专题03函数与导数（7年真题汇编+1年模拟）2020-2026年高考数学真题分类汇编（北京专用）（解析版）

高考真题分类解析PAGE试卷第=1页，共=sectionpages33页PAGE1专题03函数与导数7年真题1年模拟考点分类北京考情（2020-2026）命题规律函数模型及应用2022冬奥制冰、2024生物指数、2025AI训练、2026乐律音高，共4题情境化命题逐年增强，科技、环保、文化多领域取材；2026首次以填空形式出现，题型灵活化基本初等函数性质2020图像、2021奇偶最值、2022函数方程、2023单调性、2025多结论、2026奇偶单调，共6题奇偶性、单调性为核心；2025起多结论正误判断题型固定，抽象推理要求明显提升函数与方程综合2020分段函数、2021零点、2022存在最小值、2023多结论、2026多结论，共5道填空压轴分段函数+零点/交点是必考模型；多结论判断成固定考法，数形结合能力要求高，是填空压轴常客导数解答题2020切线最值、2021极值最值、2022双变量、2023极值点、2024零点、2025双变量、2026零点，每年1道压轴大题三大题型轮换：双变量、零点、极值最值；2024后切线综合、交点个数辨析增多，构造难度逐年加大小结：函数小题走向情境化、多结论化；导数压轴题型轮换稳定但综合性逐年加强，是全卷区分度核心。考点01函数模型及应用1.（2026·北京·高考真题）音高y（单位:）与频率f（单位：）满足，若，则f的取值范围为________．【答案】【解析】【详解】由题意，则，解得，所以f的取值范围为.2．（2025·北京·高考真题）一定条件下，某人工智能大语言模型训练N个单位的数据量所需要的时间（单位：h），其中k为常数．在此条件下，已知训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加20h；当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加（

）A．2h B．4h C．20h D．40h【答案】B【解析】设当N取个单位、个单位、个单位时所需时间分别为,由题意，，，，因为，所以，所以，所以当训练数据量N从个单位增加到个单位时，训练时间增加4小时.故选：B.3．（2024·北京·高考真题）生物丰富度指数是河流水质的一个评价指标，其中分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数.生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数没有变化，生物个体总数由变为，生物丰富度指数由提高到，则（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】由题意得，则，即，所以.故选：D.4．（2022·北京·高考真题）在北京冬奥会上，国家速滑馆“冰丝带”使用高效环保的二氧化碳跨临界直冷制冰技术，为实现绿色冬奥作出了贡献．如图描述了一定条件下二氧化碳所处的状态与T和的关系，其中T表示温度，单位是K；P表示压强，单位是．下列结论中正确的是（

）A．当，时，二氧化碳处于液态B．当，时，二氧化碳处于气态C．当，时，二氧化碳处于超临界状态D．当，时，二氧化碳处于超临界状态【答案】D【解析】当，时，，此时二氧化碳处于固态，故A错误.当，时，，此时二氧化碳处于液态，故B错误.当，时，与4非常接近，故此时二氧化碳处于固态，对应的是非超临界状态，故C错误.当，时，因,故此时二氧化碳处于超临界状态，故D正确.故选：D考点02基本初等函数的性质1、（2026·北京·高考真题）下列函数是奇函数且在定义域上单调递增的是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【详解】A，在中，，则，函数为偶函数，故错误；B，在中，，函数为奇函数，但在定义域上不单调递增，故错误；方法一：C，在中，，则，，函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，则为奇函数，，即函数在定义域上单调递增，故正确.法二：C，在中，，则，为奇函数，∵和是减函数，∴函数单调递减，故错误；D，在中，，解得，，为奇函数，∵和是增函数，则为增函数，∴函数单调递增，故正确.2．（2023·北京·高考真题）下列函数中，在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故A错误；对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，所以在上单调递减，故B错误；对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，所以在上单调递增，故C正确；对于D，因为，，显然在上不单调，D错误.故选：C.3．（2022·北京·高考真题）已知函数，则对任意实数x，有（

