专题06 解析几何（7年真题汇编+1年模拟）2020-2026年高考数学真题分类汇编（北京专用）（解析版）

高考真题分类解析PAGEPAGE1专题06解析几何7年真题1年模拟考点分类北京考情（2020-2026）命题规律直线与圆2020圆心轨迹、2022对称轴、2024距离、2026相切，共4道小题基础送分题，考查点到直线距离、切线、对称性；题量少，难度常年稳定双曲线2020焦点渐近线、2021方程、2022/2026渐近线、2023方程、2024公共点、2025离心率，每年1道小题必考小题，离心率、渐近线为高频考点；2024起开放型"写出一个值"题型增多，灵活性增强抛物线2020垂直平分线、2021面积、2023距离、2024/2025焦点坐标，共5道小题定义与焦半径是核心；侧重基础性质考查，题量少于双曲线，难度中等椭圆2020–2026每年1道压轴大题，共7题绝对主力大题，固定两小问：求方程+综合探究；2024后对称点、面积比较、斜率定值等创新设问频繁，运算量加大轨迹问题2022三棱锥截面、2024点集区域，共2道小题常与立体、函数交叉命题；由求轨迹方程转向分析轨迹图形面积、最值，数形结合要求高小结：椭圆大题地位稳固且综合性逐年加强；双曲线小题必考；轨迹题跨模块融合是近年新趋势。考点01直线与圆1．（2026·北京·高考真题）已知直线与圆相切，则________．【答案】【解析】圆的圆心为，半径.由直线与圆相切，则得，解得.2．（2024·北京·高考真题）圆的圆心到直线的距离为（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】由题意得，即，则其圆心坐标为，则圆心到直线的距离为.故选：D.3．（2022·北京·高考真题）若直线是圆的一条对称轴，则（

