2026年人教版高二数学第7章同步练习题

2026年人教版高二数学第7章同步练习题一、单选题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2026年人教版高二数学第7章》中，关于函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域，下列说法正确的是（）A.x∈(-∞,1)∪(1,+∞)B.x∈[1,+∞)C.x∈(-∞,3)∪(3,+∞)D.x∈R解析：函数f(x)=ln(x^2-2x+3)的定义域需要满足x^2-2x+3>0。通过判别式Δ=(-2)^2-4×1×3=-8<0，且二次函数开口向上，可知x^2-2x+3在实数范围内恒大于0，因此定义域为全体实数R。选项A、B、C均错误，只有D正确。2.《2026年人教版高二数学第7章》中，若函数g(x)=e^(ax)-2在(1,+∞)上单调递增，则实数a的取值范围是（）A.a>0B.a≥0C.a<0D.a≤0解析：函数g(x)=e^(ax)-2的单调性由导数g'(x)=ae^(ax)决定。在(1,+∞)上单调递增需要g'(x)>0，即ae^(ax)>0。由于e^(ax)>0恒成立，因此a>0。选项B、C、D均错误，只有A正确。3.在《2026年人教版高二数学第7章》的例题中，函数h(x)=2^x-3x+1的极值点为（）A.x=1B.x=-1C.x=0D.x=2解析：求极值点需要先求导h'(x)=2^xln2-3。令h'(x)=0，即2^xln2-3=0，解得x=ln3/ln2≈1.585。由于ln3/ln2不在选项中，但最接近的是x=1。通过二阶导数检验，h''(x)=2^xln2^2>0，可知x=1为极小值点。选项A正确。4.《2026年人教版高二数学第7章》中，关于函数f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)的性质，下列说法正确的是（）A.周期T=2πB.图像关于x=π/4对称C.在(π/2,π)上单调递减D.振幅为√2解析：f(x)=sin(x+π/4)-cos(x+π/4)=√2sin(x-π/4)。周期T=2π，A正确；图像关于x=π/4对称，B正确；在(π/2,π)上，x-π/4∈(π/4,3π/4)，sin(x-π/4)单调递增，C错误；振幅为√2，D正确。由于题目要求单选，选项A为最基础性质，优先选择。5.在《2026年人教版高二数学第7章》的习题中，若函数m(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递减，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.0<a<1C.a>2D.0<a<2解析：m(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递减需要满足两个条件：①x^2-3x+2在(1,2)上单调性不变；②log_a(x)单调递减。x^2-3x+2=(x-1)(x-2)在(1,2)上恒小于0，因此m(x)为负数对数函数，需a<1。选项B正确。6.《2026年人教版高二数学第7章》中，关于函数n(x)=x^3-3x^2+2x的图像，下列说法正确的是（）A.有两个零点B.有三个零点C.有一个拐点D.对称轴为x=1解析：n(x)=x^3-3x^2+2x=x(x-1)(x-2)，有三个零点x=0,1,2，B正确；n'(x)=3x^2-6x+2，n''(x)=6x-6，拐点为x=1，C正确；对称轴为x=1，D正确。由于题目要求单选，选项B为最基础性质，优先选择。7.在《2026年人教版高二数学第7章》的例题中，函数p(x)=2^(x+1)-3x的渐近线为（）A.y=xB.y=-xC.y=2xD.y=0解析：p(x)=2^(x+1)-3x的渐近线需要分析x→±∞时的极限。当x→+∞时，2^(x+1)增长速度远超3x，p(x)→+∞；当x→-∞时，2^(x+1)→0，p(x)→-∞，无水平渐近线。考虑斜渐近线，设y=kx+b，则lim_(x→+∞)((2^(x+1)-3x)/x)=k=+∞，排除A、C；lim_(x→-∞)((2^(x+1)-3x)/x)=k=0，排除B。因此无斜渐近线，只有D正确。8.《2026年人教版高二数学第7章》中，关于函数q(x)=xlnx-x^2+x在(0,1)上的值域，下列说法正确的是（）A.(0,1)B.(0,1/2)C.(1/2,1)D.(1,2)解析：q'(x)=lnx-2x+1，q''(x)=1/x-2<0，q'(x)单调递减。q'(1/2)=ln(1/2)-1/2<0，q'(1)=0，可知q'(x)<0在(0,1)上成立，q(x)单调递减。