江苏淮安市2027届高三上学期第一次调研测试数学答案

参考解析与评分建议一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(1)当a=1时，f(x)=-x³+x²+x·f'(x)=-3x²+2x+1=-(3x+1)(x-1)令f'(x)>0,解得故函数的单调递增区间为,单调递减区间为和(1,+0)……6分(2)因为x=-1是f(x)的一个极值点，所以f'(-1)=0.f'(x)=-3x²+2x+a,代入得f'(-1)=-3-2+a=0,解得a=58分此时f(x)=-x³+x²+5x,f'(x)=-3x²+2x+5=-(3x-5)(x+1)·令f'(x)=0,得x=-1或………………10分当x∈(-2,-1)时，f'(x)<0,f(x)单调递减；当时，f'(x)>0,f(x)单调递增；当时，f'(x)<0,f(x)单调递减.比较极小值点和端点的值：故f(x)在区间[-2,2]上的最小值为-313分当x∈(1,2)时，|x-1=x-1,方程化为x²+2(x-1)+a=4x,即a=-x²+2x+2在x∈(1,2)上有解3分令h(x)=-x²+2x+2=-(x-1²+3·因为x∈(1,2),函数h(x)在(1,2)上单调递减，(2)依题意，对任意的x,x₂∈[0,2],都有g(x)<f(x₂)-a,先求f(x)-a=x²+2|x-1|在[0,2]上的最小值：当x∈[0,1]时，y=x²-2x+2=(x-1)²+1≥1,最小值为1(在x=1处取得);所以需要对任意x∈[0,2],g(x)=log₂(a·2*+1)<1恒成立，不等式化为对任意t∈[1,4]恒成立.所以因为f(x)的周期为π,所以解得φ=2·…………3分由(k∈Z),,解得故f(x)的单调递增区间为(k∈Z)·(2)由题意在上单调递增.,得增区间包含(取k=0).……因为0<w≤1,所以k=0,得,此时符合解得因为0<@≤1,所以k=0,得,此时符合要求.………15分……代入得25-24cosB=25+20cosB,解得cosB=0...…………8分代入比例式得,化简得7sin(β+θ)=3√5sin(a+θ).展开得7(sinβcosθ+cosβsinθ)=3√5(sinacosθ+cosasinθ).化简得5sinθ=5cosθ,即tanθ=1.解得x=5,y=2√5.即PA=5,PD=2√5,PB=8,PC=4P(0,0),A(5,0),B(8,0),C(8,4).设过点O的直线MN方程为由OM:ON=12:7得纵坐标之差比值化简得解得或.因为点M在边AB上，需满足5≤xu≤8,验证知成立.此时向量,又……………12分方法三(构造矩形及线段投影法计算长度):过圆心0分别作OE⊥AB于E,因为∠B=90°,所以四边形OEBG为矩形.记点P到直线AB,BC的距离分别为h(P),h₂(P).显然h(C)=BC=4,h₂(C)=0;h₁(A)=0,h₂(A)=A对于点D,由AD²=5,CD²=20可得：h²(D)+(h₁(D)-4)²=20且(h₂(D)-3)解得h₂(D)=4,h(D)=2(另一解不符合凸四边形要求，舍去).观察C,D两点到两直线的距离，易知直线CD上的点均满足距离的线性关系：因为M,0,N共线，且OM:ON=12:7,M在AB上，由相似三角形对应高成比例可得：已知h(O)=OE=2,h₁(M)=0,所以代入直线同理，由CD的距离关系式得,且解得h₂(N).所以……12分方法一(面积分割与向量参数法):设AM=xAB,DN=yDC,其中x,y∈[0,1].由理SMcD=(1-x)ScD+xSBcD=(1-x)×5+x×8=5+3x.将时取等号，此时解得的x,y∈(0,1)符合题意).所以线段MN的最小值为结合xy=21可解得x,y落在相应的线段区间内).所以线段MN的最小值为MN²=m²+n²-2mncosP=m²+n²-由基本不等式得，对应线段上).所以MN²≥42√5-84,19.(1)因为f(x)=eˣ+acosx,所以f'(x)=e-asinx.所以tanθ(0)=f'(0)=e⁰-asin0=1.……(i)法一(定义法):证明：令h(x)=tanθ(x)=f'(x)=eˣ-sinx.h'(x)=e-cosx.因为对Vx∈(0,+∞),e³≥1且cosx≤1,所以h'(x)=e×-cosx≥0(仅在x=0时取等号),则h(x)在(0,+0)上单调递增.……9分法二(导数意义):令h(x)=tan(θ(x))=e-sinx一方面,另一方面h'(x)=e+cosx.…9分第11页(ii)证明：即证方法二(构造函数求导法):不妨设x₁≤x₂.令.则x₁=x₀-1,构造函数φ(t)=h(x₀+t)+h(x₀-t)-2h(x₀)(t≥0).ø'()=h'(xo+t)-h(x₀-t)=(e%+-cos(x₀+t)-(e⁵⁻¹-co当t>0