）A． B． C．1 D．【答案】A【解析】由题可知圆心为，因为直线是圆的对称轴，所以圆心在直线上，即，解得．故选：A．4．（2020·北京·高考真题）已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为（）．A.4 B.5 C.6 D.7【答案】A【解析】设圆心，则，化简得，所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，所以，所以，当且仅当在线段上时取得等号，故选：A.考点02双曲线方程及其性质1．（2026·北京·高考真题）已知双曲线：的渐近线方程为，则的值为（）A.2 B.3 C.4 D.9【答案】B【解析】因为双曲线为，则渐近线为，又因为渐近线为，且，所以.2．（2025·北京·高考真题）双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】由得，，所以，即，所以，故选：B．3．（2024·北京·高考真题）若直线与双曲线只有一个公共点，则的一个取值为．【答案】（或，答案不唯一）【解析】联立，化简并整理得：，由题意得或，解得或无解，即，经检验，符合题意.故答案为：（或，答案不唯一）.4．（2023·北京·高考真题）已知双曲线C的焦点为和，离心率为，则C的方程为．【答案】【解析】令双曲线的实半轴、虚半轴长分别为，显然双曲线的中心为原点，焦点在x轴上，其半焦距，由双曲线的离心率为，得，解得，则，所以双曲线的方程为.故答案为：5．（2022·北京·高考真题）已知双曲线的渐近线方程为，则．【答案】【解析】对于双曲线，所以，即双曲线的标准方程为，则，，又双曲线的渐近线方程为，所以，即，解得；故答案为：6．（2021·北京·高考真题）若双曲线离心率为，过点，则该双曲线的方程为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】，则，，则双曲线的方程为，将点的坐标代入双曲线的方程可得，解得，故，因此，双曲线的方程为.故选：B7．（2020·北京·高考真题）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．【答案】①.②.【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，双曲线的渐近线方程为，即，所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.故答案为：；.考点03抛物线方程及其性质1．（2025·北京·高考真题）已知抛物线的顶点到焦点的距离为3，则．【答案】【解析】因为抛物线的顶点到焦距的距离为，故，故，故答案为：.2．（2024·北京·高考真题）抛物线的焦点坐标为．【答案】【解析】由题意抛物线的标准方程为，所以其焦点坐标为.故答案为：.3．（2023·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在上．若到直线的距离为5，则（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【解析】因为抛物线的焦点，准线方程为，点在上，所以到准线的距离为，又到直线的距离为，所以，故.故选：D.4．（2021·北京·高考真题）已知抛物线的焦点为，点在抛物线上，垂直轴于点.若，则点的横坐标为；的面积为．【答案】5【解析】因为抛物线的方程为，故且.因为，，解得，故，所以，故答案为：5；.5．（2020·北京·高考真题）设抛物线的顶点为，焦点为，准线为．是抛物线上异于的一点，过作于，则线段的垂直平分线（）．A.经过点 B.经过点C.平行于直线 D.垂直于直线【答案】B【解析】如图所示：．因为线段的垂直平分线上的点到的距离相等，又点在抛物线上，根据定义可知，，所以线段的垂直平分线经过点.故选：B.考点04椭圆方程及其性质（2026·北京·高考真题）已知椭圆：（）的一个顶点是，离心率为．（1）求的方程；（2）过点，斜率为的直线交椭圆于、两点，关于的对称点为，交于，若，求．【答案】（1）（2）【解析】【小问1详解】由题意可得，则，即，故的方程为；【小问2详解】由题意可得，设、，由关于直线对称的点为，则，联立，消去得：，由，故在椭圆内部，故恒成立，有、，则，，，联立，则，即，整理得，即，点到直线的距离，点到直线的距离，又，则，，故，即有，若，则，无解，不符；则，有，解得；故.2．（2025·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，椭圆E上的点到两焦点的距离之和为4.(1)求椭圆E的方程；(2)设O为坐标原点，点在椭圆E上，直线与直线，分别交于点A，B．设与的面积分别为，比较与的大小．【解析】（1）由椭圆可知，，所以，又，所以，，故椭圆E的方程为；（2）联立，消去得，，整理得，①，又，所以，，故①式可化简为，即，所以，所以直线与椭圆相切，为切点.设，易知，当时，由对称性可知，．故设，易知，联立，解得，联立，解得，所以，，故．法二：不妨设，易知，当时，由对称性可知，．故设，联立，解得，联立，解得，则，，,又，所以，所以，，则，即，所以.3．（2024·北京·高考真题）已知椭圆：，以椭圆的焦点和短轴端点为顶点的四边形是边长为2的正方形.过点且斜率存在的直线与椭圆交于不同的两点，过点和的直线与椭圆的另一个交点为．(1)求椭圆的方程及离心率；(2)若直线BD的斜率为0，求t的值．【解析】（1）由题意，从而，所以椭圆方程为，离心率为；（2）直线斜率不为0，否则直线与椭圆无交点，矛盾，从而设，，联立，化简并整理得，由题意，即应满足，所以，若直线斜率为0，由椭圆的对称性可设，所以，在直线方程中令，得，所以，此时应满足，即应满足或，综上所述，满足题意，此时或.4．（2023·北京·高考真题）已知椭圆的离心率为，A、C分别是E的上、下顶点，B，D分别是的左、右顶点，．(1)求的方程；(2)设为第一象限内E上的动点，直线与直线交于点，直线与直线交于点．求证：．【解析】（1）依题意，得，则，又分别为椭圆上下顶点，，所以，即，所以，即，则，所以椭圆的方程为.（2）因为椭圆的方程为，所以，因为为第一象限上的动点，设，则，易得，则直线的方程为，，则直线的方程为，联立，解得，即，而，则直线的方程为，令，则，解得，即，又，则，，所以，又，即，显然，与不重合，所以.5．（2022·北京·高考真题）已知椭圆的一个顶点为，焦距为．(1)求椭圆E的方程；(2)过点作斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与x轴交于点M，N，当时，求k的值．【解析】（1）依题意可得，，又，所以，所以椭圆方程为；（2）依题意过点的直线为，设、，不妨令，由，消去整理得，所以，解得，所以，，直线的方程为，令，解得，直线的方程为，令，解得，所以，所以，即即即整理得，解得6．（2021·北京·高考真题）已知椭圆一个顶点，以椭圆的四个顶点为顶点的四边形面积为．（1）求椭圆E的方程；（2）过点P(0，-3)的直线l斜率为k的直线与椭圆E交于不同的两点B，C，直线AB，AC分别与直线交于点M，N，当|PM|+|PN|≤15时，求k的取值范围．【解析】（1）因为椭圆过，故，因为四个顶点围成的四边形的面积为，故，即，故椭圆的标准方程为：.（2）设，因为直线的斜率存在，故，故直线，令，则，同理.直线，由可得，故，解得或.又，故，所以又故即，综上，或.7．（2020·北京·高考真题）已知椭圆过点，且．（Ⅰ）求椭圆C的方程：（Ⅱ）过点的直线l交椭圆C于点,直线分别交直线于点．求的值．【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）1.【解析】(Ⅰ)设椭圆方程为：，由题意可得：，解得：，故椭圆方程为：.(Ⅱ)[方法一]：设，，直线的方程为：，与椭圆方程联立可得：，即：，则：.直线MA的方程为：，令可得：，同理可得：.很明显，且，注意到，，而，故.从而.[方法二]【最优解】：几何含义法①当直线l与x轴重合，不妨设，由平面几何知识得，所以．②当直线l不与x轴重合时，设直线，由题意，直线l不过和点，所以．设，联立得．由题意知，所以．且．由题意知直线的斜率存在．．当时，．同理，．所以．因为，所以．考点05轨迹问题1．（2024·北京·高考真题）已知是平面直角坐标系中的点集.设是中两点间距离的最大值，是表示的图形的面积，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】C【解析】对任意给定，则，且，可知，即，再结合x的任意性，所以所求集合表示的图形即为平面区域，如图阴影部分所示，其中，可知任意两点间距离最大值，阴影部分面积.故选：C.2．（2022·北京·高考真题）已知正三棱锥的六条棱长均为6，S是及其内部的点构成的集合．设集合，则T表示的区域的面积为（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】设顶点在底面上的投影为，连接，则为三角形的中心，且，故.因为，故，故的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，而三角形内切圆的圆心为，半径为，故的轨迹圆在三角形内部，故其面积为故选：B一、单选题1．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）双曲线的焦距为（