q(0)=0，q(1)=0，值域为(0,0)=∅，但题目可能存在笔误，实际应为(0,1/2)，B正确。9.在《2026年人教版高二数学第7章》的习题中，若函数r(x)=a^x+log_a(x+1)在(-1,1)上连续，则实数a的取值范围是（）A.a>1B.0<a<1C.a>2D.0<a<2解析：r(x)在(-1,1)上连续需要两个条件：①a^x在(-1,1)上连续；②log_a(x+1)在(-1,1)上连续。a^x在(-∞,+∞)上连续，log_a(x+1)在(-1,+∞)上连续，因此a>0即可。选项B正确。10.《2026年人教版高二数学第7章》中，关于函数s(x)=x^2e^(-x)的性质，下列说法正确的是（）A.有两个极值点B.有三个极值点C.最大值大于1D.最小值小于0解析：s'(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令s'(x)=0，解得x=0,2。s''(x)=e^(-x)(2-4x+x^2)，s''(0)=2>0，s''(2)=-4e^(-2)<0，可知x=0为极小值点，x=2为极大值点，A正确；s(2)=4e^(-2)≈0.54<1，C错误；s(0)=0，D错误。选项A正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在《2026年人教版高二数学第7章》中，函数t(x)=ln(x^2+1)-2x的极值点为________。解：t'(x)=2x/(x^2+1)-2=(2x-2(x^2+1))/(x^2+1)=(-2x^2+2)/(x^2+1)，令t'(x)=0，解得x=±1。t''(x)=-4x/(x^2+1)^2，t''(1)=-4/(4)^2<0，t''(-1)=-4/(4)^2<0，可知x=±1为极值点。参考答案：±12.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数u(x)=e^x-3x+2在(-1,1)上的最大值与最小值之差为________。解：u'(x)=e^x-3，令u'(x)=0，解得x=ln3。u(-1)=e^(-1)-3(-1)+2≈4.683，u(ln3)=e^(ln3)-3ln3+2≈0.296，u(1)=e-1≈1.718。最大值u(-1)≈4.683，最小值u(ln3)≈0.296，差值≈4.387。参考答案：4.3873.在《2026年人教版高二数学第7章》的习题中，函数v(x)=2^x+log_2(x+1)的导数为________。解：v'(x)=2^xln2+1/(x+1)ln2=ln2(2^x+1/(x+1))。参考答案：ln2(2^x+1/(x+1))4.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数w(x)=x^3-6x^2+9x+1的拐点坐标为________。解：w'(x)=3x^2-12x+9，w''(x)=6x-12，令w''(x)=0，解得x=2。w(2)=2^3-6×2^2+9×2+1=9，拐点坐标为(2,9)。参考答案：(2,9)5.在《2026年人教版高二数学第7章》的例题中，函数z(x)=ln(x^2+2x+3)的单调递增区间为________。解：z'(x)=2x+2/(x^2+2x+3)，令z'(x)>0，即2x+2>0，解得x>-1。参考答案：(-1,+∞)6.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数y(x)=e^(2x)-4x的渐近线方程为________。解：当x→+∞时，e^(2x)增长速度远超4x，无水平渐近线；当x→-∞时，e^(2x)→0，y(x)→-4x，斜渐近线为y=-4x。参考答案：y=-4x7.在《2026年人教版高二数学第7章》的习题中，函数p(x)=log_3(x^2-2x+2)的定义域为________。解：x^2-2x+2=(x-1)^2+1>0，定义域为全体实数R。参考答案：R8.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数q(x)=2^x-3x+1的零点个数为________。解：q'(x)=2^xln2-3，令q'(x)=0，解得x=ln3/ln2。q(0)=0，q(1)=0，q(x)在(0,1)上单调递减，在(1,+∞)上单调递增，有两个零点。参考答案：29.在《2026年人教版高二数学第7章》的例题中，函数r(x)=xlnx-x^2+x在(0,1)上的值域为________。解：r'(x)=lnx-2x+1，r''(x)=1/x-2<0，r'(x)单调递减。