16.3.1 平方差公式 教学课件 -2026-2027学年人教版数学八年级上册

16.3.1平方差公式专项练习一、核心知识点梳理1.平方差公式内容两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差。公式：$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$文字口诀：同方减异方。相同项的平方减去相反项的平方。2.公式适用特征相乘的两个二项式，必须满足：一项完全相同，一项互为相反数。公式中的a、b可以是数字、字母、单项式，也可以是多项式，适用范围广泛。3.公式变形与逆用正向运用：用于二项式乘法简便运算；逆用公式：$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$$，是后续因式分解的核心公式，常用于化简、求值、简便计算。4.几何意义边长为a的大正方形减去边长为b的小正方形，剩余图形面积可拼接成长方形，面积恒等于$$a^2-b^2$$，直观验证平方差公式成立。二、重点易错点汇总1.公式结构误判：不满足“一同一反”结构强行套用公式，两项全同、两项全反均不能使用平方差公式。2.平方漏括号：当a或b是负数、多项式时，忘记整体平方，如$$(-x+2)(-x-2)\neq-x^2-4$$，正确为$$x^2-4$$。3.符号顺序错误：必须是相同项平方−相反项平方，顺序颠倒易出现符号错误。4.混淆完全平方公式：区分平方差$$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$$与完全平方，避免出现$$(a\pmb)^2=a^2\pmb^2$$的低级错误。5.简便计算出错：凑整运用公式时，数字拆分不准确，导致计算结果偏差。三、基础专项练习（一）选择题（每题4分，共20分）1.下列多项式乘法中，可以用平方差公式计算的是（）A.$$(x+1)(x+1)$$B.$$(x+1)(1-x)$$C.$$(x+2)(2+x)$$D.$$(x-3)(y+3)$$2.计算$$(a+3)(a-3)$$的结果是（）A.$$a^2-9$$B.$$a^2+9$$C.$$a^2-6a+9$$D.$$a^2+6a-9$$3.计算$$(-2x+y)(-2x-y)$$的结果是（）A.$$4x^2-y^2$$B.$$y^2-4x^2$$C.$$-4x^2-y^2$$D.$$4x^2+y^2$$4.计算$$99\times101$$的简便结果是（）A.9900B.10000C.9999D.100015.若$$x^2-16=(x+a)(x-b)$$，则a、b的值分别为（）A.4，4B.-4，-4C.4，-4D.8，2（二）填空题（每题4分，共20分）1.$$(x+5)(x-5)=$$________。2.$$(2a-b)(2a+b)=$$________。3.$$(-m+4n)(-m-4n)=$$________。4.$$x^2-36=$$(________)$$(x-6)$$。5.化简$$(x+2)(x-2)-x^2=$$________。（三）解答题（共60分）1.（15分）运用平方差公式计算：（1）$$(3x+2)(3x-2)$$（2）$$(-1+2x)(-1-2x)$$（3）$$102\times98$$2.（15分）化简：$$(2x+y)(2x-y)-(x-3y)(x+3y)$$3.（15分）先化简，再求值：$$(x+3)(x-3)-x(x-1)$$，其中$$x=-2$$。4.（15分）已知$$a^2-b^2=12$$，$$a+b=4$$，求$$a-b$$的值。四、参考答案及详细解析（一）选择题解析1.B解析：B选项可变形为$$(1+x)(1-x)$$，满足一项相同、一项相反，符合平方差公式结构。其余选项无此结构，不能套用。2.A解析：直接套用公式，$$a^2-3^2=a^2-9$$。3.A解析：相同项为$$-2x$$，相反项为y，原式$$=(-2x)^2-y^2=4x^2-y^2$$。4.C解析：原式$$=(100-1)(100+1)=100^2-1^2=10000-1=9999$$。5.A解析：$$x^2-16=(x+4)(x-4)$$，对应得$$a=4，b=4$$。（二）填空题解析1.$$x^2-25$$解析：同方减异方，$$x^2-5^2$$。2.$$4a^2-b^2$$解析：$$(2a)^2-b^2=4a^2-b^2$$。3.$$m^2-16n^2$$解析：相同项$$-m$$，平方为$$m^2$$，减去$$(4n)^2$$。4.$$x+6$$解析：逆用平方差公式，$$x^2-36=(x+6)(x-6)$$。5.$$-4$$解析：原式$$=x^2-4-x^2=-4$$。（三）解答题解析1.解：（1）原式$$=(3x)^2-2^2=9x^2-4$$；（2）原式$$=(-1)^2-(2x)^2=1-4x^2$$；（3）原式$$=(100+2)(100-2)=10000-4=9996$$。2.解：原式$$=4x^2-y^2-(x^2-9y^2)=4x^2-y^2-x^2+9y^2=3x^2+8y^2$$，先套公式展开，再去括号合并同类项。3.解：原式$$=x^2-9-x^2+x=x-9$$，代入$$x=-2$$得：原式$$=-2-9=-11$$。4.解：逆用平方差公式，$$a^2-b^2=(a+b)(a-b)=12$$，代入$$a+b=4$$，得$$4(a-b)=12$$，解得$$a-b=3$$。课时总结：本节核心掌握平方差公式的结构特征“一同一反”，牢记口诀“同方减异方”。熟练掌握公式正向计算、逆用化简、简便运算三类必考题型，重点规避结构误判、符号颠倒、漏括号平方等易错问题。平方差公式是整式乘法重难点，也是因式分解、分式运算的核心基础，必须做到精准识别、熟练运用。（字数：1325）人教版数学（新教材）八年级上册16.3.1平方差公式授课教师：.

班

级：8年级（

）班.

时

间：.