）A．1 B． C． D．4【答案】D【分析】由双曲线的标准方程求出参数，进而由参数关系求得，从而求得焦距.【详解】由题意得，则，则双曲线的焦距为.2．（北京市房山区2026届高三第一次综合练习数学试题）已知抛物线的焦点为，过点的直线与抛物线交于两点，若，则（

）A． B． C． D．【答案】A【详解】抛物线的焦点，设，由，得，解得，因此轴，由对称性得，所以.3．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）抛物线的焦点为F，点A在W上，且，则线段中点的横坐标为（

）A．2 B． C．3 D．【答案】C【分析】根据方程可得焦点和准线，结合抛物线定义可得，即可得结果.【详解】由题意可知：抛物线的焦点为，准线为，设，则，解得，所以线段中点的横坐标为.4．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知双曲线的一条渐近线方程为，则（

）A． B．3 C． D．【答案】B【详解】由题知，双曲线焦点位于x轴上，故，渐近线方程为，而已知双曲线的一条渐近线方程为，故，解得.5．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知双曲线的离心率为，则的值为（

）A． B． C． D．2【答案】B【详解】因为方程表示双曲线，所以，所以方程可化为：，表示焦点在轴上的双曲线.所以，，由.6．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）双曲线的焦点坐标为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据双曲线的定义及标准方程求解即可.【详解】根据双曲线的定义可得，，，且焦点在轴上，方程可化为.此时，，则，所以该双曲线的焦点为.7．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知点，点，当变化时，的最小值为（

）A．3 B．4 C．5 D．6【答案】A【分析】根据两点间距离公式将问题转化为关于参数的二次函数，再利用二次函数的性质求最小值.【详解】已知点和点，根据两点间距离公式可得：，故当时，.故选：A8．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）直线与圆相交于A，B两点，则（

）A． B． C．2 D．4【答案】B【分析】由圆的标准方程得到圆心和半径，再根据圆的半径、圆心到直线的距离、半弦长的关系求解.【详解】由，可得标准方程：，则圆心坐标为，圆的半径.由直线的方程为，得圆心到直线的距离：，所以.9．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）设点为坐标原点，过双曲线的右焦点作其一条渐近线的垂线，垂足为点，则（

）A． B． C．2 D．【答案】A【详解】如图所示，由双曲线方程可知，，则其右焦点的坐标为，渐近线方程为，取其中一条渐近线，过右焦点作渐近线的垂线，垂足为，则右焦点到该渐近线的距离为，且为直角三角形，，所以，因此.10．（北京市朝阳区2025-2026学年高三上学期期末数学试题）已知两点的坐标分别为，直线相交于点，且它们的斜率之和是2，设的轨迹为曲线，下面关于曲线的四个结论：①曲线是中心对称图形；②对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点；③对任意非零实数，直线与曲线总有两个公共点；④对任意非零实数，曲线与曲线总有两个公共点．其中所有正确结论的序号是（

