18.5.1分式方程及其解法 教学课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

18.5.1分式方程及其解法专项练习一、核心知识点梳理1.分式方程的定义分母中含有未知数的方程叫做分式方程。区分要点：整式方程分母不含未知数，分式方程分母含未知数，这是两者最核心的区别。示例：$$\dfrac{1}{x+1}=2$$、$$\dfrac{x}{x-3}+1=0$$是分式方程；$$\dfrac{x+1}{2}=3$$是整式方程。2.解分式方程的核心思想转化思想：将分式方程通过去分母，转化为熟悉的一元一次整式方程求解。3.解分式方程标准五步解题法（必考规范）①找公分母：确定方程中所有分母的最简公分母；②去分母：方程两边同时乘以最简公分母，消去所有分母，化为整式方程；③解整式方程：按照一元一次方程解法求解未知数；④检验（重中之重）：将解得的根代入最简公分母：若公分母≠0，根是原分式方程的解；若公分母=0，根是增根，原方程无解。⑤写结论：明确写出方程的解或无解。4.增根的定义与产生原因增根：去分母过程中产生的、不适合原分式方程的根。产生原因：方程两边同乘含未知数的整式，扩大了未知数的取值范围，因此必须检验。核心性质：增根是整式方程的根，但不是分式方程的根，且增根一定能让原方程分母为0。二、重点易错点汇总1.忘记检验：解分式方程不检验，直接扣分，是最高频必考易错点。2.漏乘常数项：去分母时，方程两端的常数项忘记乘最简公分母，导致方程变形错误。3.符号出错：分子为多项式时，去分母后未加括号，去括号符号混乱。4.增根概念混淆：误以为增根是计算错误，实则是变形产生的无效根。5.检验方式错误：将根代入化简后的整式方程检验，必须代入原方程公分母检验。6.无解情况遗漏：算出整式方程有根，但为增根，需判定原方程无解，不能漏写结论。三、基础专项练习（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列方程中，属于分式方程的是（）A.$$\dfrac{x+1}{2}=3$$B.$$\dfrac{1}{x}+2=5$$C.$$2x+1=0$$D.$$\dfrac{x}{3}+\dfrac{x}{2}=1$$2.解分式方程$$\dfrac{2}{x-1}=\dfrac{3}{x}$$，去分母正确的是（）A.$$2x=3(x-1)$$B.$$2x=3x-1$$C.$$2(x-1)=3x$$D.$$2x=3$$3.分式方程$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-1}{x-2}$$的增根是（）A.$$x=1$$B.$$x=2$$C.$$x=3$$D.无解4.解方程$$\dfrac{3}{x}=\dfrac{2}{x-1}$$的解为（）A.$$x=3$$B.$$x=-3$$C.$$x=1$$D.无解5.下列说法正确的是（）A.分式方程一定有解B.分式方程可能有增根C.增根是原分式方程的解D.解分式方程无需检验（二）填空题（每题4分，共20分）1.方程$$\dfrac{1}{x+1}=\dfrac{2}{x}$$的解是________。2.分式方程$$\dfrac{x}{x-3}=2+\dfrac{3}{x-3}$$的结果是________。3.解分式方程的核心步骤是________，必须进行的步骤是________。4.方程$$\dfrac{2}{x}=\dfrac{3}{x+1}$$的解为________。5.若$$x=2$$是分式方程的增根，则原方程分母必含有因式________。（三）解答题（共60分）1.（20分）解下列基础分式方程：（1）$$\dfrac{1}{x}=\dfrac{2}{x+3}$$（2）$$\dfrac{3}{x-1}=\dfrac{4}{x}$$2.（20分）解含常数项的分式方程：（1）$$\dfrac{1}{x-2}+3=\dfrac{x-3}{x-2}$$（2）$$\dfrac{x}{x-1}-1=\dfrac{3}{(x-1)(x+2)}$$3.（20分）综合题型：已知分式方程$$\dfrac{2}{x-2}+\dfrac{kx}{x^2-4}=\dfrac{3}{x+2}$$有增根，求增根的值。四、参考答案及详细解析（一）选择题解析1.B解析：分式方程定义为分母含未知数，仅B选项符合，其余均为整式方程。2.A解析：最简公分母为$$x(x-1)$$，两边同乘公分母得：$$2x=3(x-1)$$。3.B解析：分式方程增根使分母为0，令$$x-2=0$$，得增根$$x=2$$。4.A解析：去分母得$$3(x-1)=2x$$，解得$$x=3$$，检验公分母不为0，是有效解。5.B解析：分式方程可能无解、有增根，解分式方程必须检验，增根不是原方程的解。（二）填空题解析1.$$x=-2$$解析：交叉相乘得$$x=2(x+1)$$，解得$$x=-2$$，检验有效。2.无解解析：去分母解得$$x=3$$，代入公分母为0，是增根，方程无解。3.去分母化为整式方程；检验解析：解分式方程核心是转化，必备步骤是检验。4.$$x=2$$解析：去分母得$$2(x+1)=3x$$，解得$$x=2$$，检验有效。5.$$x-2$$解析：增根使分母为0，故分母含$$x-2$$。（三）解答题解析1.解：（1）最简公分母$$x(x+3)$$，去分母得：$$x+3=2x$$，解得$$x=3$$。检验：当$$x=3$$时，$$x(x+3)\neq0$$，故方程的解为$$x=3$$。（2）最简公分母$$x(x-1)$$，去分母得：$$3x=4(x-1)$$，解得$$x=4$$。检验：当$$x=4$$时，$$x(x-1)\neq0$$，故方程的解为$$x=4$$。2.解：（1）最简公分母$$x-2$$，去分母得：$$1+3(x-2)=x-3$$，整理得：$$1+3x-6=x-3$$，解得$$x=1$$。检验：当$$x=1$$时，$$x-2\neq0$$，故方程的解为$$x=1$$。（2）最简公分母$$(x-1)(x+2)$$，去分母得：$$x(x+2)-(x-1)(x+2)=3$$，展开整理：$$x^2+2x-x^2-x+2=3$$，解得$$x=1$$。检验：当$$x=1$$时，公分母为0，$$x=1$$是增根，原方程无解。3.解：分式方程的增根满足原方程分母为0，原方程分母为$$x^2-4=(x+2)(x-2)$$，令$$(x+2)(x-2)=0$$，解得$$x=2$$或$$x=-2$$，即该方程的增根为$$x=2$$或$$x=-2$$。课时总结：本节核心掌握分式方程的定义、标准化解法和增根知识点。牢记“去分母化整式、求解后必检验”的核心流程，区分整式方程与分式方程，理解增根的产生原理。解分式方程检验步骤绝对不能省略，重点攻克漏乘、符号错误、增根判断三大易错点，是后续分式方程应用题的基础，也是期中期末必考核心题型。人教版数学（新教材）八年级上册18.5.1分式方程及其解法授课教师：.