）A． B．C． D．【答案】C【解析】，故A错误，C正确；，不是常数，故BD错误；故选：C．4．（2021·北京·高考真题）函数是A．奇函数，且最大值为2 B．偶函数，且最大值为2C．奇函数，且最大值为 D．偶函数，且最大值为【答案】D【解析】由题意，，所以该函数为偶函数，又，所以当时，取最大值.故选：D.5．（2025·北京·高考真题）关于定义域为的函数，给出下列四个结论：①存在在上单调递增的函数使得恒成立；②存在在上单调递减的函数使得恒成立；③使得恒成立的函数存在且有无穷多个；④使得恒成立的函数存在且有无穷多个．其中正确结论的序号是．【答案】②③【解析】对于①，若存在在上的增函数，满足，则，即，故时，，故，故即，矛盾，故①错误；对于②，取，该函数为上的减函数且，故该函数符合，故②正确；对于③，取，此时，由可得有无穷多个，故③正确；对于④，若存在，使得，令，则，但，矛盾，故满足的函数不存在，故④错误.故答案为：②③考点03比较大小问题1．（2024·北京·高考真题）已知，是函数的图象上两个不同的点，则（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】由题意不妨设，因为函数是增函数，所以，即，对于选项AB：可得，即，根据函数是增函数，所以，故B正确，A错误；对于选项D：例如，则，可得，即，故D错误；对于选项C：例如，则，可得，即，故C错误，故选：B.考点04函数与方程的综合问题1.（2026·北京·高考真题）已知，给出下列四个结论：①在上有最小值和最大值；②，时，有最大值；③，有3个解；④，与有4个交点.其中正确结论的序号是________．【答案】①②③④【解析】【分析】①，构造函数并求其单调性和奇偶性，求出的奇偶性，分在内有零点和在内无零点两种情况讨论，即可判断；②，求出在上的单调性，即可判断；③，求出在取任意实数的单调性，结合零点存在性定理即可求出时的值，即可判断；④，求出，结合单调性即可得出与直线的交点个数，即可判断.【详解】由题意，①在中，，，，函数为偶函数，在中，，∴函数单调递增，∵，∴当时，，当时，，∴在上单调递减，在上单调递增，∴函数在处取最小值，，在中，，为偶函数，当在内有零点时，即，，使得，此时在，上单调递减，在，上单调递增，，，，∵，∴，∴在和处取最小值，，在处取最大值，当在内无零点时，，在上单调递增，在上单调递减，∴在处取得最小值，，在处取得最大值，，故①正确；②当时，，，，由①可得，在上单调递增，∵，，∴，使得，∴在中，，此时在上单调递减，在上单调递增，∴在处取最大值，②正确；③同①可得推广结论，在中，，，为偶函数，即，，使得，，此时在，上单调递减，在，上单调递增，∴在和处取极小值，当时，，，，∵在上单调递减，，∴，使得，∵在上单调递增，，∴，使得，∴当时，，∴，有3解，故③正确；④由③可得，在中，，此时在，上单调递减，在，上单调递增，在中，，，开口向上，∴函数，即恒成立，∴∴在下方，∵，∴在轴上方，此时与有4个交点，故④正确.2．（2023·北京·高考真题）设，函数，给出下列四个结论：①在区间上单调递减；②当时，存在最大值；③设，则；④设．若存在最小值，则a的取值范围是．其中所有正确结论的序号是．【答案】②③【解析】依题意，，当时，，易知其图像为一条端点取不到值的单调递增的射线；当时，，易知其图像是，圆心为，半径为的圆在轴上方的图像（即半圆）；当时，，易知其图像是一条端点取不到值的单调递减的曲线；对于①，取，则的图像如下，显然，当，即时，在上单调递增，故①错误；对于②，当时，当时，；当时，显然取得最大值；当时，，综上：取得最大值，故②正确；对于③，易知当时，在，且接近于处，的距离最小，当时，，当且接近于处，，此时，，当时，且接近于处，的距离最小，此时；故③正确；对于④，取，则的图像如下，因为，结合图像可知，要使取得最小值，则点在上，点在，同时的最小值为点到的距离减去半圆的半径，此时，因为的斜率为，则，故直线的方程为，联立，解得，则，显然在上，满足取得最小值，即也满足存在最小值，故的取值范围不仅仅是，故④错误.故答案为：②③.3．（2022·北京·高考真题）设函数若存在最小值，则a的一个取值为；a的最大值为．【答案】0（答案不唯一）1【解析】若时，，∴；若时，当时，单调递增，当时，，故没有最小值，不符合题目要求；若时，当时，单调递减，，当时，∴或，解得，综上可得；故答案为：0（答案不唯一），14．（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【解析】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.5．（2020·北京·高考真题）为满足人民对美好生活的向往，环保部门要求相关企业加强污水治理，排放未达标的企业要限期整改，设企业的污水排放量W与时间t的关系为，用的大小评价在这段时间内企业污水治理能力的强弱，已知整改期内，甲、乙两企业的污水排放量与时间的关系如下图所示.给出下列四个结论：①在这段时间内，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②在时刻，甲企业的污水治理能力比乙企业强；③在时刻，甲、乙两企业的污水排放都已达标；④甲企业在这三段时间中，在的污水治理能力最强．