上海市长宁区9校2027届九上数学期末综合测试试题含解析

上海市长宁区9校2027届九上数学期末综合测试试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题(每小题3分,共30分)1．如果圆锥的底面半径为3，母线长为6，那么它的侧面积等于（）A．9π B．18π C．24π D．36π2．在△ABC中，AB=AC=13，BC=24，则tanB等于（）A． B． C． D．3．如图摆放的圆锥、圆柱、三棱柱、球，其主视图是三角形的是（）A． B． C． D．4．已知∠A是锐角，，那么∠A的度数是（）A．15° B．30° C．45° D．60°5．有n支球队参加篮球比赛，共比赛了15场，每两个队之间只比赛一场，则下列方程中符合题意的是()A．n(n﹣1)＝15 B．n(n+1)＝15C．n(n﹣1)＝30 D．n(n+1)＝306．如图，△ABC内接于⊙O，AB=BC，∠ABC=120°，⊙O的直径AD=6，则BD的长为()A．2 B．3 C．2 D．37．“学雷锋”活动月中，“飞翼”班将组织学生开展志愿者服务活动，小晴和小霞从“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆中随机选择一个参加活动，两人恰好选择同一场馆的概率是（）A． B． C． D．8．下列计算正确的是（）A．； B．； C．； D．．9．如图，分别是的边上的点，且，相交于点，若，则的值为（）A． B． C． D．10．如图，在⊙O中，弦BC//OA，AC与OB相交于点M，∠C=20°，则∠MBC的度数为（）．A．30° B．40°C．50° D．60°二、填空题(每小题3分,共24分)11．如图，在中，，为边上的中线，过点作于点，过点作的平行线，交的延长线于点，在的延长线上截取，连接、．若，，则的长为____________．12．如图，菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，那么菱形ABCD的面积是____．13．把抛物线y=2x2向上平移3个单位，得到的抛物线的解析式为_______________.14．方程x2=8x的根是______．15．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是___cm．16．在一个不透明的布袋中装有4个白球和n个黄球，它们除了颜色不同外，其余均相同，若从中随机摸出一个球，摸到白球的概率是，则n＝__．17．如图，在中，、分别是边、上的点，且∥，若与的周长之比为，，则_____.18．一元二次方程(x+1)(x-3)=2x-5根的情况_______．（表述正确即可）三、解答题(共66分)19．（10分）某商品市场销售抢手，其进价为每件80元，售价为每件130元，每个月可卖出500件；据市场调查，若每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件(每件售价不能高于240元)．设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元．(1)求y与x的函数关系式，并直接写出自变量x的取值范围；(2)每件商品的涨价多少元时，每个月可获得最大利润？最大的月利润是多少元？(3)每件商品的涨价多少元时，每个月的利润恰为40000元？根据以上结论，请你直接写出x在什么范围时，每个月的利润不低于40000元？20．（6分）如图，已知△ABC，∠B=90゜，AB=3，BC=6，动点P、Q同时从点B出发，动点P沿BA以1个单位长度/秒的速度向点A移动，动点Q沿BC以2个单位长度/秒的速度向点C移动，运动时间为t秒．连接PQ，将△QBP绕点Q顺时针旋转90°得到△，设△与△ABC重合部分面积是S．（1）求证：PQ∥AC；（2）求S与t的函数关系式，并直接写出自变量t的取值范围．21．（6分）如图，△ABC是等腰三角形，且AC=BC，∠ACB=120°，在AB上取一点O，使OB=OC，以O为圆心，OB为半径作圆，过C作CD∥AB交⊙O于点D，连接BD．（1）猜想AC与⊙O的位置关系，并证明你的猜想；（2）已知AC=6，求扇形OBC围成的圆锥的底面圆半径．22．（8分）在如图的小正方形网格中，每个小正方形的边长均为，格点（顶点是网格线的交点）的三个顶点坐标分别是，以为位似中心在网格内画出的位似图△A1B1C1，使与的相似比为，并计算出的面积．23．（8分）如图，在△ABC中，BC＝12，tanA＝，∠B＝30°，求AC的长和△ABC的面积．24．（8分）计算:.25．（10分）在一个不透明的袋子中装有大小、形状完全相同的三个小球，上面分别标有1，2，3三个数字．（1）从中随机摸出一个球，求这个球上数字是奇数的概率是；（2）从中先随机摸出一个球记下球上数字，然后放回洗匀，接着再随机摸出一个，求这两个球上的数都是奇数的概率（用列表或树状图方法）26．（10分）如图，在宽为40m，长为64m的矩形地面上，修筑三条同样宽的道路，每条道路均与矩形地面的一条边平行，余下的部分作为耕地，要使得耕地的面积为2418m2，则道路的宽应为多少？