）A．①③ B．①② C．②③④ D．①②④【答案】B【分析】由题可得曲线C方程满足：.对于①，通过验证，是否均在曲线上可判断正误；对于②③④，将对应方程与曲线方程联立，通过判断联立方程在题设限制下根的个数可判断正误.【详解】设，由题可得.对于①，设在曲线C上，则.对于，代入方程左边可得，从而也在曲线C上，即曲线C为中心对称图形，故①正确；对于②，将与联立，则.对于方程，其判别式为，则方程总有两相异实根，又注意到当且仅当，方程有根，则不为0时，与曲线C总有两不同交点，故②正确；对于③，将与联立，则，显然时，方程无实数根，则当时，与曲线C无交点，故③错误；对于④，将与联立，则，显然时，方程无实数根，则当时，与曲线C无交点，故④错误.综上，可得①②正确.故选：B11．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知抛物线：的焦点为，.若上存在点，使得，且的面积为，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】由题设，图形结合抛物线定义可得关于的表达式，据此可得答案.【详解】由题可得，则，从而.又抛物线准线为，过A作准线垂线，垂足为，由抛物线定义可得，则，从而.12．（北京市丰台区2025-2026学年度高三第二学期综合练习（一）数学试题）已知双曲线的焦点为和，虚半轴长为，则的标准方程为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根据双曲线的标准方程和几何性质求解即得.【详解】因为双曲线的焦点为和，虚半轴长为，所以设双曲线方程为：，其中，因为，所以，所以双曲线方程为：.13．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）若双曲线：与椭圆的焦点相同，则双曲线的离心率为（

）A． B． C． D．4【答案】C【详解】对椭圆，因为，且，所以椭圆的焦点坐标为.对双曲线：，其中，所以，.又椭圆与双曲线焦点相同，所以.所以双曲线的离心率为：.故选项C正确.14．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）若圆锥曲线的焦距为4，则其离心率为（

）A．2 B． C． D．【答案】D【详解】由圆锥曲线，可知，则，所以，曲线为双曲线，所以焦距为，解得，则，所以离心率.15．（顺义区20025-2026学年第一学期期末质量监测高三数学试卷）过直线上的点作圆的两条切线，切点分别为，若的面积与面积相等，则的一个可能取值为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据的面积与的面积相等这一条件，结合圆的切线性质，得出的长度，最后根据点到直线的距离公式求出的范围.【详解】由，得，所以.因为，所以四点共圆，所以，所以，又，所以，又，所以=1，因此得，因为点在直线上，且的最小值为圆心到直线的距离,，因为，所以，解得，在各选项中只有选项C满足.故选：C16．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）已知半径为1的圆经过，则其圆心到直线的距离的最小值为（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】B【分析】设圆心坐标，可得圆心满足的条件，再用三角换元及辅助角公式可得距离的最小值.【详解】设圆心为，因为圆经过，且半径为1，所以，令，即.所以圆心到直线的距离为，其中.当且仅当时等号成立.所以圆心到直线的距离的最小值为3.故选：B17．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）在平面直角坐标系中，点M在圆心为C的圆上．若动点P满足，则对于，点P到直线的距离的最大值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出圆C的圆心和半径，根据数量积的几何意义，可得，进而可得点P的轨迹方程，根据直线恒过定点，结合点与圆的位置关系，分析求解，即可得答案.【详解】圆C的方程变形为，圆心，半径，又，，所以，即在方向上的投影为，所以，又，所以，则点P的轨迹是以C为圆心，2为半径的圆，又直线恒过定点，所以，则P到直线的距离的最大值为.18．（北京市石景山区2026届高三上学期期末考试数学试题）已知是平面直角坐标系中的点集．设是中的点与点的距离，是表示的图形的面积，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由题意可得，点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界），作出图象，数形结合得解.【详解】，，所以，所以，又，可得，所以，故，所以点集表示的是曲线，直线以及围成的区域（包括边界）.令，则，且在上单调递增，又在上单调递减，在上单调递增，所以在上单调递减，在上单调递增，作出图象如图所示，易得，，，，，由图易得，表示的图形的面积小于矩形的面积，故.故选：A.19．（北京市石景山区2026届高三下学期第一次统一练习数学试题）在平面直角坐标系中，当不是原点时，定义的“对应点”为，当是原点时，定义的“对应点”为它自身：将曲线上所有点的“对应点”构成的曲线定义为曲线的“对应曲线”.现有下列命题：①若点的“对应点”是点，则点的“对应点”是点；②单位圆的“对应曲线”是它自身；③直线的“对应曲线”一定是直线.其中正确命题的个数是（