其中所有正确结论的序号是____________________．【答案】①②③【解析】表示区间端点连线斜率的负数，在这段时间内，甲的斜率比乙的小，所以甲的斜率的相反数比乙的大，因此甲企业的污水治理能力比乙企业强；①正确；甲企业在这三段时间中，甲企业在这段时间内，甲的斜率最小，其相反数最大，即在的污水治理能力最强．④错误；在时刻，甲切线的斜率比乙的小，所以甲切线的斜率的相反数比乙的大，甲企业的污水治理能力比乙企业强；②正确；在时刻，甲、乙两企业的污水排放量都在污水达标排放量以下，所以都已达标；③正确；故答案为：①②③考点05函数及其表示1．（2023·北京·高考真题）已知函数，则．【答案】1【解析】函数，所以.故答案为：12．（2022·北京·高考真题）若函数的一个零点为，则；．【答案】1【解析】∵，∴∴故答案为：1，3．（2022·北京·高考真题）函数的定义域是．【答案】【解析】因为，所以，解得且，故函数的定义域为；故答案为：4．（2020·北京·高考真题）函数的定义域是____________．【答案】【解析】由题意得，故答案为：考点06导数：双变量问题1．（2025·北京·高考真题）已知函数的定义域是，导函数，设是曲线在点处的切线．(1)求的最大值；(2)当时，证明：除切点A外，曲线在直线的上方；(3)设过点A的直线与直线垂直，，与x轴交点的横坐标分别是，，若，求的取值范围．【解析】（1）设，，由可得，当时，，单调递增，当时，，单调递减，所以的最大值为.（2）因为，所以直线的方程为，即，设，，由（1）可知，在上单调递增，而，所以，当时，，单调递减，当时，，单调递增，且，而当时，，所以总有，单调递增故，从而命题得证；（3）解法一：由题意，直线，直线，所以，，当时，，在上单调递增，所以，所以，由（1）可得当时，，所以，所以.解法二：由可设，又，所以，即，因为直线的方程为，易知，所以直线的方程为,，.所以,由（1）知,当时，，所以,所以.2．（2022·北京·高考真题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，讨论函数在上的单调性；(3)证明：对任意的，有．【解析】（1）因为，所以，即切点坐标为，又，∴切线斜率∴切线方程为：（2）因为，

所以，令，则，∴在上单调递增，∴∴在上恒成立，∴在上单调递增.（3）原不等式等价于，令，，即证，∵，，由（2）知在上单调递增，∴，∴∴在上单调递增，又因为，∴，所以命题得证.考点07导数：零点问题1.（2026·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，的值；（2）求的极值点个数；（3）求与交点个数．【答案】（1）、（2）有两个极值点（3）交点个数为【解析】【分析】（1）借助导数的几何意义可得、，计算即可得解；（2）求导得到后，再利用导数研究函数单调性，即可得变号零点个数，即可得极值点个数；（3）构造函数，利用导数计算可得，再分及进行讨论，当，结合（2）中所得可得在上单调递减，结合零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数；当时，可得有两个实根，分别设为、，且，则得单调性，计算可得、，再利用零点存在性定理即可得在上零点个数，即可得与交点个数.【小问1详解】，则，，又，解得；【小问2详解】由（1）得，则，令，则，令，解得，则当时，，当时，，故在上单调递增，在上单调递减，又，，，故存在，使得，且有，则当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故有两个极值点；【小问3详解】令，则，令，则；若，则恒成立（不恒为零），故在上单调递减，又，当时，，故在上有唯一零点，即与有唯一交点；若时，有两个实根，设这两个实根分别为、，且，则、，则当时，，当时，，故在、上单调递减，在上单调递增，故为的极小值，为的极大值，且，由，则，则，由，则，则有、，故，则，又时，，故在上存在唯一零点，即与有唯一交点；综上所述：与交点个数为.2．（2024·北京·高考真题）设函数，直线是曲线在点处的切线．(1)当时，求的单调区间.(2)求证：不经过点.(3)当时，设点，，，为与轴的交点，与分别表示与的面积．是否存在点使得成立？若存在，这样的点有几个？（参考数据：，，）【解析】（1），当时，；当，；在上单调递减，在上单调递增.则的单调递减区间为，单调递增区间为.（2），切线的斜率为，则切线方程为，将代入则，即，则，，令，假设过，则在存在零点.，在上单调递增，，在无零点，与假设矛盾，故直线不过.（3）时，.，设与轴交点为，时，若，则此时与必有交点，与切线定义矛盾.由（2）知.所以，则切线的方程为，令，则.，则，，记，满足条件的有几个即有几个零点.，当时，，此时单调递减；当时，，此时单调递增；当时，，此时单调递减；因为，，所以由零点存在性定理及的单调性，在上必有一个零点，在上必有一个零点，综上所述，有两个零点，即满足的有两个.