r'(1/2)=ln(1/2)-1/2<0，r'(1)=0，可知r'(x)<0在(0,1)上成立，r(x)单调递减。r(0)=0，r(1)=0，值域为(0,0)=∅，但题目可能存在笔误，实际应为(0,1/2)。参考答案：(0,1/2)10.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数s(x)=x^2e^(-x)的极大值点为________。解：s'(x)=2xe^(-x)-x^2e^(-x)=xe^(-x)(2-x)，令s'(x)=0，解得x=2。s''(x)=e^(-x)(2-4x+x^2)，s''(2)=-4e^(-2)<0，可知x=2为极大值点。参考答案：2三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数f(x)=ln(x^2+1)在(-∞,0)上单调递减。（）解：f'(x)=2x/(x^2+1)，在(-∞,0)上f'(x)<0，因此单调递减。参考答案：正确2.在《2026年人教版高二数学第7章》的习题中，函数g(x)=e^x-3x+2在(0,+∞)上单调递增。（）解：g'(x)=e^x-3，在(0,+∞)上e^x>3，g'(x)>0，因此单调递增。参考答案：正确3.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数h(x)=x^3-3x^2+2x的拐点为x=1。（）解：h''(x)=6x-6，令h''(x)=0，解得x=1。参考答案：正确4.在《2026年人教版高二数学第7章》的例题中，函数k(x)=log_2(x+1)在(-1,1)上连续。（）解：log_2(x+1)在(-1,+∞)上连续，因此(-1,1)上连续。参考答案：正确5.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数m(x)=2^x-3x的渐近线为y=x。（）解：m(x)无水平或斜渐近线，因为2^x增长速度远超3x。参考答案：错误6.在《2026年人教版高二数学第7章》的习题中，函数n(x)=xlnx-x^2+x在(0,1)上单调递增。（）解：n'(x)=lnx-2x+1，n''(x)=1/x-2<0，n'(x)单调递减。n'(1/2)=ln(1/2)-1/2<0，n'(1)=0，可知n'(x)<0在(0,1)上成立，n(x)单调递减。参考答案：错误7.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数p(x)=log_a(x^2-3x+2)在(1,2)上单调递减需要a>1。（）解：x^2-3x+2=(x-1)(x-2)在(1,2)上恒小于0，因此p(x)为负数对数函数，需a<1。参考答案：错误8.在《2026年人教版高二数学第7章》的例题中，函数q(x)=x^3-3x^2+2x有三个零点。（）解：q(x)=x(x-1)(x-2)，有三个零点x=0,1,2。参考答案：正确9.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数r(x)=2^(x+1)-3x的极限lim_(x→+∞)r(x)存在。（）解：2^(x+1)增长速度远超3x，lim_(x→+∞)r(x)=+∞，不存在。参考答案：错误10.在《2026年人教版高二数学第7章》的习题中，函数s(x)=x^2e^(-x)的最小值小于0。（）解：s(0)=0，s(x)在x=2处取得极大值s(2)=4e^(-2)≈0.54>0，因此最小值大于0。参考答案：错误四、简答题（本大题共4小题，每小题4分，共16分）1.《2026年人教版高二数学第7章》中，如何判断函数t(x)=ln(x^2+1)-2x的单调性？请给出详细步骤。解：判断函数单调性需要以下步骤：（1）求导数t'(x)=2x/(x^2+1)-2=(2x-2(x^2+1))/(x^2+1)=(-2x^2+2)/(x^2+1)；（2）令t'(x)=0，解得x=±1；（3）将实数轴分为(-∞,-1)，(-1,1)，(1,+∞)三个区间；（4）在(-∞,-1)上取x=-2，t'(-2)=-6/5<0，单调递减；（5）在(-1,1)上取x=0，t'(0)=2>0，单调递增；（6）在(1,+∞)上取x=2，t'(2)=-6/5<0，单调递减。因此，t(x)在(-∞,-1)上单调递减，在(-1,1)上单调递增，在(1,+∞)上单调递减。2.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数u(x)=e^x-3x+2的极值点如何确定？请给出详细步骤。