出x2+x=0，但x2+x=0不一定能推出x=0，所以“x2+x=0”是“x=0”

的必要不充分条件，即“x=0”的必要不充分条件是“x2+x=0”．【名师点睛】运用充分、必要和充分必要条件的定义进行条件和结论的正推和反推，进而作出判断．

充

分

、必要条件的判断方法有两种：①定义法．先分别确定条件p

和结论q

，再尝试由条件p

推理结论q

，由结论q

推理条件p

，最后确定条件p

和结论q

的关系；②集合法．根据条件p

和结论q

成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．敲黑板典例精讲

充

分

、必要条件的判断方法有两种：①定义法．先分别确定条件p

和结论q

，再尝试由条件p

推理结论q

，由结论q

推理条件p

，最后确定条件p

和结论q

的关系；②集合法．根据条件p

和结论q

成立时对应的集合之间的包含关系进行判断．敲黑板变式训练1

将“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充分必要条件”和“既不充分也不必要条件”填入下列空格中．（1）“x=4”是“(x-4)2=0”的________；（2）“

a

>0”是“

”的

________；（3）“x2

=49”是“

x

-7=0”的

________；（4）“a

是4的约数”是“

a

是8的约数”的

________．典例精讲例2

已知集合A

={x|-3≤x≤1}，集合B={x|x≤a

-1}，若x

∈A

是x

∈B

的充分条件，求实数a的取值范围．解析因为x

∈

A

是x

∈

B

的充分条件，所以A

⊆

B

，所以a-1≥1，解得a

≥2，故实数a

的取值范围为[2，+∞)．【名师点睛】

理解充分条件的定义，根据命题中条件与结论对应的集合之间的包含关系列出不等式，进而求解参数的取值范围．变式训练2

已知p

：-2≤

x≤5，q

：1-m≤

x≤1+m2

，且p

是q

的充分不必要条件，求实数m

的取值范围．谢谢第2章不等式中职高考数学总复习与同步练考纲要求知识框架目录CONTENTS考点1不等式的基本性质与区间考点2一元二次不等式考点3含绝对值的不等式01不等式的基本性质与区间1.1比较实数的大小设a，

b∈R

则有，

a>b⇔a−b>0，

a<b⇔a−b<0，

a=b⇔a−b=0，．这种作差比较两个实数（或代数式）大小的方法称为作差比较法．1.2不等式的性质不等式的性质包括加法法则、乘法法则、传递性及其推论，如表2–1所示．不等式的性质表2–11.3区间由数轴上两点间的所有实数所组成的集合称为区间，这两个点称为区间端点．设a，b

∈R

且a<b

，则各种区间表示的集合如表2–2所示．表2–21.3区间表2–2（续）

（1）我们常用区间来表示数集，特别是不等式的解集．另外，利用不等式表示的集合，也常用区间来表示．（2）实数集R也是无穷区间，记作(−∞,+∞)．敲黑板典例精讲例1

当时，判断与的大小．解析因为，且当时，恒成立，所以．【名师点睛】对于用字母表示的两个实数，一般通过判断它们之间差的符号来比较它们的大小．解题通法作差比较法比较实数（或代数式）大小的步骤：作差→变形（可利用因式分解、配方法，把差写成积的形式或配成完全平方式）→判断符号．变式训练1

设a

，b

为两个不相等的实数，判断ab–a2

与b2–ab

的大小．典例精讲解析选项A缺少对a

，b

，c

，d

同为正数的限制；选项B缺少对c

为正数的限制；选项C要成立，还要求a

，b

同号；选项D满足同向不等式可加性，故正确选项为D．例2

下列命题中，正确的是（）．A．若a>b

，c>d

，则ac>bd

B．若ac>bc

，则a>b

C．若a>b，则D．若a>b

，

c>d，则a+c>b+d

【名师点睛】本题考查不等式的基本性质及其推论．易错警示a>b⇒不一定成立，需分情况讨论：①若a>b，ab>0，则；②若a>b，ab<0，则；③若a>b，ab=0，则无意义．典例精讲变式训练2