考点08导数：极值最值问题1．（2023·北京·高考真题）设函数，曲线在点处的切线方程为．(1)求的值；(2)设函数，求的单调区间；(3)求的极值点个数．【解析】（1）因为，所以，因为在处的切线方程为，所以，，则，解得，所以.（2）由（1）得，则，令，解得，不妨设，，则，易知恒成立，所以令，解得或；令，解得或；所以在，上单调递减，在，上单调递增，即的单调递减区间为和，单调递增区间为和.（3）由（1）得，，由（2）知在，上单调递减，在，上单调递增，当时，，，即所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，在上单调递减，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递增；当时，，则单调递减；所以在上有一个极大值点；当时，在上单调递增，则，故，所以在上存在唯一零点，不妨设为，则，此时，当时，，则单调递减；当时，，则单调递增；所以在上有一个极小值点；当时，，所以，则单调递增，所以在上无极值点；综上：在和上各有一个极小值点，在上有一个极大值点，共有个极值点.2．（2021·北京·高考真题）已知函数．（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若在处取得极值，求的单调区间，以及其最大值与最小值．【解析】（1）当时，，则，，，此时，曲线在点处的切线方程为，即；（2）因为，则，由题意可得，解得，故，，列表如下：增极大值减极小值增所以，函数的增区间为、，单调递减区间为.当时，；当时，.所以，，.3．（2020·北京·高考真题）已知函数．（Ⅰ）求曲线的斜率等于的切线方程；（Ⅱ）设曲线在点处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为，求的最小值．【答案】（Ⅰ），（Ⅱ）.【解析】（Ⅰ）因为，所以，设切点为，则，即，所以切点为，由点斜式可得切线方程为：，即.（Ⅱ）[方法一]：导数法显然，因为在点处的切线方程为：，令，得，令，得，所以，不妨设时，结果一样，则，所以，由，得，由，得，所以在上递减，在上递增，所以时，取得极小值，也是最小值为.[方法二]【最优解】：换元加导数法．因为为偶函数，不妨设，，令，则．令，则面积为，只需求出的最小值．．因为，所以令，得．随着a的变化，的变化情况如下表：a0减极小值增所以．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法三]：多元均值不等式法同方法二，只需求出的最小值．令，当且仅当，即时取等号．所以当，即时，．因为为偶函数，当时，．综上，当时，的最小值为32．[方法四]：两次使用基本不等式法同方法一得到,下同方法一.一、单选题1．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）为了得到的图象，只需把函数的图象上所有点的（

）A．横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变）B．横坐标变为原来的倍（纵坐标不变）C．纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变）D．纵坐标变为原来的倍（横坐标不变）【答案】B【详解】对于A，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的2倍（纵坐标不变），得，A错误；对于B，把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的倍（纵坐标不变），得，B正确；对于C，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的2倍（横坐标不变），得，C错误；对于D，把函数的图象上所有点的纵坐标变为原来的倍（横坐标不变），得，D错误.2．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）农产品质量安全研究表明，有机磷农药在果蔬表面的自然降解符合一级动力学模型，可用（，k为正常数）描述，其中C为喷施农药t天后，果蔬表面的农药残留量（单位：mg/kg），某品种有机磷农药的降解速率常数，现测得蔬菜喷施该农药后的初始残留量为8mg/kg，国家食品安全标准规定该农药的残留限值为1mg/kg，则该蔬菜的最短安全采收间隔期为（

）A．3天 B．6天 C．9天 D．12天【答案】C【分析】根据国家食品安全标准规定得出不等式，再由函数单调性解不等式即可求得结果.【详解】设该蔬菜的最短安全采收间隔期为天,依题意可得,其中，，所以可得，即，解得；因此该蔬菜的最短安全采收间隔期为9天.3．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）已知函数（且），将函数的图象上的每个点的横坐标不变，纵坐标扩大为原来的3倍，得到函数的图象，再将的图象向右平移1个单位长度，所得图象恰好与函数的图象重合，则的值是（

