贵州黔东南苗族侗族自治州2027届高三上学期开学模拟测试数学试题（含解析）

数学试卷注意事项：1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．3．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．一、单选题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．1.已知集合，，则（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】根据集合的基本运算即可求解.【详解】由题意得：，或，．2.已知复数满足，则在复平面内的最小值为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】设，根据复数的几何意义即可得解.【详解】设，由，得在复平面内对应的点的轨迹为以为圆心，1为半径的圆，则表示点到原点的距离，又圆心到原点的距离为，所以圆上的点到原点的距离的最小值为.3.已知向量，，则向量在向量方向上的投影向量为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】利用向量的投影公式即可求解.【详解】向量在向量方向上的投影向量.4.已知，则（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】由二倍角公式及平方关系可得，再代入条件关系即可求出结论.【详解】.5.若，，，则，，的大小关系为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】构造函数，利用导数判断单调性，根据单调性判断即可.【详解】根据所给三个数的形式构造函数，求导得，令，则，所以在上单调递增，故，即，所以当时，，即在单调递减.因为，所以，即.6.在三棱锥中，，，，则三棱锥的外接球的表面积是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由条件确定三棱锥的外接球的球心位置和球的半径，再由球的表面积公式求结论.【详解】因为，，，所以，，所以为直角三角形，为其斜边，为直角三角形，为其斜边，取的中点为，则，所以点是三棱锥的外接球的球心，球的半径，所以外接球的表面积．7.设集合，，建立到的一个函数关系，：，为值域，且有，则从集合到集合的不同的函数的个数为（）A.3 B.12 C.27 D.36【答案】B【解析】【分析】先由把问题转化为“的象须同时取到与”，再从全部种对应中扣除象集缺少或缺少的情形，重复扣除的部分补回，即得所求函数的个数．【详解】由知已含在值域中，而值域恰为，故、都须在、、中取到．暂不要求值域为时，、、各自可在中任取一值，共有种对应；其中象集中不含的有种（象只能取自），象集中不含的也有种（象只能取自），象集中既不含又不含的有种（象只能取自），所以满足值域为的对应共有种．8.已知，，则的最小值是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据根据做差法可求出，令，再利用基本不等式，即可求得其最小值.【详解】由题意知，因为，，所以，，所以，即令，，当时，即时，两个等号同时成立，故原式取得最小值8.二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，选对但不全的得部分分，有选错的得0分．9.下列说法正确的是（）A.在分层抽样中，每层抽取的样本数量一定要相等B.回归分析中，残差平方和越小，回归模型的拟合效果越好C.回归分析中，线性相关系数，表示两个变量没有任何关系D.在二项分布中，如果为非整数，而取的整数部分，则是唯一的最大值【答案】BD【解析】【分析】结合分层抽样定义判断A；结合残差定义和性质判断B；结合相关系数定义判断C；结合二项分布性质判断D.【详解】分层抽样为按比例抽样，每层样本数不一定相等，A不正确；线性相关系数，表示两个变量没有线性相关关系，可能存在非线性关系，C不正确；B为残差的性质，D为二项分布的性质，故均正确.10.若数列的前项和为，则下列命题正确的是（）A.若数列是递增数列，数列可能不是递增数列B.数列是递增数列的充要条件是数列的各项均为正数C.若是等差数列（公差），，则是的充分不必要条件D.若是等比数列，则（，）的充要条件是【答案】AD【解析】【分析】根据数列递增定义、等差与等比数列前项和性质，通过举反例和逻辑推导逐一判断命题真假.【详解】若数列是递增数列，当数列时，是递减数列，故A正确；数列是递增数列不能推出数列的各项均为正数，例如：0，1，2，3，，故B不正确；不能推出例如：，，1，3，故C不正确；等比数列，，乘积为0，说明至少某个，且.等比求和Sm=a1此时，即；反过来，若，则，所以，时乘积为0，D正确.11.如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线：（），设，，点为抛物线上的动点（异于顶点），连接并延长交抛物线于点，连接，并延长交抛物线于点，，连接，，，设，的斜率分别为，，下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，则的坐标为C.若为抛物线的焦点，则的最小值为D.【答案】ACD【解析】【分析】利用直线与抛物线方程联立，求弦长即可判断A，根据抛物线的性质即可判断BC，利用斜率公式即可判断D.【详解】选项A．直线，设∴∴．∵∴，故A正确；对于B，若，则E的坐标为，故B错误；对于C，若E为抛物线的焦点，设MN的倾斜角为则的最小值为，故C正确；对于D，设则有，即，故D正确．三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分．