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级：8年级（

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2026/9/24

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十八章分式1.理解分式方程的意义，掌握解分式方程的一般方法和步骤.(重点)2.理解解分式方程时可能无解的原因，并掌握解分式方程中验根的方法.(难点)3.在将分式方程转化为整式方程，在解分式方程的方法中培养探究、合作学习的习惯.新知导入一艘轮船在静水中的最大航速为30km/h，它以最大航速沿江顺流航行90km所用时间，与以最大航速逆流航行60km所用时间相等，江水的流速为多少？如果设江水的流速为vkm/h.速度(km/h)路程(km/h)时间(h)顺流逆流30+v

30–v9060探究新知观察方程你能发现他有什么特点？分母中含有未知数分式方程：分母中含未知数的方程叫作分式方程.我们以前学习的方程都是整式方程，它们的未知数不在分母中．探究新知【思考】如何解分式方程？分母中含有未知数能否将分式方程化为整式方程呢？去分母分式方程整式方程转化探究新知方程各分母的最简公分母是(30+v)(30-v).把方程两边乘最简公分母可化为整式方程，解这个整式方程可得方程的解.解：方程两边同乘(30+v)(30-v)，得90(30-v)=60(30+v)，解得v=6.检验：将v=6代入原分式方程中，左边=

=右边，因此v=6是原分式方程的解.所以江水的流速为6km/h.归纳总结解分式方程的基本思路：将分式方程化为整式方程.具体做法:是“去分母”，即方程两边乘最简公分母.这也是解分式方程的一般方法.去分母分式方程整式方程转化探究新知尝试运用“去分母化为整式方程”的方法解分式方程解：去分母，方程两边乘最简公分母(x+5)(x

-

5)，得整式方程x+5=10.解得

x=5.【思考】x=5是原方程的解吗？探究新知检验：x=5代入分式无意义x

-5=0x2

-25=0分母分式方程无解x=5是整式方程的解

不是分式方程的解探究新知【思考】上面两个分式方程中，为什么

①去分母后所得整式方程的解就是原分式方程的解，而

②去分母后所得整式方程的解却不是原分式方程的解呢？探究新知解分式方程去分母时，方程两边要乘同一个含未知数的式子(最简公分母).方程①两边乘(30+v)(30-v)，得到整式方程，它的解为v=6.当v=6时，(30+v)(30-v)≠0，这就是说，去分母时，①两边乘了同一个不为0的式子，因此所得整式方程的解与①的解相同.探究新知方程②两边乘(x-5)(x+5)，得到整式方程，它的解为x=5.当x=5时，(x-5)(x+5)=0，这就是说，去分母时，②两边乘了同一个等于0的式子，这时所得整式方程的解使②出现分母为0的现象，因此这样的解不是②的解.将分式方程转化为整式方程，若整式方程的解使分式方程的最简公分母为0，则这个解叫做原分式方程的增根.归纳总结一般地，解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原方程中分母为0，因此应做如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.1.

为提高生产效率，某工厂将生产线进行升级改造，改造后比改造前每天多生产100件，改造后生产600件的时间与改造前生产400件的时间相同，则改造后每天生产的产品件数为(

)BA.

200

B.

300

C.

400

D.

500返回

√返回例题练习解方程解：方程两边乘x(x-3)，得2x=3x-9.

解得x=9.检验：当x=9时，x(x-3)≠0.所以，原分式方程的解为x=9.检验是必不可少的一步.例题练习解方程解:方程两边乘(x-1)(x+2)，得x(x+2)-(x-1)(x+2)=3.解得x=1.检验:当x=1时，(x-1)(x+2)=0，因此x=1不是原分式方程的解.所以，原分式方程无解.x=1是该分式方程的增根.归纳总结解分式方程的一般步骤如下：分式方程去分母整式方程解整式方程x=m最简公分母为0x=m是分式方程的解最简公分母不为0x=m不是分式方程的解目标检验当堂练习QINGJINGYINRU

1.下列说法中，正确的是(

)A．分母中含有未知数的式子就是分式方程B．含有字母的方程叫做分式方程C．分式方程中，分母中一定含有未知数D．分式方程就是含有分母的方程C2.下列关于x的分式方程

的解是负数，则a的取值范围是(

)

A.a<2

B.a<2且a≠1

C.a<-2D.a<-2且a≠-3B当堂练习QINGJINGYINRUA.2－（2－x）=1 B.2+（2－x）=1C.2－（2－x）=x－1 D.2+（2－