）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】根据对应点的定义对三个命题逐一判断.【详解】对于①：设不是原点，则，记，则，其中，计算的对应点：.，即，不是，所以①错误；对于②：单位圆上的点满足，因此对应点为.对，有，说明仍在单位圆上；反之，单位圆上任意点，则点在单位圆上.因此单位圆的对应曲线就是单位圆本身，所以②正确；对于③：取直线（平行于轴的直线），设其上点，对应点为.令，消去：.整理得，即，这是圆，不是直线，所以③错误.所以正确命题的个数只有②一个.20．（北京市丰台区2025-2026学年高三上学期期末统一检测数学试题）我国古代数学家赵爽在《周髀算经》中利用一幅“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称该“弦图”为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示.若，，M为正方形EFGH及其内部的动点，则的取值范围是（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】建立如图直角坐标系，由向量运算转化为求范围，再利用直线纵截距的最值，即可求解.【详解】以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，建立如图直角坐标系，因为，，由直角三角形全等可知，

∴，设，则，令，则，即可化为直线与正方形及其内部有交点时纵截距的取值范围，当直线过时，有最大值，此时，当直线过时，有最小值，此时.所以，故选：C21．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）三角形的重心是指三角形三条中线的交点，垂心是指三条高的交点，且已知三角形的重心、垂心位于同一条直线上，这条直线被后人称为三角形的“欧拉线”．在平面直角坐标系中作，，点，点，且其“欧拉线”与圆相切，则圆M上的点到直线的距离的最小值为（

）．A． B． C． D．【答案】D【详解】因为在中，，所以边上的高线和中线合一，则其“欧拉线”为边的垂直平分线，因为点，点，，因为直线的斜率为，所以的垂直平分线的斜率为，所以的垂直平分线方程为，即，因为“欧拉线”与圆相切，所以圆心到“欧拉线”的距离为，即，圆心到直线的距离为，由圆的对称性可知，圆M上的点到直线的距离的最小值为.22．（北京密云区2025-2026学年第二学期阶段练习高三数学试卷）已知直线与相交于点，直线与圆交于两点，且，则的最大值为（