2026/9/24

学子如同向日葵向往暖阳，满心热爱渴求知识。在书页间汲取力量，于思索中追逐光亮，不惧学习路上的磨砺，心怀憧憬奋力向上，向着理想不断成长。第十六章整式的乘法1.理解平方差公式

(a+b)(a-

b)=a2

-

b2.(重点)2.经历探索平方差公式的过程，了解平方差公式的几何背景.(重点)3.能利用平方差公式进行简单的计算和推理.进一步培养观察、类比、发现问题的能力和数学应用意识，感悟数形结合思想.(难点)知识回顾多项式与多项式相乘，先用一个多项式的

乘另一个多项式的

，再把所得的积

.

(a+b)(p+q)=

ap+

aq+bp+bq每一项每一项相加新知导入【探究】计算下列多项式的积，你能发现什么规律？两数的___两数的___和差两数

的差平方①(x+1)(x-1)②(m+2)(m-2)

③(2x+1)(2x-1)

x2-12(2x)2-12m2-22【发现】两个数的和与这两个数差的积，等于这两个数的平方差探究新知

你能将发现的规律用式子表示出来吗？(a+b)(a-b)=a2-b2验证：(a+b)(a-

b)

=

=

a2

-b2.a2

-

ab+

ab

-

b2多项式乘多项式归纳总结平方差公式：两个数的___与这两个数的___的积，等于这两个数的______.和差平方差用字母表示：(a+b)(a−

b)

=a2

−

b2.结构特点：左边：a符号相同，b符号相反.右边：符号相同项a的平方减去符号相反项b的平方.探究新知你能根据图中图形的面积说明平方差公式吗？abb(a+b)(a-b)ba探究新知两个图形的面积有什么关系？bababa-bb两个图形的面积相等探究新知bababa-bb面积为(a+b)(a-b)面积为a2-b2两个图形的面积相等，所以(a+b)(a-b)=a2-b2探究新知(3m+2n)(3m-2n)=变式一

(-3m＋2n)(-3m-2n)=变式二

(-3m-2n)(3m-2n)=

(-3m)2-(2n)2

(-2n)2-(3m)2(3m)2-(2n)2对于不符合平方差公式标准形式的算式，可以先利用加法交换律，将其变成公式的标准形式后，再用公式计算.例题练习运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(-x+2y)(-x-2y)分析：在(1)中，可以把3x看成

a

，把2看成b，

即(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22

(a+b)(a-b)=a2-b2解：（1）

(3x+2)(3x-2)=(3x)2-22=9x2-4例题练习分析：在(2)中，可以把-x看成

a，把2y看成

b，

即(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2

(a+b)(a

-b)=a2-b2解：（2）

(-x+2y)(-x-2y)=(-x)2-(2y)2=x2-4y2运用平方差公式计算：(1)(3x+2)(3x-2)

(2)(-x+2y)(-x-2y)1.

下列各式能用平方差公式计算的是(

)C

D

返回

A

D

返回例题练习解：(1)(x-1)(x+1)(x2+1)=(x2-1)(x2+1)=

x4

-1计算：(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)(3)102×98(1)(x-1)(x+1)(x2+1)(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)=y2-22-(y2+4y

-5)=

y2-4

-y2

-4y

+5=-4y

+1例题练习分析：(3)中的102可以变形为100+2，98可以变形为100-2.然后运用平方差公式.解：(2)102×98=(100+2)(100-2)=1002-22

=10000-4=9996计算：(2)(y+2)(y-2)-(y-1)(y+5)(3)102×98(1)(x-1)(x+1)(x2+1)当堂练习QINGJINGYINRU1.计算(3x+1)(3x–1)等于(

)A．9x2–1B．6x2–1C．9x–1D．9x2+1A2.两个正方形的边长之和为5，边长之差为2，那么用较大的正方形的面积减去较小的正方形的面积，差是________．103．计算：118×122＝________．143964.下列运算中，可用平方差公式计算的是(

)A．(x＋y)(x＋y)B．(－x＋y)(x－y)C．(－x－y)(y－x)D．(x＋y)(－x－y)C当堂练习QINGJINGYINRU5.为了运用平方差公式计算(x+2y-1)(x-2y+1)时，变形正确的是（）A.[x-(2y+1)]2B.[x+(2y+1)]2C.[(x+2y)-1)][(x-2y)+1]D.[x+(2y-1)][x-(2y-1)]D6.如图，在边长为a的正方形正中间剪去一个边长为b的小正方形(a>b)，把剩下的部分按照图中的线段分割成四等腰梯形，将四个等腰梯形拼成一个大平行四边形．剪拼前后的两个图形可以验证的乘法公式是（

）A.(a+b)2=a2+2ab+b2B.(a－b)2=a2－2ab+b2C.a2－b2=(a+b)(a－b)D.a2+b2=(a+b)2－2abC把(a+b)看作整体：(a+b)2-1=63(a+b)2=64a+b=±8当堂练习QINGJINGYINRU9.若（a+b+1)(a+b-1)=63,则a+b=

.7.若a2－b2=8，且a+b=4，则a－b=

.28.填空：(1)(

)(x-4)=x2-16;(2)(mn+3)(mn-3)=

.x+4m2n2-9±8当堂练习QINGJINGYINRU10.利用平方差公式计算：（1）(－a－5b)(－a+5b)(2)(m2－2n3)

(－m2－2n3)

解：原式

=(－a)2－(5b)2=a2－25b2

解：原式

=－(m2－2n3)

(m2+2n3)

=－[(m2)

2－(2n3)

2]=－(m4－4n6)=－m4+4n6（4）(a－2)(a＋2)(a2＋4)；

(3)(x－y)(x＋y)(x2＋y2)(x4＋y4).解：原式

=(x2－y2)(x2＋y2)(x4＋y4)=(x4－y4)(x4