下列各选项中正确的是（）．A．

a>b>0且d>c>0⇒

B．a>b⇒ac2>bc2C．

a>b

⇐

ac2>bc2D．a>b且c>d

⇐ac>bd在判断不等式是否成立时，部分情况下可使用特殊值法，即根据条件取特殊值代入不等式进行验证．敲黑板典例精讲解析由集合A

，B

可得，A

∩B=[1，3)，A∪B=(0，5)．例3

已知集合A=(0，3)，B=[1，5)，求A

∩B

，A

∪

B

．【名师点睛】用区间表示集合的交集、并集和补集时，可通过数形结合准确表示集合．易错警示在使用区间表示集合时，要特别注意判断区间端点能否取到．变式训练3

设全集为R

，集合A=[4，+∞)，集合B=(2，7)，求：（1）A

∩B

，A∪B

； （2）； （3）

．典例精讲例4

设全集U=R

，集合A={x|(x+4)(2–x)>0}，B={x|2x–1>1–}，则A∪B=______，=_________．（用区间表示）解析

解不等式可得，所以，由全集U=R可得，所以．

【名师点睛】

本题考查不等式的求解、集合的运算及区间的表示方法．变式训练4

不等式组的解集用区间表示为_________．典例精讲【名师点睛】

对于此类求函数定义域的问题，应当全面考虑，重点需注意区间端点的取舍．例5

函数的定义域用区间表示为__________________．解析要使函数有意义，则其分母，解得．因此，函数的定义域为．变式训练5函数的定义域是（）．A．[−2，2]B．(2，+∞)C．(2，3)∪(3，+∞)D．[−2，2]∪(3，+∞)02一元二次不等式解一元一次不等式（组）1）求解一元一次不等式任何一元一次不等式最后都能化为形如ax>b

（

或ax≥b

）或ax<b（或ax≤b

）的不等式（a≠0），然后进行求解．如表2–3所示为以ax>b

(a≠0)为例的一元一次不等式的解集．2.1表2–3解一元一次不等式（组）2）求解一元一次不等式组求解一元一次不等式组的方法有两种：①图象法．分别求出每一个不等式的解集，然后利用数轴找出它们的公共部分．②口诀法．以两个一元一次不等式组成的不等式组为例，其解集如表2–4所示，其中a<b

．2.1表2–4解一元二次不等式1）一元二次不等式的含义含有一个未知数，并且未知数的最高次数为2的不等式，称为一元二次不等式．其一般形式为ax2+bx+c>0(a

≠0)2.22）求解一元二次不等式（1）利用因式分解法求解．同解变形后的判断依据是：一元二次不等式的解法具体步骤①将一元二次不等式的右端化为0；②将左端进行因式分解，并利用以上同解变形后的判断依据，转化为两个一次不等式；③求出解集．解一元二次不等式（2）利用一元二次函数的性质求解．当a>0时，函数f(x)=

ax2+bx+c的图象、方程ax2+bx+c=0的解及不等式ax2+bx+c>0的解集之间的关系如表2–5所示．2.2表2–5解一元二次不等式2.2表2–5（续）

解一元二次不等式2.2（1）对于a<0的情况，根据不等式的性质，可先将其转化为a>0的情况，得到与原不等式同解的不等式，再按步骤进行求解．（2）当a>0且Δ>0时，也可以先求出对应的一元二次方程的两个实数解，再结合口诀“大于取两边，小于取中间”得出解集．敲黑板典例精讲例1

解关于x的不等式3–kx<–5(k≠0)．解析原不等式3–kx<–5(k≠0)移项后得kx>8

(k≠0)．【名师点睛】

本题考查了分类讨论的数学思想．不等式移项后，需分别讨论k>0和k<0两种情况的解集．（1）当时k>0，，即不等式的解集是．（1）当时k<0，，即不等式的解集是．典例精讲解题通法解一元一次不等式的步骤为：去分母→去括号→移项→合并同类项（化为ax>b

或ax<b的形式）→将未知数的系数化为1（若系数为负，则不等式需变号）．变式训练1

解关于x的不等式．典例精讲

【名师点睛】

先按照解一元一次不等式的步骤分别求出每一个不等式的解集，然后根据“大小、小大取中间”的口诀求其交集，即为原不等式组的解集．例2

解不等式组

解析由原不等式组解得所以原不等式组的解集为[2，3)．变式训练2

解不等式组典例精讲

【名师点睛】

本题可利用一元二次函数的性质及一元二次不等式的解集公式进行求解．例3解不等式5x–3x2–2>0．解析

5x–3x2–2>0变形得3x2–5x+2<0．因为方程3x2–5x+2=0中Δ=(–5)2

–4×3×2=1>0，所以方程3x2–5x+2=0有两个实数解，求得它们分别是，x2=1，所以不等式3x2–5x+2<0的解集为，即原不等式的解集为．典例精讲解题通法解一元二次不等式的步骤：①化：把不等式化为a>0且右端为0的形式；②判：计算对应一元二次方程的判别式Δ

