专题02复数不等式平面向量（7年真题汇编+1年模拟）2020-2026年高考数学真题分类汇编（北京专用）（解析版）

高考真题分类解析PAGEPAGE1专题02复数、不等式、平面向量7年真题1年模拟考点分类北京考情（2020-2026）命题规律复数2020复平面坐标、2021模长、2022模长、2023共轭、2024运算、2025模长、2026运算，每年1道选择基础送分题，七年全覆盖；运算、模长、共轭、复平面轮换考查，题型稳定无波动，难度常年偏低不等式2020函数不等式、2021–2023代数判断、2024函数单调性、2025基本不等式、2026情境推理，每年1道命题变化显著：早年纯代数辨析，2024后融入函数、生活情境，逻辑推理、反例判断占比持续提高平面向量2020基础运算、2021数量积、2022几何轨迹、2023模长、2024充要条件、2025数量积范围、2026最值，共7题核心变化：2022年前以数量积、模长基础计算为主；后五年频繁结合几何轨迹、充要条件、最值范围，综合性大幅增强小结：复数题型高度固化；不等式走向情境化；向量跨几何融合是七年最突出变化。考点01复数1．（2026·北京·高考真题）已知，，则（）A. B. C.2 D.8【答案】A【解析】由题意，则.2．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（

）A． B． C．4 D．8【答案】B【解析】由可得，，所以，故选：B.3．（2024·北京·高考真题）已知，则（

）．A． B． C． D．【答案】C【解析】由题意得.故选：C.4．（2023·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则的共轭复数（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】在复平面对应的点是，根据复数的几何意义，，由共轭复数的定义可知，.故选：D5．（2022·北京·高考真题）若复数z满足，则（

）A．1 B．5 C．7 D．25【答案】B【解析】由题意有，故．故选：B．6．（2021·北京·高考真题）在复平面内，复数满足，则（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意可得：.故选：D.7．（2020·北京·高考真题）在复平面内，复数对应的点的坐标是，则（）．A. B. C. D.【答案】B【解析】由题意得，.故选：B.考点02等式与不等式1．（2026·北京·高考真题）学校组织高一、高二学生参观甲、乙两地博物馆，每位学生可自主选择一处前往．已知高一学生总人数多于高二学生总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，则（）A.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高一学生人数B.去甲地的高一学生人数多于去乙地的高二学生人数C.去甲地的高一学生人数不多于去乙地的高二学生人数D.去乙地的高二学生人数不少于去甲地的高二学生人数【答案】B【解析】由题意，设高一学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，高二学生去甲地的人数为，去乙地的人数为，∴高一总人数：，高二总人数，前往甲地的学生人数：，前往乙地的学生人数：，∵高一总人数多于高二总人数，前往甲地的全体学生总数多于前往乙地的全体学生总数，∴，由不等式的性质，两侧分别相加并化简得，∴高一学生去甲地的人数多于高二学生去乙地的人数，故B正确，A，C，D均错误.2．（2025·北京·高考真题）已知，则（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A,当时，，故A错误；对于BD，取，此时，，故BD错误；对于C，由基本不等式可得，故C正确.故选：C.3．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.4．（2020·北京·高考真题）已知函数，则不等式的解集是（）．A. B.C. D.【答案】D【解析】因为，所以等价于，在同一直角坐标系中作出和的图象如图：两函数图象的交点坐标为，不等式的解为或.所以不等式的解集为：.故选：D.考点03平面向量1.（2026·北京·高考真题）已知向量，满足，，则的最大值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】D【解析】因为，且，则，所以，所以当反向时，取最大值为4.2．（2025·北京·高考真题）在平面直角坐标系中，，.设，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】因为，，由平方可得，，所以．，，所以，，又，即，所以，即，故选：D.3．（2024·北京·高考真题）设，是向量，则“”是“或”的（

）．A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【解析】因为，可得，即，可知等价于，若或，可得，即，可知必要性成立；若，即，无法得出或，例如，满足，但且，可知充分性不成立；综上所述，“”是“或”的必要不充分条件.故选：B.4．（2023·北京·高考真题）已知向量满足，则（

）A． B． C．0 D．1【答案】B【解析】向量满足，所以.故选：B5．（2022·北京·高考真题）在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依题意如图建立平面直角坐标系，则，，，因为，所以在以为圆心，为半径的圆上运动，设，，所以，，所以，其中，，因为，所以，即；故选：D6．（2021·北京·高考真题）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则；.【答案】03【解析】以交点为坐标原点，建立直角坐标系如图所示：则，，，.故答案为：0；3.7．（2020·北京·高考真题）已知正方形的边长为2，点P满足，则_________；_________．【答案】①.②.【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，则点、、、，，则点，，，因此，，.故答案为：；.一、单选题1．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）若复数，则在复平面上对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】C【详解】复数，则，所以在复平面上对应的点位于第三象限.2．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）若复数满足，则在复平面内的对应点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数的除法运算可得，再根据复数的几何意义分析判断.【详解】由题意可知：，即，所以z在复平面对应的点为在第四象限.3．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）复数的实部与虚部的和是（

