大学普通物理学《质点运动学》教学课件

2026质点运动学大学普通物理学·第一章课程导览01质点与运动描述参考系与位矢02位移与速度位置变化与快慢03加速度与两类问题求导与积分04抛体与圆周运动曲线运动深化05相对运动伽利略变换01质点与运动描述描述运动，先定参考系研究运动先选定参照标准运动的绝对性一切物体都在不停地运动，绝对静止的物体并不存在。描述的相对性描述运动必须先选取别的物体作为标准，这个标准就是参考系。同一运动换用不同参考系，得到的描述可以完全不同。两种观察站台上的人：列车飞驰而过车厢里的旅客：座椅纹丝不动参考系→坐标系参考系的选择原则上任意；定量研究须在参考系上固定一个坐标系，常用直角坐标系。坐标系是参考系的数学抽象，同一参考系可选用不同坐标系，运动形式不变，数学表述可以不同。忽略大小形状引入质点模型理想模型质点是有条件的、相对的理想模型。抓主要矛盾、忽略次要因素，是物理学的重要抽象方法；不能视为质点时，物体可拆为许多质点，故质点运动是研究一切物体运动的基础。质点只有质量、没有大小和形状的点。成立条件形状、大小在所研究问题中可忽略或物体只做平动地球的两种处理公转：日地距离约为地球半径的一万倍，各点运动近乎相同→可视为质点自转：各部分运动差异无法忽略→不可视为质点位矢与运动方程定点描迹选定参考系与坐标系后，用位置矢量定量描述质点位置分量表达直角坐标系中：r=xi+yj+zk，i、j、k为三轴单位矢量质点运动时位矢随时间变化：r=r(t)；分量式：x=x(t)、y=y(t)、z=z(t)运动方程蕴含质点运动的全部信息：任意时刻的位置、起点与终点均可确定轨道方程：在分量式中消去时间t，直接给出运动轨迹的形状02位移与速度位置如何变，快慢如何量位移只由初末位置决定位移是矢量，方向由初位置指向末位置，大小为两点直线距离；只由起点和终点决定，与中间路径无关。三个关键判断核心概念位移是矢量，方向由初位置指向末位置，大小为两点直线距离位移只由起点和终点决定，与中间路径无关位移≠位矢：位矢从原点指向质点，位移是两个位矢之差易错点常见误区位移即增量Δr=r₂−r₁位移大小Δr一般不等于位矢模之差r₂−r₁，仅特殊情况相等位移大小未必等于路程路程路径记录沿轨迹实际走过的总长度，标量，恒正，依赖路径。曲线A→B：路程=弧长，路程更大绕圆一周回起点：路程=2πR位移位置变化只描述位置变化，矢量，与路径无关。曲线A→B：位移大小=弦长AB绕圆一周回起点：位移=0本质区别两者不可混淆单向直线运动：位移大小=路程路程记住全部过程，位移只记起点终点二者本质不同，不能画等号。速度刻画位置变化快慢速度是矢量，从整体与瞬时两方面描述质点的运动快慢与方向。平均速度3要点定义位置矢量对时间的平均变化率，即

v̄=Δr/Δt特点方向与位移Δr

相同意义仅反映一段时间内的整体快慢瞬时速度2要点定义令Δt→0取极限，即

v=dr/dt，位矢对时间的一阶导数特点方向沿轨迹切线方向，指向运动前方直角坐标分解2要点公式v=(dx/dt)i+(dy/dt)j+(dz/dt)k大小合速度

v=√(vₓ²+vᵧ²+v_z²)速率是速度大小的标量速度研究位移随时间的整体变化与方向，速率只研究走过多快而不问方向。矢量与标量速度是矢量，速率是标量，二者不能混同。瞬时与平均瞬时速率v=ds/dt，等于瞬时速度的大小|dr/dt|平均速率v̄=Δs/Δt，用路程计算平均速度v̄=Δr/Δt，用位移计算折返实例质点沿直线前进