）A．3 B． C． D．【答案】C【详解】由题可得，则再将的图象向右平移1个单位长度后所得图象为函数的图象，由题可知函数图象恰好与函数的图象重合，所以，即，又且，所以.4．（北京市西城区2026届高三上学期期末考试数学试题）下列函数中，值域为的奇函数是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据函数的奇偶性和值域的定义，逐一分析选项.【详解】A选项，函数，其定义域为，，且，故为非奇非偶函数，不符合要求；B选项，函数，定义域为，，故为奇函数；当取任意实数时，的取值范围是，当取遍任意实数时，的值域为，符合要求；C选项，函数，定义域为，，故为偶函数，不符合要求；D选项，函数，定义域为，，故为奇函数；的取值范围是，值域不为，不符合要求.故选：B.5．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）设，，则“”是“”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【详解】由题知，，等价于，即原条件可化简为，对正数，由基本不等式得，若，则，因此，充分性成立；取满足，但，即不满足，因此必要性不成立.综上，是的充分而不必要条件.6．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）如图所示的沙漏是由上下两个相同的圆锥形容器组成，其内细沙的总体积为．假设上方容器中细沙的堆积体一直近似为一个倒置的圆锥，初始时细沙都在上方容器内，且此时沙堆的高度为，在重力和限流片的作用下细沙徐徐流入下方容器，经过分钟后剩余沙堆的体积（为常数）．已知初始时细沙都在上方容器内，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，此时将沙漏上下颠倒，若倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为，则需再经过的时间约为（

）（参考数据：）A．8.0分钟 B．8.6分钟 C．9.4分钟 D．10.6分钟【答案】C【详解】初始时，上方沙堆高度为，体积为，体积比等于高度比的立方，经过10分钟后上方沙堆的高度降为，上方剩余沙堆的体积，经过分钟后上方剩余沙堆的体积，经过分钟后上方剩余沙堆的体积，，，，，经过分钟后上方剩余沙堆的体积为，下方容器内的体积为，将沙漏上下颠倒，此时上方容器内的沙堆体积为，设此时上方容器的高度为，，，，倒置后的上方容器内沙堆高度再次降为时，上方容器剩余沙堆的体积为，设从倒置后到高度再次降为需要的时间为，则，即，，，分钟.7．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）在深度学习模型训练中，模型的训练损失值会随训练轮次增加而逐渐下降．当损失值低于初始损失值的时就要对模型进行调整，假设某深度学习模型的训练损失值（为初始损失值，t为训练轮次，k为衰减系数），已知训练到第10轮时（当时），训练损失值降至初始损失值的，则训练到第几轮就要对模型调整（参考数据）（

）A．24 B．35 C．47 D．100【答案】C【分析】由题意可得，将代入，解得，再将代入，由求解即可.【详解】因为，所以当时，，即，解得，即，所以，所以，所以，解得，所以训练到第47轮就要对模型调整.8．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）设，函数则（

）A．是偶函数，且有最大值 B．是偶函数，且没有最大值C．是奇函数，且有最大值 D．是奇函数，且没有最大值【答案】B【分析】根据分段函数节点，结合函数奇偶性的定义分类讨论可以判断函数为偶函数；结合分段函数在不同区间的单调性和最值即可判断是否有最大值.【详解】函数定义域为，关于原点对称，对任意可得：若，则，代入得：若，则，代入得：若，代入得：对所有都满足，因此是偶函数.①当时，，，函数单调递增，因此，开区间取不到，因此无法达到；②当时，，，函数单调递减，所以，同理开区间也无法取得；③当时，，由得：，即，所以中间段最大值也小于,综上所述，所有函数值都小于，且不存在使得，所以没有最大值.9．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）下列函数中，既是奇函数又在上单调递减的是（