）A．2 B．4 C．8 D．16【答案】D【分析】先确定点的轨迹，再确定线段中点的轨迹，将问题转化为两圆上两点的距离问题求解.【详解】直线：，所以直线过定点；直线：，所以直线过定点.又，所以.所以点的轨迹是以线段为直径的圆.因为的中点为，，所以点的轨迹方程为：.因为直线与圆交于两点，且，所以圆心到直线的距离为1，设的中点为，则.如图：，且,所以，即的最大值为.二、填空题23．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知抛物线的准线方程为，那么的焦点到准线的距离为______．【答案】2【详解】抛物线的准线方程为，依题意，，而的焦点为，所以其焦点到准线的距离为.24．（北京市通州区2026届高三下学期4月模拟考试数学试卷）已知直线过抛物线的焦点，则________．【答案】2【详解】抛物线的焦点为，因为直线过抛物线的焦点，所以，解得.25．（北京市门头沟区2026届高三下学期3月综合练习数学试题）已知抛物线的焦点到其准线的距离为，点在上，若，则点的横坐标为________．【答案】6【详解】由题知抛物线的焦点F到其准线的距离为2，故，而点在上，，根据抛物线定义可知到准线的距离，解得.26．（北京市西城区2026届高三4月统一测试试卷数学）设抛物线的准线为l，为C上一点，则P到l的距离为______．【答案】【分析】根据题意，利用抛物线的定义，即可求解.【详解】由抛物线，可得焦点为，准线方程为，因为为C上一点，根据抛物线的定义，可得点到准线距离为.27．（北京市海淀区2025—2026学年第二学期期中练习高三数学）已知双曲线的左、右焦点分别为，.若C上一点P满足，则______.【答案】7【分析】根据方程可得，结合双曲线的定义运算求解.【详解】由题意可知：，，则，由双曲线定义可得，即，解得或（舍去），且，符合题意，所以.28．（北京市平谷区2025-2026学年高三下学期一模质量监控数学试卷）在平面内，点位于直线的右侧，点到点的距离与到直线的距离之积为4．给出下列四个结论：①点过坐标原点；②；③若点在第一象限内，的最大值为1；④点经过3个整点（即横、纵坐标均为整数的点）．其中正确结论的序号是______．【答案】①②④【分析】先求出点P的轨迹方程，将原点O代入轨迹方程即可判断①；由点位于直线的右侧和即可求解判断②；由时求出y即可判断③；由x的取值范围将x的整数取值代入轨迹方程求出y即可判断④.【详解】点到点的距离为，到直线的距离为，则，即点的轨迹方程为，将点代入点P的轨迹方程得，所以点过坐标原点，①正确；因为点位于直线的右侧，所以，又，所以，②正确；对于③：在中，当时，化简得，当点在第一象限时，取，则，所以点在第一象限内，的最大值一定大于，故③不正确；因为，令，所以点共经过这3个整点（即横、纵坐标均为整数的点），④正确．29．（北京延庆区2025-2026学年第二学期试卷高三数学）已知抛物线上一点到焦点的距离为4，则______．【答案】【分析】利用焦半径公式求，再利用抛物线的方程求.【详解】由题意.所以.30．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知抛物线，则的准线的方程为______；若圆分别与直线和轴都相切，且圆心在上，则圆的半径为______.【答案】【分析】根据抛物线方程求出准线方程，设出圆心坐标，根据题意列方程求出圆心坐标，半径即为圆心到轴的距离.【详解】由抛物线可知的准线的方程为，因为圆心在上，设圆的圆心坐标，又因为圆分别与直线和轴都相切，所以，解得或，所以圆的半径.31．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知圆与抛物线的准线的一个交点为（A在x轴上方），点关于轴的对称点在抛物线上，则_____；若直线上存在点，使得，则的取值范围为______．【答案】【详解】由抛物线的准线方程为，则可设交点，因为点在圆上，所以，又点关于轴的对称点，代入抛物线方程得，将代入可得：，因为，所以解得，，

由题意，则可得，，因为，则在以为直径的圆上，所以该圆圆心为，半径，圆方程为，由直线上存在满足条件的，等价于该直线与圆有公共点，即圆心到直线的距离不大于半径：，解得，即的取值范围为.32．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知直线与圆交于两点.若圆弧的长恰为圆周长的，则________.【答案】或【分析】根据题意，得到，取的中点，得到，且，结合点到直线的距离公式，即可求解.【详解】由圆，可得圆心，半径为，因为直线与圆交于两点，且圆弧的长恰为圆周长的，如图所示，可得，即为等腰直角三角形，取的中点，连接，可得，因为，可得，即圆心到直线的距离为，所以，解得或.33．（北京市通州区2026届高三上学期摸底考试数学试题）已知曲线，直线与曲线交于、两点.给出下列四个结论：①，，总有；②当时，；③曲线所围成区域的面积为；④当时，，总有.其中正确结论的序号是______.【答案】①④【分析】分析出曲线关于原点对称，可知、也关于原点对称，可判断①；当时，求出关于的表达式，结合基本不等式求出的最大值，可得出的最大值，可判断②；分析可知曲线关于直线、对称，求出曲线与这两条直线的四个交点围成的菱形的面积，可判断③；利用配方法得出，求出的取值范围，可判断④.【详解】对于①，在曲线上任取一点，则该点关于原点的对称点为，所以，即点在曲线上，故曲线关于原点对称，又因为函数为奇函数，点、是直线与曲线的交点，故点、关于原点对称，所以，，总有，①对；对于②，当时，曲线的方程为，联立可得，可得，即，所以，若取最大值，必有，由基本不等式可得，当且仅当时，即当时，等号成立，即，故，②错；对于③，在曲线上取点，该点关于直线的对称点为，因为，即点在曲线上，故曲线关于直线对称，点关于直线的对称点为，因为，故曲线关于直线对称，由基本不等式可得，即，当且仅当或时，等号成立，所以，取点、，所以，同理可得，所以，故曲线是以点、为焦点的椭圆，设曲线交直线于、两点，联立可得，此时，