，判断方程是否有实数解；③求：求出一元二次方程的实数解(Δ≥0)；④写：利用口诀“大于取两边，小于取中间”写出不等式的解集． 变式训练3

解不等式(x+4)(x–3)≤0.典例精讲

【名师点睛】

题中一元二次不等式的解集的区间端点取值即为对应的一元二次方程的两个实数解．例4已知一元二次不等式ax2+bx+2>0的解集是，则a–b=

_________．解析由不等式ax2+bx+2>0的解集为可知，方程ax2+bx+2=0的两个实数解为和．由韦达定理得解得a=–12，b=–2，所以a–b=–12–(–2)=–10．变式训练4若不等式x2–ax–b<0的解集为(2，3)，求不等式bx2–ax–1>0的解集．典例精讲【名师点睛】解此题的关键是根据a<0来判断a

与2a

的大小，进而求解不等式．例5当a<0时，不等式x2-3ax+2a2<0的解集是 ．解析将原不等式x2-3ax+2a2<0进行因式分解后得(x-a)(x-2a)<0．因为a<0，所以a>2a

，根据同解变形后的判断依据，可得不等式(x-a)(x-2a)<0的解集为(2a

，a)，即原不等式的解集为(2a

，a)．变式训练5

若a<b

，求不等式(x-a)(b-x)>0的解集．易错警示求解含参数的不等式时，不仅要判断两个实数解的大小关系，还需注意二次项系数的正负，若二次项系数为负，需先将其化为二次项系数为正的不等式，以便正确写出解集．典例精讲

例6

关于x

的不等式kx2-kx+1>0对任意实数都成立，求实数k的取值范围．解析（1）当k=0时，上述不等式变形为1>0，x

取任意实数时都成立．（2）当k

≠0时，由题意得，一元二次函数y=kx2-kx+1的图象应该是如图2-1所示的形式．此时，有解得0<k<4．所以，k的取值范围是0≤k<4．图2-1【名师点睛】

（1）因为x2

项的系数含有参数k

，所以需要分别讨论k=0和k

≠0两种情况．（2）当k

≠0时，先大致确定对应一元二次函数的图象，再根据图象得出k

与Δ

的范围，进而求解．典例精讲解题通法对于在R上恒成立的含参一元二次不等式，要求解参数的取值范围，首先，若二次项系数为参数，需分类讨论参数为零、不为零两种情况；其次，若二次项系数不为零，则可以利用图象法，先确定对应一元二次函数的大致图象，再结合一元二次函数的性质将图象特点转化为数学语言；最后综合所有情况，得出结论．变式训练6

已知不等式kx2+kx-3≥…0的解集是空集，则实数k

的取值范围是________．03含绝对值的不等式含绝对值的不等式的定义绝对值内含有未知数的不等式称为含绝对值的不等式．3.1解含绝对值的不等式解含绝对值的不等式的总体思想是将含绝对值的不等式转化为不含绝对值的不等式，其解集如表2-6所示．3.2表2-6解含绝对值的不等式3.2对于|ax+b|>c(c>0)与|ax+b|<c(c>0)的不等式，可以通过“变量替换”的方法求解，就是用单一的字母表示一个代数式，从而使一些数学问题化难为易，化繁为简．例如，不等式|ax+b|>c(c>0)中，设m=ax+b

，则原不等式可化为|m|>c

，其解集为m>c

或m<-c

，即ax+b>c

或ax+b<-c

，进而求出原不等式的解集．敲黑板典例精讲【名师点睛】

|x|的几何意义是指数轴上表示实数x

的点到原点的距离，因此有|x|≥0．例1解不等式|x+1|≤„-2．解析由绝对值的几何意义可得|x+1|≥0，所以不等式|x+1|≤−2的解集是∅

．变式训练1解不等式|x+1|≥−2．典例精讲【名师点睛】题中绝对值内x的系数是负的，需先化负为正，再利用变量替换的思想解不等式，变量替换的书写过程可以省略．例2解不等式|3–2x|≥-2．解析

|3-2x|<5变形为|2x–3|<5，展开得-5<2x-3<5，变形得-2<2x<8，解得-1<x<4，所以不等式|3-2x|<5的解集是(-1，4)．变式训练2