参考答案一、选择题(每小题3分,共30分)1、B【分析】利用圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长和扇形的面积公式计算．【详解】解：圆锥的侧面积＝×2π×3×6＝18π．故选：B．本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．2、B【解析】如图，等腰△ABC中，AB=AC=13，BC=24，过A作AD⊥BC于D，则BD=12，在Rt△ABD中，AB=13，BD=12，则，AD=，故tanB=.故选B．【点睛】考查的是锐角三角函数的定义、等腰三角形的性质及勾股定理．3、D【解析】根据主视图是从物体正面看所得到的图形判断即可．【详解】A.主视图是圆；B.主视图是矩形；C.主视图是矩形；D.主视图是三角形．故选：D．本题主要考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键．注意所有的看到的棱都应表现在三视图中．4、C【分析】根据特殊角的三角函数值求解即可.【详解】∵，且∠A是锐角，∴∠A=45°.故选：C.本题主要考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握相关数值是解题关键.5、C【解析】由于每两个队之间只比赛一场，则此次比赛的总场数为：场．根据题意可知：此次比赛的总场数=15场，依此等量关系列出方程即可．【详解】试题解析：∵有支球队参加篮球比赛，每两队之间都比赛一场，∴共比赛场数为∴共比赛了15场，即故选C.6、D【分析】连接OB，如图，利用弧、弦和圆心角的关系得到，则利用垂径定理得到OB⊥AC，所以∠ABO=∠ABC=60°，则∠OAB=60°，再根据圆周角定理得到∠ABD=90°，然后利用含30度的直角三角形三边的关系计算BD的长．【详解】连接OB，如图：

∵AB=BC，

∴，

∴OB⊥AC，

∴OB平分∠ABC，

∴∠ABO=∠ABC=×120°=60°，

∵OA=OB，

∴∠OAB=60°，

∵AD为直径，

∴∠ABD=90°，

在Rt△ABD中，AB=AD=3，

∴BD=.故选D．考查了三角形的外接圆与外心：三角形外接圆的圆心是三角形三条边垂直平分线的交点，叫做三角形的外心．也考查了垂径定理和圆周角定理．7、A【分析】画树状图（用、、分别表示“图书馆、博物馆、科技馆”三个场馆）展示所有9种等可能的结果数，找出两人恰好选择同一场馆的结果数，然后根据概率公式求解.【详解】画树状图为：（用分别表示“图书馆，博物馆，科技馆”三个场馆）共有9种等可能的结果数，其中两人恰好选择同一场馆的结果数为3，所以两人恰好选择同一场馆的概率．故选A．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果，再从中选出符合事件或的结果数目，然后利用概率公式计算事件或事件的概率.8、B【解析】分析：分别根据次根式的加减运算法则以及合并同类项的法则、幂的乘方与积的乘方法则及同底数幂的除法法则对各选项进行逐一判断即可．详解：A.与不是同类项，不能合并，故本选项错误；B.，故本选项正确；C.，故本选项错误；D.，故本选项错误.故选：B.点睛：此题考查了二次根式的加减运算以及合并同类项、积的乘方运算和同底数幂的除法法则运算等知识，正确掌握运算法则是解题的关键.9、C【分析】根据题意可证明，再利用相似三角形的性质，相似三角形面积的比等于相似比的平方，即可得出对应边的比值．【详解】解：∵∴∴根据相似三角形面积的比等于相似比的平方，可知对应边的比为．故选：C．本题考查的知识点是相似三角形的性质，主要有①相似三角形周长的比等于相似比；②相似三角形面积的比等于相似比的平方；③相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比．10、B【分析】由圆周角定理（同弧所对的圆周角是圆心角的一半）得到∠AOB，再由平行得∠MBC．【详解】解：∵∠C=20°