）A． B． C．0 D．2【答案】C【详解】因为复数的实部为1，虚部为，所以实部与虚部的和是.4．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）若复数满足，则（

）A． B．C． D．【答案】C【详解】，5．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知复数为纯虚数，则实数（

）A．2 B．1 C．0 D．【答案】A【详解】，因为为纯虚数，所以，且，即.6．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）已知复数（），则（

）A． B．1 C．3 D．5【答案】C【分析】由复数的运算可得，从而得，即可得答案.【详解】因为，所以，所以，所以.7．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）设为非零向量，则“对于任意”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据平面向量的三角不等式取等条件判断充分性，举反例判断必要性.【详解】因为为非零向量，若对任意都有，则不共线，根据不等式的取等条件可知，，充分性成立；若，不妨取，且同向，则，满足，此时存在，使得，必要性不成立.综上，为非零向量，“对于任意”是“”的充分不必要条件.8．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知向量在正方形网格中的位置如图所示．若网格纸上小正方形的边长为1，则（

）A． B．0 C．2 D．4【答案】B【分析】引入向右方向的单位向量为，向上方向的单位向量为，把用表示后计算.【详解】记向右方向的单位向量为，向上方向的单位向量为，则，，，所以.9．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）已知集合，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由一元二次不等式求解确定集合，再由并集运算即可求解.【详解】由可得，即，又，所以.10．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）若，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】对移项通分：，若，则，因此，即一定成立，充分性成立；若，不一定能推出，举例：取，满足，但不满足，因此必要性不成立；综上，“”是“”的充分不必要条件.11．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知集合，则集合（

）A． B．C． D．【答案】A【详解】集合，因为集合，所以.12．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知全集，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【详解】由得，得，则，因为，所以.13．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）实数，满足，，则（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】对于B，通过平方法结合条件即可证明不等式恒成立，对于其它选项均可取反例证伪.【详解】对于A，取，此时不成立，故A错误；对于B，，因为，所以该不等式对任意恒成立，故B正确；对于C，取，此时不成立，故C错误；对于D，取，此时不成立，故D错误；14．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）已知复数z满足，则在复平面内，复数z对应的点位于（

）．A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【详解】化简得，复数z对应的点位于第二象限.15．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）在复平面内，复数满足，则（

）A．0 B．1 C． D．2【答案】D【详解】由，得，故，所以.16．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）如果复数的实部与虚部相等，那么（

）A． B．1 C．2 D．4【答案】A【详解】因为，因为，且复数的实部与虚部相等，所以.17．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知平面直角坐标系中，，，，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】取中点，由可得点轨迹为圆，结合极化恒等式可得，再结合点和圆的位置关系求解范围即可.【详解】如图所示，由得，是直角三角形，斜边，取中点，根据直角三角形斜边中线性质，可得，即在以原点为圆心、半径的圆上.根据向量极化恒等式，对任意，为中点，有，代入，得：因为，在为圆心、半径1的圆上，所以的范围是：，即，故.18．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案.【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径，又，，所以，即在方向上的投影为，所以，又，所以，则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，又直线恒过定点，所以，则P到直线的距离的最大值为.19．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）等边的边长为6，若，，则（

）A．5 B．3 C． D．【答案】D【详解】如图：由题意，，，所以.又，，所以.20．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知，则下列结论中不正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】A【详解】对于A，因为，由不等式的性质，不等式两边同时加上一个数，不等式方向不变，，故A错.对于B，因为函数在上单调递增，，所以，故B正确对于C，已知且，说明，那么，不等式两边同除以，不等式方向不变，所以，故C正确.对于D，已知，所以，因为函数在上单调递增，所以，故D正确.21．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知平面上的点，，，，满足，且，则下列等式中一定不成立的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据数量积的定义分析可知，，利用坐标表示点，，，讨论点，的可能性情况，结合选项分析判断即可.【详解】因为，则，又因为，则，，设，，，，，若，，可得，，，若，则，故A可能成立；若，，可得，，，则，且，若，则，故D可能成立；若，，可得，，，则，故C可能成立；若，，可得，，，此时ABCD均不成立.综上所述：不可能成立的是B.二、填空题22．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）当时，函数的最小值为_____．【答案】【分析】由基本不等式进行求解．【详解】因为，所以，等号成立时，，故函数的最小值为．23．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）若复数z满足，则______，______【答案】【详解】，，得.，.24．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）设单位向量，满足．若，则________；若与的夹角为，且，则实数________．【答案】【详解】，因为，所以，所以；由于单位向量，满足，即，因为与的夹角为，所以，整理可得，因为，所以.25．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）设平面向量，其中，的最小值为_________．【答案】4【详解】已知，，其中，得：，所以，当时，26．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）在平面直角坐标系xOy中，，直线与x轴和y轴分别交于点，，则的最大值为________；的取值范围是________．【答案】4【