解不等式|8-x|≥3．解题通法解含绝对值的不等式，既可以通过“变量替换”的方法求解，也可以运用“大于取两边，小于取中间”的规律去掉绝对值符号，进而转化为一元一次不等式（组）再进行求解．典例精讲【名师点睛】可利用变量替换的思想，先解一元二次不等式，求出|x|的范围，再进一步求解出x

的范围．例3解不等式x2-5|x|＋6≤0．解析不等式x2-5|x|＋6≤0可变形为|x|2-5|x|+6≤0，解得2≤|x|≤3．进一步求解可得-3≤

x≤-2或2≤x≤3．所以，原不等式的解集为[-3，-2]∪[2，3]．变式训练3

解不等式|x|+x2≥0．解含绝对值的不等式时需注意以下几点．（1）要特别注意“且”和“或”的区别和联系．（2）不等式（组）的解集通常用区间表示．敲黑板典例精讲例4解不等式2≤|3x-

2|≤5．解析（解法一）原不等式可变形为即进一步得解得-1<x≤0或，所以原不等式的解集为．（解法二）利用绝对值的几何意义求解．原不等式⇔2

≤3x-2<5或-5<3x-2≤2，解得-1<x≤0或，所以原不等式的解集为．典例精讲【名师点睛】

对于此类含绝对值的不等式（组），运用绝对值的几何意义进行求解的方法更为简便．变式训练4

解不等式．解题通法求解绝对值不等式时，不等式的性质同样适用．典例精讲【名师点睛】

对于此类含参数的绝对值不等式，可利用待定系数法进行求解．例5

若不等式|x-a|<b

的解集是(-2，8)，求a

，b

的值．解析原不等式变形为-b<x-a<b

，即a-b<x<a+b

．因为原不等式的解集为(-2，8)，所以有变式训练5

已知a>0，且不等式|3x-2|<a

的解集为，求a

的值．典例精讲

【名师点睛】

此题是集合与不等式的综合题，解题时应熟练掌握不等式的性质和解不等式的方法，必要时也可利用数轴实现数形结合．解析不等式|x-a|≤1可变形为-1≤x-a≤1，解得a-1≤

x≤a+1，可得集合A={x|a-1≤

x≤a+1}．又因为B={x|x-3>2}={x|x>5}，且A

∩B=A

，所以a-1≥5，解得a≥6，所以实数a

的取值范围为[6，+∞)．变式训练6

设A={x|x-a|≤2}，B={x|x2-2x-8≥0}，且A

∩B=∅

，求实数a

的取值范围．例6 已知，且A

∩B=A

，求实数a

的取值范围．谢谢第3章函数中职高考数学总复习与同步练考纲要求知识框架目录CONTENTS考点1函数的概念及表示法考点2函数的性质考点3一元二次函数及函数的实际应用01函数的概念及表示法1.1函数的概念函数的概念和各要素的具体内容如表3-1所示．表3-1定义域与对应法则是函数定义中的两个要素，它们一旦确定，函数的值域也就随之确定了．敲黑板1.1函数的概念常用函数的值域如表3-2所示．表3-21.2函数的表示法函数的表示法有3种，包括解析法、列表法和图象法，如表3-3所示．表3-3函数的3种表示法在表示函数时各有特点，在实际应用中要根据具体情况合理选用．其中，在运用解析法表示函数时，还必须注明函数的定义域．敲黑板典例精讲【名师点睛】

求函数的定义域，就是将函数解析式中自变量x

需要满足的所有条件转化为相应的不等式（组），这个不等式（组）的解集即为函数的定义域．例1

求下列函数的定义域：（1）；（2）．解析（1）要使函数解析式有意义，应满足解得故函数的定义域为．（2）函数，要使函数f(x)有意义，则解得且x≠1，所以该函数的定义域为．典例精讲函数定义域的常用求法：①分式的分母不等于0；②偶次方根的被开方数大于或等于0；③0的0次方无意义；④对数的真数大于0；⑤指数函数和对数函数的底数大于0且不等于1；⑥正切函数y=tanx

中

；⑦如果函数是由实际意义确定的解析式，应依据自变量的实际意义确定其取值范围．敲黑板

变式训练1

设函数f(x)的定义域是[0，1]，则f(2x)的定义域是（ ）．A．[0，1]B．C．[0，2]D．典例精讲解题通法①

若

函数f(x)