10米

又折返

5米：位移大小为

5米，路程为

15米，平均速度与平均速率显然不同。只有质点做单向直线运动时，二者才相等。03加速度与两类问题从运动方程到加速度，再从加速度回到运动方程加速度刻画速度变化率加速度是矢量，反映速度在大小和方向两方面的变化——速度大小变化有加速度，方向变化同样有加速度。平均加速度速度增量与时间之比：ā=Δv/Δt瞬时加速度令Δt→0取极限：a=dv/dt递进链速度描述快慢加速度描述速度变化快慢因v=dr/dt，故

a=d²r/dt²直角坐标系分解a=(d²x/dt²)i+(d²y/dt²)j+(d²z/dt²)k三个分量各自对时间求二阶导。加速度方向不必与速度相同加速度方向由速度改变量的方向决定，不一定与速度方向相同。理解这一方向特性，是把加速度与“踩油门”直觉区分开的关键一步。三种方向关系同向速度大小增大，质点加速反向速度大小减小，质点减速垂直速度大小不变，只改变速度方向典型例证匀速圆周运动中，向心加速度始终指向圆心，与切线方向的速度垂直，速率恒定而方向不断改变。判断规律加速度方向总指向轨迹曲线凹下的一侧，可据此快速判断合加速度的大致指向。第一类问题由方程求速度加速度已知运动方程，却不知如何求速度与加速度此类问题出现时，关键在于掌握求导与矢量分解的基本操作。连续求导分量分解连续求导：即可依次得到速度与加速度对位矢

r

求一阶导得速度

v，再求导得加速度

a。一阶导二阶导

例题已知

r=(2t−1)i+(2−t²)j求导得

v=2i−2tj再求导得

a=−2j

导数链条位矢→速度→加速度，逐级求导；反向则逐级积分第一类问题运算直接，关键是熟练分量求导并弄清各量矢量方向。逐级求导反向积分矢量方向第二类问题由加速度积出运动问题→对策

已知加速度求运动，两次积分会冒出两个未知常数，无法唯一确定结果。

补上初始位置与初始速度，常数即被锁定，运动方程随之唯一确定。恒矢量加速度选好坐标轴即化为匀变速直线运动，五个公式按已知量取用：v=v₀+atx=x₀+v₀t+½at²v²−v₀²=2a(x−x₀)x=(v₀+v)t/2相邻等时间间隔的位移规律匀变速直线运动是积分基石两类问题在匀变速直线运动中汇成一套公式。模型前提加速度

a

恒定，质点沿x轴作直线运动。a=dv/dtv=dx/dt积分路径由a=dv/dt积分代入t=0时v=v₀v=v₀+at速度公式由v=dx/dt积分代入初始位置x₀x=x₀+v₀t+½at²位移公式两式联立消去t消去时间t，得速度—位移关系v²−v₀²=2a(x−x₀)求导问题（已知运动方程）与积分问题（已知加速度）在此汇成一套公式，是抛体运动、圆周运动分解求解的基础。04抛体与圆周运动曲线运动的两把钥匙：分解与角量抛体运动沿两轴独立分解水平方向无加速度，匀速直线运动速度分量vₓ=v₀cosθ位移分量x=v₀cosθ·t水平方向的分运动不受重力影响，随时间t均匀推进。竖直方向加速度a=−g，匀变速直线运动速度分量vᵧ=v₀sinθ−gt位移分量y=v₀sinθ·t−½gt²竖直方向的分运动受重力主导，速度先减后增，呈对称变化。运动的叠加原理两轴分量互不干扰，各自独立遵循运动规律。先分后合，将曲线运动拆解为两条直线运动处理。叠加原理复杂运动可看作若干简单独立运动的合成。消去时间得抛物线轨迹最高点处竖直速度为零，是求解最大射程与最高点的关键节点。轨迹方程：y=x·tanθ−gx²/(2v₀²cos²θ)轨迹性质方程为二次函数，轨迹恒为抛物线，形状由