12.某电商平台统计了次促销活动中，优惠券发放数量（万张）与当日订单量（万单）的样本数据，如下表：若变量，的经验回归方程为，则__________．【答案】【解析】【详解】由表格中的数据可得，，所以这组数据的样本中心点的坐标为，代入经验回归方程得，解得.13.如图中的实心点个数1，5，12，22，…，被称为五角形数，其中第1个五角形数记作，第2个五角形数记作，第3个五角形数记作，第4个五角形数记作，…，若按此规律继续下去，则______．【答案】【解析】【分析】根据等差数列前项和公式、累加法求得正确答案.【详解】由图中实心点的个数得，，，相邻两数之差依次构成首项为、公差为的等差数列，故，则，所以14.已知椭圆，左焦点，右焦点，点在椭圆上，点为内切圆的圆心，则的横坐标为__________，若、的斜率分别为、，则__________．【答案】①.##②.【解析】【分析】设内切圆与三个切点分别为、、，设点，将点的坐标代入椭圆方程，可得出的值，可求出、的值，结合切线长定理可求出的值，结合等面积法可求出内切圆的半径，可得出的值，再结合斜率公式求解即可.【详解】如图，设内切圆与三个切点分别为、、，在椭圆中，，，则，故其焦点为、，由椭圆的定义可得，，将点的坐标代入椭圆方程得，可得，所以，，由切线长定理可得，，，，又因为，故，设点，由圆的几何性质可得，则，解得，，设的内切圆半径为，则，解得，故，，，故.四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．15.某农场对两块试验田种植的同一种农作物产量进行抽样统计，甲试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差，乙试验田抽取株样本，单株产量平均值克，样本方差．（1）求全部100株样本单株产量的总体平均数与总体方差；（2）已知甲试验田的单株作物评为优质品的概率为，乙试验田的单株作物评为优质品的概率为．现对这100株样本采用分层抽样的方式抽取5株，若从这5株中随机抽取1株检测，求该株为优质品的概率．【答案】（1）85，27.4（2）【解析】【分析】（1）根据平均数、方差的求法求得总体平均数与总体方差；（2）根据全概率公式求得正确答案.【小问1详解】总体平均值：【小问2详解】分层抽样按各层容量之比分配，抽取的株中来自甲、乙试验田的株数之比为，即甲株、乙株，从这株中随机抽取株，该株来自甲、乙试验田的概率依次为、．记为“抽到的这株为优质品”，由全概率公式得．16.如图，在四棱锥中，底面为菱形，平面平面，，，点为的中点，点为线段上靠近点的三等分点．（1）求四棱锥的体积；（2）求二面角的大小．【答案】（1）1（2）【解析】【分析】（1）先利用面面垂直的性质确定四棱锥的高，然后计算底面的面积，最后由到平面的高是的，再结合棱锥体积公式计算体积；（2）建立如图所示的空间直角坐标系，分别求出平面和平面的法向量，利用两法向量的夹角公式计算二面角的大小.【小问1详解】∵，为的中点，∴，.又平面平面，平面平面，平面，由面面垂直性质定理得：平面.为上靠近的三等分点，则，由底面，得点到底面ABCD的距离：，，故四棱锥的体积为.【小问2详解】以为坐标原点，分别以所在直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则，，设平面的一个法向量为，取为上靠近点的三等分点，可得，因为，所以，即，取得.由（1）知平面，则取平面的一个法向量为，，故二面角的大小为．17.在中，已知，．（1）证明：为锐角三角形；（2）若的周长为10，求的面积．【答案】（1）证明：由正弦定理得，，又，所以.又，则，则，又且，所以.由余弦定理得，所以.由正弦定理有，，，又，所以，所以，所以为锐角三角形.（2）【解析】【分析】（1）由条件得和正弦定理边角互化求得，再结合三角形内角和证明；（2）由正弦定理求三边比例，结合周长求边长，再代入面积公式求解.【小问1详解】略【小问2详解】因为，所以.又，所以，则.又，可得：，所以.18.已知双曲线：（，）的离心率为2，双曲线经过点．过点的直线，分别与双曲线交于不同的两点，（，不与点重合），且直线，的倾斜角互补．（1）求双曲线的标准方程；（2）试证明直线的斜率为定值；（3）若线段的中点为，设，求点的轨迹方程．【答案】（1）（2）证明：显然直线的斜率均存在且不为0，设直线的斜率为，则直线的斜率为，直线的方程为，将其与双曲线方程联立得，化简得（，且）．设，由韦达定理，，得，将代入直线的方程，解得，则．同理可得．故直线的斜率.（3）或【解析】【分析】（1）把点代入双曲线方程结合离心率公式以及的关系即可求解；（2）设直线的方程为，与双曲线联立根据韦达定理解出点的坐标，同理可得点的坐标，再根据两点斜率公式即可证明；（3）根据的坐标可求出点的坐标，然后消去参数即可求解.【小问1详解】由题意，则,∵点在双曲线上，∴，解得，则，∴双曲线的标准方程为．【小问2详解】略【小问3详解】由（2）得，，∴的中点的坐标为，即，整理得：，又因为，所以点的轨迹方程为：或.19.已知函数，曲线在点处的切线方程为．（1）求，；（2）证明：当时，恒成立；（3）若函数．存在，满足，且，试比较与的大小，并说明理由．【答案】（1），（2）由（1）知，则.令，，则..令，则，所以在上单调递增，又，所以，即.同理令，则，所以在上单调递增，又，所以，即.所以，所以在上单调递减，又，所以，即当时，.（3）.理由如下：的定义域为..令，则，易知在上单调递增，又.故在上单调递减，在上单调递增，.所以，在上单调递增，且.由，满足，且.若，则，，，矛盾.所以.由（2）知，当时，①.下面先证，即证.由，，且在上单调递增，要证，只需证.又，即证，从而只需证.令，，即证..令，，则.令，则，令，则，所以在上单调递增，又，所以.则在上单调递减，又，所以.则在上单调递增，