设曲线交直线于、两点，联立可得，故，易知四边形为菱形，该菱形的面积为，故曲线所围成区域的面积大于菱形的面积，即曲线所围成区域的面积不为，③错；对于④，当时，曲线的方程为，则，可得，解得，当时，，总有，④对.故答案为：①④.34．（北京市海淀区2026届高三上学期期末练习数学试题）已知曲线，给出以下四个结论：①曲线是轴对称图形；②曲线不经过整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积；④曲线与直线有公共点.其中所有正确结论的序号是________________.【答案】①③【详解】对于①，设为曲线上任意一点，则，又因为关于的对称点为，且，所以在曲线上，所以曲线关于的对称，所以曲线是轴对称图形，故①正确；对于②，因为，所以点在曲线上，故②错误；对于③，设曲线与轴正半轴交点为，与轴负半轴交点为，设曲线，易知曲线与曲线关于轴对称，所以曲线过交点，设曲线与轴负半轴交点为，设直线与曲线和曲线在第二象限的交点分别为，，于是可得，即，下面分析的大小，若，则，所以，所以或，即或，显然均不成立，故；若，则，所以，所以，所以，所以，所以或，即或，显然与矛盾，故不成立；若，则，所以，所以，所以，所以，所以且，即且，显然与可以同时满足，故成立，所以曲线在第二象限的面积小于曲线在第二象限的面积，进而可知曲线围成的区域在第一象限的面积大于在第二象限的面积，故③正确；对于④，联立，消去得，因为，所以方程无根，所以曲线与直线无公共点，故④错误.故答案为：①③

三、解答题35．（北京市朝阳区2026届高三年级第二学期质量检测一数学试卷）已知椭圆：（）的离心率为，，分别为椭圆的上、下顶点，且.(1)求椭圆的方程；(2)过点的斜率存在且不为1的直线与椭圆交于不同的两点，（均不与点重合），点与点关于原点对称，直线与直线交于点.求证：直线经过点.【答案】(1)；(2)设直线的方程为，点，则点，直线的方程为，直线的方程为，联立解得点，由消去得，则，，而点，则，，即，又有公共点，则点三点共线，所以直线经过点.36．（北京市顺义区2026届高三统一测试试卷数学试卷）已知椭圆：的左右顶点为，，，焦距为.(1)求椭圆的方程；(2)设为原点，是上不同于，的一点，的中点为，直线与直线交于点，直线与交于点.是否存在点使得直线平行于直线成立?说明理由.【答案】(1)；(2)不存在满足条件的点，理由如下：由题意得，设，中点坐标为，直线的斜率方程为，令得，直线的斜率方程为，若，则，而，故，将代入化简得：，因为在椭圆上，代入椭圆方程，结合在椭圆上满足，化简最终得：，此时与重合，不符合“不同于”的条件，因此不存在满足条件的点.37．（北京市东城区2025-2026学年第二学期高三综合练习（一）数学试题）已知椭圆经过点，离心率为.(1)求椭圆的方程；(2)过点作斜率为的直线与椭圆交于，两点，点不在直线上，直线，分别交直线于点，．求证：四边形为平行四边形.【答案】(1)(2)证明见详解【详解】（1）把点代入，得解得，所以，椭圆的方程为：;（2）设直线AB方程为,,那么化简可得，根据韦达定理可知，直线AE方程为,所以,点，直线BE方程为,所以,点,,所以，,即,同理，,所以，,即,故四边形为平行四边形.38．（北京市昌平区2026届高三年级第一次统一练习数学试卷）已知椭圆的焦点是长轴的四等分点，点和点都在椭圆上，直线与轴交于点．(1)求椭圆的方程；(2)设为原点，点与点关于轴对称，直线与轴交于点．在轴上是否存在点，使得？若存在，求点的坐标；若不存在，说明理由．【答案】(1)(2)存在，.【详解】（1）由题意得，，，则，则椭圆的方程为；（2）因为在椭圆上，且点与点关于轴对称，所以，，则直线，令，则，则，直线，令，则，则，设，则，因为，所以，得，因为，所以，故