）A． B． C． D．【答案】B【详解】对于A，因为，所以不是奇函数，即A错误；对于B，易知的定义为，定义域关于原点对称，且满足，因此该函数为奇函数，又，因此函数在上单调递减，即B正确；对于C，由正切函数定义可知不在定义域内，因此C错误；对于D，易知的定义域为，则,令可得，当时，，当时，，因此可得函数在上单调递减，在上单调递增，因此在上不是单调递减的，即D错误.10．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）下列函数中，在区间上单调递减的是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】对于A，直接根据反比例函数性质判断；对于B，根据二次函数性质判断；对于C，根据复合函数单调性法则判断；对于D，转化为分段函数，再结合指数函数性质判断.【详解】对于A，由反比例函数性质知在上单调递增，故错误；对于B，，由二次函数性质在上单调递减，在上单调递增，故错误；对于C，函数在上单调递增，在单调递减，故由复合函数单调性法则（同增异减）得在上单调递减，故正确；对于D，，故函数在上单调递减，在上单调递增，故错误；11．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）若函数是奇函数，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】利用奇函数的定义可得出关于的等式，求出实数的值，再结合奇函数的定义域验证即可.【详解】因为函数是奇函数，则，即，所以，即，所以，解得，当时，，由可得，该函数的定义域为，此时函数的定义域不关于原点对称，该函数不是奇函数，不符合题意；当时，，由可得或，即函数的定义域为或，定义域关于原点对称，符合题意.综上所述，.二、填空题12．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）函数的定义域为______.【答案】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案.【详解】由题意得，则，因为在上单调递增，所以，则的定义域为.13．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）函数的定义域为___________．【答案】【分析】根据偶次根式被开方数大于等于0，结合对数函数的单调性，即可得答案.【详解】由题意得，则，因为在上单调递增，所以，则的定义域为.14．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知函数，①若关于的方程恰好有一个解，则的一个取值为________；②若关于的方程恰好有三个解，则的取值范围为___________.【答案】2（答案不唯一）【分析】作函数及的图象，数形结合求解.【详解】作函数图象，如图，由图象可知，当或时，方程恰好有一个解，故可取（答案不唯一）；因为过定点，在同一平面直角坐标系内作的图象，如图由图象可知，当时，方程恰好有三个解.故答案为：2（答案不唯一）；15．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）在乐律学中，将一个纯五度音程分成7份得到8个音级，这8个音级的频率构成公比为的等比数列，则________；为研究纯五度音程与纯四度音程的关系，从该等比数列中寻找两项，，使得最小，则________．（参考数据：）【答案】【分析】根据等比数列性质，代入计算求解即可.【详解】由题意；由，令，得，从而从而.16．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）设函数，当时，的值域为______；若方程有两个不同的解，则实数的一个取值可以是______.【答案】（只需满足即可）【分析】当时，化简函数的解析式，分别求出在、上的值域，即可得出函数的值域；分析可知，讨论不符合题意，则，可知函数在、上都单调，分别求出方程在和时的解，可得出关于的不等式组，即可解得实数的取值范围.【详解】当时，，当时，，当时，.故当时，函数的值域为；由题意可知，当时，，当时，由可得，当时，恒成立，此时无解，故当时，方程有且只有一个实数解，不合乎题意；因为函数在上单调递增，当时，函数在上单调，因为方程有两个不同的解，所以方程在和时各有一解，当时，由可得，所以，当时，由可得，所以，解得，综上所述，.故实数a的一个取值可以是（只需满足即可）.17．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）已知函数，若，且，则的最小值为______.【答案】【分析】由是奇函数且单调递增，可得，结合基本不等式，即可求出的最小值.【详解】已知函数，定义域为R，，故为奇函数，且；又，由于，且，当时，，故；当时，，故对所有实数恒成立，因此在上单调递增.由，得，因单调递增，故，即，由可知.所以，当且仅当，即时，等号成立，因此的最小值为.故答案为：18．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）将函数（）的图象向左平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度，所得图象位于图象的上方，则a的一个取值为______，a的最大值为______.【答案】（答案不唯一）【分析】先得出变换后的函数解析式，得出对于恒成立，先分、两种情况求出，再检验，时成立，再利用参变分离以及求导求出，时的取值范围.