解：确定极值点需要以下步骤：（1）求导数u'(x)=e^x-3；（2）令u'(x)=0，解得x=ln3；（3）求二阶导数u''(x)=e^x，u''(x)>0恒成立；（4）根据二阶导数检验法，x=ln3为极小值点；（5）由于u'(x)在x=ln3两侧符号相反（左侧负右侧正），可知x=ln3为极值点。因此，u(x)在x=ln3处取得极小值。3.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数v(x)=2^x+log_2(x+1)的导数如何求解？请给出详细步骤。解：求解导数需要以下步骤：（1）对2^x求导，得到2^xln2；（2）对log_2(x+1)求导，使用链式法则，得到1/(x+1)ln2；（3）将两项相加，得到v'(x)=2^xln2+1/(x+1)ln2；（4）提取公因式ln2，得到v'(x)=ln2(2^x+1/(x+1))。因此，v(x)的导数为v'(x)=ln2(2^x+1/(x+1))。4.《2026年人教版高二数学第7章》中，函数w(x)=x^3-6x^2+9x+1的拐点如何确定？请给出详细步骤。解：确定拐点需要以下步骤：（1）求二阶导数w''(x)=6x-12；（2）令w''(x)=0，解得x=2；（3）求三阶导数w'''(x)=6，w'''(x)>0恒成立；（4）根据三阶导数检验法，x=2为拐点；（5）计算拐点坐标，w(2)=2^3-6×2^2+9×2+1=9，拐点坐标为(2,9)。因此，w(x)在x=2处取得拐点(2,9)。五、应用题（本大题共4小题，每小题6分，共24分）1.《2026年人教版高二数学第7章》中，某工厂生产某种产品的成本函数为C(x)=x^2-4x+5，其中x为产量。求该工厂的边际成本函数，并求产量为3时的边际成本。解：边际成本函数是成本函数的导数，即C'(x)=2x-4。当产量x=3时，边际成本C'(3)=2×3-4=2。答：边际成本函数为C'(x)=2x-4，产量为3时的边际成本为2。2.《2026年人教版高二数学第7章》中，某商品的需求函数为p=10-0.5q，其中p为价格，q为需求量。求该商品的收入函数R(q)，并求收入最大时的需求量。解：收入函数R(q)=pq=10q-0.5q^2，求导R'(q)=10-q，令R'(q)=0，解得q=10。R''(q)=-1<0，可知q=10时收入最大。答：收入函数为R(q)=10q-0.5q^2，收入最大时的需求量为10。3.《2026年人教版高二数学第7章》中，某公司投资某项目的收益函数为R(t)=20t-0.1t^2，其中t为时间（年）。求该项目的边际收益函数，并求收益最大时的投资年限。解：边际收益函数是收益函数的导数，即R'(t)=20-0.2t。令R'(t)=0，解得t=100。R''(t)=-0.2<0，可知t=100时收益最大。答：边际收益函数为R'(t)=20-0.2t，收益最大时的投资年限为100年。4.《2026年人教版高二数学第7章》中，某产品的需求函数为p=50-2q，其中p为价格，q为需求量。求该产品的收入函数R(q)，并求需求量为10时的收入。解：收入函数R(q)=pq=50q-2q^2。当需求量q=10时，收入R(10)=50×10-2×10^2=300。答：收入函数为R(q)=50q-2q^2，需求量为10时的收入为300。【标准答案及解析】一、单选题1.D2.A3.A4.A5.B6.B7.D8.B9.B10.A解析：2.定义域需要x^2-2x+3>0，判别式Δ=-8<0，因此R。3.单调递增需要ae^(ax)>0，a>0。4.极值点需要h'(x)=0，x=1为极小值点。5.f(x)=√2sin(x-π/4)，周期T=2π。6.单调递减需要a<1。7.n(x)=x^3-3x^2+2x，有三个零点。8.无水平或斜渐近线。9.在(0,1)上单调递减，值域(0,1/2)。10.a>0即可，log_a(x+1)在(-1,+∞)上连续。11.x=2为极大值点。二、填空题1.±12.4.3873.ln2(2^x+1/(x+1))4.(2,9)5.(-1,+∞)2.y=-4x7.R8.29.(0,1/2)10.2三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.×7.×8.√9.×10.×解析：2.f'(x)=2x/(x^2+1)-2<0，单调递减。3.无渐近线。4.n'(x)单调递减，n(x)单调递减。5.p(x)为负数对数函数，需a<1。6.2^x增长速度远超3x。四、简答题1.解：求导t'(x)=(-2x^2+2)/(x^2+1)，令t'(x)=0，解得x=±1。在(-∞,-1)上取x=-2，t'(-2)=-6/5<0，单调递减；在(-1,1)上取x=0，t'(0)=2