的定义域为[a

，b]，则其复合函数f[g(x)]的定义域由a

„≤g(x)„„≤

b

解出；②若函数f[g(x)]的定义域为[a

，b]，则函数f(x)的定义域为g(x)在x∈[a

，b]内的值域；③若函数f(x)为分段函数，则其定义域是自变量的各个不同取值范围的并集．典例精讲

【名师点睛】

若两个函数的定义域、对应法则和值域均一致，则它们为同一函数，与表示函数所运用的字母无关．例2下列各组函数中表示同一函数的是（）．A．B．C．D．解析

A选项中，f(x)=x

的定义域是R，

的定义域是{x|x

≠0}，两者定义域不同B选项中，f(x)=1的定义域是R，g(x)=x0

的定义域是{x|x

≠0}，两者定义域不同；C选项中，两个函数的三要素完全相同；D选项中，

的定义域是{x|x

≥0}，

的定义域是R，两者定义域不同．因此，正确选项为C．典例精讲易错警示对应法则可化为相同的形式也不一定为同一函数，一定要全面考虑函数的三要素是否完全相同．变式训练2下列四组函数中，表示同一函数的是（）．A．B．C．D．典例精讲例3

求下列函数的值域．（1）y=x2+x

，x

∈{1，2，3}； （2）y=2x+1，x

∈[-1，1]；（3）y=-x2+4x-2； （4）y=-x2+4x-2，x

∈[0，3]．解析（1）函数的值域为{2，6，12}．（2）函数的值域为[-1，3]．（3）y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2，故函数的值域为(-∞

，2]．（4）y=-x2+4x-2=-(x-2)2+2，因为x

∈[0，3]，所以函数的值域为[-2，2]．

【名师点睛】

求函数的值域应注意自变量的取值范围；对一元二次函数求值域可用配方法，要注意对称轴与所给取值范围的位置关系．典例精讲求函数值域的方法有直接法、配方法、反解法、判别式法、不等式法，还有换元法和图象法．敲黑板变式训练3

求下列函数的值域．（1）；（2）．典例精讲

【名师点睛】

对简单的复合函数可从内到外分层求解．例4

已知，则=（）．A．2B．C．4D．8解析因为，故选B．变式训练4

设函数．典例精讲

【名师点睛】应用数学的整体化思想，将x-1看作一个整体，换元即可求得函数解析式．例5

已知f(x-1)=x2-2x+3，则f(x)=．解析（解法一）因为f(x-1)=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以f(x)=x2+2．变式训练5

已知f(x+1)=x2-x+1，则f(x)=．（解法二）令x-1=t

，则x=t+1，代入函数得f(t)=(t+1)2-2(t+1)+3=t2+2，故f(x)=x2+2．解题通法已

知函数f[g(x)]的解析式，求f(x)

的解析式，常用的方法有配方法和换元法．其中较常使用的是换元法．典例精讲

【名师点睛】求解一次函数解析式可运用待定系数法．例6

已知一次函数图象过点(0，2)和(-1，1)，求它的解析式．变式训练6

已知一次函数图象过点(-1，4)和(2，1)，求它的解析式．解析设f(x)=kx+b

，因为图象过点(0，2)和(-1，1)，将这两点代入函数得

，解得k=1，b=2．因此，该一次函数的解析式为f(x)=x+2．02函数的性质函数的单调性1）函数单调性的定义设函数y=f(x)在区间(a

，b)内有意义，则函数单调性的定义如表3-4所示．2.1表3–4函数的单调性函数的单调性2.1如果函数f(x)在区间(a

，b)内是增函数（或减函数），那么称函数f(x)在区间(a

，b)内具有单调性，区间(a

，b)叫作函数f(x)的单调区间．敲黑板2）判断函数单调性的常用方法（1）定义法：其步骤如下．①取值：取指定区间内的任意两个值x1

，x2

，使x1<x2

．②作差变形：计算

f(x1)-f(x2)，然后通过因式分解、通分、配方、分母有理化等方法进行化简变形．③定号：判断差值的正负．④得出结论．（2）图象法：画出函数图象，通过观察图象判断函数的单调性．对称性一般地，设点P(a

，b)为平面内的任意一点，则可以得出如图3-1所示的结论．2.2图3-1奇偶性设函数f(x)的定义域为数集D

，则函数奇偶性的定义、图象特征和性质如表3-5所示．2.3表3-5函数