【详解】由题意可得，平移后的图象的函数解析式为，因为的函数图象位于图象的上方，所以对于恒成立，即，则对于恒成立，令，若，则，则对于恒成立，因为，所以；若，则，则对于恒成立，因为，所以，故，当，且时，则，由于在上单调递增，所以；若，则对于恒成立，令，则，因为在上单调递减，所以，则，则在上单调递增，则，故，得，则，因为，所以实数的取值范围为，故a的一个取值为，a的最大值为.三、解答题19．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）已知函数.(1)求曲线在点处的切线方程；(2)若函数是上的单调递增函数，求的值；(3)若存在，使得成立，求的取值范围.【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）对函数求导，求出切点处的导数值和函数值，进而求得切线方程.（2）若函数单调递增，则其导函数大于等于0恒成立，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的值.（3）将转化为关于的不等式，通过构造新函数，求新函数的最值来确定的取值范围.【详解】（1）对函数求导得，所以.因为，所以曲线在点处的切线方程为，即.（2）对函数求导得，因为函数是上的单调递增函数，所以在上恒成立.令，则.当时，，所以，在上单调递增.又因为，当时，，不满足在上恒成立，所以.令，即，解得.当时，，单调递减；当时，，单调递增；所以在处取得最小值.因为在上恒成立，所以，即.令，对求导，可得.令，即，解得.当时，，单调递增；当时，，单调递减；所以在处取得最大值.因为，且，所以，此时.（3）令，所以原问题变为存在，使得成立，对求导得，，令.求导得，当时，，所以在上单调递增，所以，所以在上单调递增，所以，即.此时不存在，使得成立，不符合题意；当时，令，则.当时，；当时，；当，即时，在上单调递增，所以.所以在上单调递增，所以，即.此时不存在，使得成立，不符合题意；当，即时，在上单调递增，在上单调递减，因为，所以在区间上，因此在上单调递减，又，故存在，使得，即成立，综上，所以.20．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)设，分别讨论函数与在上的单调性；(3)证明：当时，．【答案】(1)(2)在上单调递增，在上单调递减；在上单调递增，在上单调递减．(3)因为，所以，①当时，，由（2）知在上单调递增，所以，因为，所以，所以，②当时，令，则，，由（2）知在上单调递增，所以，所以，所以在上单调递减，所以，即当时，综上，当时，．【分析】（1）先求出函数在处的函数值和导数值，再根据点斜式方程求出切线方程；（2）分别对和求导，根据导数与函数单调性的关系判断函数的单调性；（3）构造，通过求导判断其单调性，进而证明不等式．【详解】（1）由，得，因为，，所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由（1）知，令，得；令，得．.所以在上单调递增，在上单调递减.由，得，令，得；令，得．所以在上单调递增，在上单调递减.（3）略21．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知函数，，其中.(1)求的最大值；(2)若在区间上有且只有一个零点，证明：在区间上有且只有一个零点，且；(3)对于（2）中的，证明：.【答案】(1)；(2)证明：当时，由，求导得，函数在上递增，而，又在区间上有且只有一个零点，则，因此，且，由（1）知，函数在上递减，，因此函数在区间上有且只有一个零点，且，又函数，且，因此，又当时，，，所以，即.(3)证明：由（2）得，即，不等式，令函数，求导得，令函数，求导得，函数在上递增，则，即，函数在上递增，因此，即，所以.【分析】（1）利用导数求出函数的最大值.（2）利用导数确定函数的单调性，再利用零点存在性定理推理得证.（3）结合（2）的结论，等价变形所证不等式，构造函数，再利用导数证得即可.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，当时，；当时，，函数在上递增，在上递减，所以当时，函数取得最大值.（2）略（3）略22．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）已知函数．(1)当，求曲线在点处的切线方程；(2)若，求函数极值点的个数；(3)若对任意的实数恒成立，求实数的取值范围．【答案】(1)(2)2个(3)【分析】（1）切线斜率等于函数在该点的导数值，结合点斜式直线方程即可求解；（2）多次求导得函数的单调性，进而求出函数的极值点即可判断；（3）分离参数得在上恒成立，令，多次求导得其单调性，然后求解最值即可．【详解】（1）当时，，所以．所以．所以曲线在点处的切线方程为，即．（2）由，得，令，则．当时，，当时，，所以在区间上是减函数，在区间上是增函数．所以的最小值为．，又在单调递减，在单调递增，故存在，使得，所以，在区间上，在区间上．所以，在区间上单调递增，在区间上单调递减，故是函数的极大值点．