θ

与

v₀

共同决定θ=90°

退化为竖直上抛；θ=0°

退化为平抛轨迹方程直接给出坐标关系，是运动方程求轨迹的标准做法圆周运动引入角量描述为何弃直角坐标质点绕圆心运动时，位置由位矢

r

与极轴夹角

θ

唯一确定，平面极坐标远比直角坐标方便。角位置角位置

θ：位矢与极轴夹角，单位

rad角位移

Δθ=θ₂−θ₁：规定逆时针为正角速度角速度

ω=dθ/dt：反映绕转快慢，单位

rad/s角加速度

α=dω/dt=d²θ/dt²：单位

rad/s²与直线运动完全平行角位置、角速度、角加速度三者构成导数链条，对应直线运动中的位置、速度、加速度，统称角量，是描述圆周运动及其它转动问题的基础工具。线量与角量由半径相连三组对应，半径相连s=Rθ弧长与角位移v=Rω线速度与角速度aτ=Rα切向加速度与角加速度法向加速度an=Rω²=v²/R两种写法，等价表达通向圆心的加速度，持续改变速度方向而不改变大小。两套体系，完全打通描述圆周运动，既可用线量s、v、a，也可用角量θ、ω、α，经由半径R

转化。线量⇄R⇄角量对应关系角速度决定线速度大小角加速度决定切向加速度法向加速度则由线速度平方与半径之比决定自然坐标系沿切线法线建轴自然坐标系把曲线运动中速度的大小变化与方向变化清晰分离。—知识点小结建轴方式切向单位矢量

eτ

沿切线指向前方法向单位矢量

en

沿法线指向曲线凹侧，圆周运动即指向圆心速度与加速度的分解速度始终沿切线：v=v·eτ，v为速率大小加速度分解：a=aτ·eτ+an·en两个分量的物理含义切向加速度

aτ=dv/dt：反映速度大小的变化法向加速度

an=v²/ρ：反映速度方向的变化，ρ为该点曲率半径切向法向各司其职改速度两个分量，两种功能——切向改大小，法向改方向切向与法向加速度2项切向加速度a_τ=dv/dt只改速度大小，不改方向法向加速度aₙ=v²/R只改速度方向，不改大小匀速圆周速率恒定，a_τ=0，仅存指向圆心的

aₙ=v²/R，持续转弯变速圆周两分量并存，合加速度

a=√(a_τ²+aₙ²)，方向斜向圆周内侧，不再指向圆心加速还是减速看切向速度分量与运动方向：同向加速，反向减速，为零匀速曲率圆把曲线局部当圆周切向加速度改变快慢，法向加速度决定弯曲，二者结合完整刻画任意轨迹推广依据Generalizationaₙ=v²/R

不限于圆周，可推广到任意曲线运动。曲率圆OsculatingCircle任一点作密切圆，半径

ρ

即曲率半径；ρ越小，弯曲越厉害。统一表达UnifiedFormula任一点法向加速度

aₙ=v²/ρ；直线

ρ→∞，aₙ=0，只剩切向加速度。05相对运动换一个参考系，运动如何变位置变换连接两个参考系位置变换是推导速度、加速度变换的出发点矢量合成基本关系r=r′+ut两参考系位矢的矢量合成关系三类量命名3项绝对量相对基本参考系S的量，如绝对位矢

r相对量相对运动参考系S′的量，如相对位矢

r′牵连量两参考系之间的量，如

ut伽利略速度变换：绝对等于相对加牵连推导起点位置变换

r=r′+ut，两边同时对时间

t

求导；因

u

为常量，得伽利略速度变换

v=v′+u。三个速度对号入座绝对速度v物体相对基本参考系相对速度v′物体相对运动参考系牵连速度u运动参考系相对基本参考系关系绝对速度=相对速度+牵连速度（矢量相加）实例雨滴竖直下落，汽车以

v₁

前进；车上看来，雨滴多出一个向后的水平速度——正是绝对速度减去牵连速度的结果。运用步骤01先明确基本参考系与运动参考系02再把三个速度对号入座03最后按矢量加法合成匀速平动下加速度相同推导链对伽利略速度变换

v=v′+u

再对时间求