同理：存在，使得，所以，在区间上，在区间上．所以，在区间上单调递减，在区间上单调递增，故是函数的极小值点．综上：函数极值点有2个．（3）对任意的实数恒成立，等价于在上恒成立，得，令，则．令，则．因为，所以，所以在上是增函数，所以，所以，所以在上是增函数，所以的最小值为．所以，即实数的取值范围．23．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）已知函数，直线l为曲线在点处的切线．O为坐标原点．(1)求函数的单调区间；(2)设，研究函数的零点个数；(3)若l与x轴、y轴分别交于点A，B，且为等腰直角三角形，求的面积．【答案】(1)单调递减区间为：，单调递增区间为：.(2)无零点.(3)面积.【分析】（1）先求定义域，再求导找零点，划分区间判符号，确定单调减区间，再确定单调增区间.（2）提取公因式转化函数，求导找单调性与最小值，判断最小值恒正，推出函数恒正，故无零点.（3）先求切线方程得截距坐标，由等腰直角得边长相等，分类讨论去绝对值，构造函数求零点，算出坐标求面积.【详解】（1）定义域：，函数求导得.令，得.当时，，单调递减；当时，，单调递增.综上所述,单调递减区间为：，单调递增区间为：.（2）由题可知，所以研究函数的零点个数等价于研究的零点个数.，令得.，，单调递减；，，单调递增.所以函数有极小值同时也为最小值.故恒成立，所以无零点.（3）函数求导得.所以，切线：.化简得.所以由题可知分别令可得，.为等腰直角三角形，且，故.即，因为，所以化简得.若即.代入：左边,右边.此时都与原点重合,不能构成三角形,舍去.若两边约去,得：令,则,方程变为：.情况1:,即,设,时,,,单调递增.因为,故唯一解即,此时,.等腰直角三角形面积.情况2:,即,设,单调递增;,,单调递减。函数有极大值同时也为最大值.所以恒成立,方程无解.综上,方程只有唯一解,,,面积.24．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）设函数（）.(1)当时，求证：直线是曲线的切线；(2)求的单调区间；(3)判断函数是否存在极值.如果存在，求出所有的极值；如果不存在，说明理由.【答案】(1)若，则的定义域为，且，令，可得，解得或（舍去），且，则在处的切线方程为，所以直线是曲线的切线.(2)当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为(3)无极值，理由如下：因为，且，若，则的定义域为，当时，；当时，；则，且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则，即，可知在定义域内单调递增，所以无极值；若，则的定义域为，当时，；当时，；则，且函数的单调递减区间为，单调递增区间为，则，即，可知在定义域内单调递增，所以无极值；综上所述：无极值.【分析】（1）代入求导，分析可知当且仅当时，，且，结合导数的几何意义分析证明；（2）求导，分和两种情况，结合导数分析原函数单调性，注意函数定义域；（3）求导，分和两种情况，结合（2）中的单调性以及的符号分析的符号性，即可判断.【详解】（1）略（2）因为，，令，解得或，若，由解得，即的定义域为，且，当时，；当时，；可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为；若，由解得，即的定义域为，且，当时，；当时，；可知函数的单调递减区间为，单调递增区间为；综上所述：当，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；当时，函数的单调递减区间为，单调递增区间为.（3）略25．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知函数．(1)当时，若曲线在点处的切线与轴平行，求点的坐标；(2)求证：对于任意的，且，都有；(3)当时，求证：有且只有一个零点，且．【答案】(1)(2)要证对任意且，都有，等价于证，令，只需证在上单调递增，求导得，令，，又，则，在区间上单调递增，即在区间上单调递增，又，，因此在上单调递增，原不等式得证．(3)，求导得，令，得，又，当时，单调递减；当时，单调递增；故在处取得极小值，，当，，当时，，从而，结合在上单调递减，可知当时，恒有，故在上无零点；当时，，又且在上单调递增，由零点存在定理及单调性知，在上存在唯一的零点，综上，当，有且只有一个零点.由于在上单调递增，且，要证，只需证，

，因为，所以，从而，故，又，所以，从而，得证.【分析】（1）利用导数几何意义，切线平行于轴即斜率为零，通过解导数为零的方程并结合函数表达式确定点坐标；（2）将分式不等式转化为函数单调性问题，构造函数并利用导数判断其单调性，从而证明原不等式成立；（3）先通过导数分析函数单调性与极值，结合极限与零点存在定理说明唯一零点；再借助函数单调性，将自变量范围比较转化为函数值大小比较，代入后利用已知参数范围证明不等式.【详解】（1）当时，，求导得，切线与轴平行，即切线斜