∴∠AOB=40°

又∵弦BC∥半径OA

∴∠MBC=∠AOB=40°,故选：B．熟练掌握圆周角定理，平行线的性质是解答此题的关键．二、填空题(每小题3分,共24分)11、【分析】首先可判断四边形BGFD是平行四边形，再由直角三角形斜边中线等于斜边一半，可得BD=FD，则可判断四边形BGFD是菱形，则GF=10，则AF=16，AC=20，在Rt△ACF中利用勾股定理可求出CF的值．【详解】解：∵AG∥BD，BD=FG，∴四边形BGFD是平行四边形，∵CF⊥BD，∴CF⊥AG，又∵点D是AC中点，∴BD=DF=AC，∴四边形BGFD是菱形，∴GF=BG=10，则AF=26-10=16，AC=2×10=20，∵在Rt△ACF中，∠CFA=90°，∴即故答案是：1．本题考查了菱形的判定与性质、勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质，解答本题的关键是判断出四边形BGFD是菱形．12、1【分析】根据菱形的面积公式即可求解．【详解】∵菱形ABCD的对角线AC与BD相交于点O，AC＝6，BD＝8，∴菱形ABCD的面积为AC×BD=×6×8=1，故答案为：1．此题主要考查菱形面积的求解，解题的关键是熟知其面积公式．13、【解析】由“上加下减”的原则可知，将抛物线向上平移3单位，得到的抛物线的解析式是故答案为二次函数图形平移规律：左加右减，上加下减.14、x1=0，x2=1【解析】移项后分解因式，即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可．【详解】解：x2=1x，x2-1x=0，x（x-1）=0，x=0，x-1=0，x1=0，x2=1，故答案为x1=0，x2=1．考查了解一元二次方程，能把一元二次方程转化成一元一次方程是解此题的关键．15、.【分析】连接OB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OB，从而求出EC，再根据勾股定理即可求出BC，根据三线合一即可求出BF，最后再利用勾股定理即可求出OF.【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，∴BE＝BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，解得：OB＝，∴AC=2OA=2OB=13cm则EC＝AC﹣AE＝9cm，BC＝＝＝3cm，∵OF⊥BC，OB=OC∴BF＝BC＝cm，∴OF＝＝＝cm，故答案为．此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.16、1【分析】根据白球的概率公式列出方程求解即可．【详解】解：不透明的布袋中的球除颜色不同外，其余均相同，共有（n+4）个球，其中白球4个，根据概率公式知：P（白球）＝，解得：n＝1，故答案为：1．此题主要考查了概率公式的应用，一般方法为：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P.17、2.【解析】试题分析：因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC，因为相似三角形的周长之比等于相似比，所以AD:AB=2:3,因为AD=4,所以AB=6，所以DB=AB-AD=6-4=2.故答案为2.考点：相似三角形的判定与性质.18、有两个正根【分析】将原方程这里为一元二次方程的一般形式直接解方程或者求判别式与0的关系都可解题．【详解】解：(x+1)(x-3)=2x-5整理得：，即，配方得：，解得：，，∴该一元二次方程根的情况是有两个正跟；故答案为：有两个正根．此题考查解一元二次方程，或者求判别式与根的个数的关系．三、解答题(共66分)19、(1)y=﹣2x2+400x+25000，0＜x≤1，且x为正整数；(2)件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元；(3)每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元【分析】（1）设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，每件商品的售价每上涨1元，则每个月少卖2件，根据月利润=单件利润×数量，则可以得到月销售利润y的函数关系式；（2）由月利润的函数表达式y=﹣2x2+400x+25000，配成顶点式即可；（3）当月利润y=40000时，求出x的值，结合（1）中的取值范围即可得．【详解】解：(1)设每件商品的售价上涨x元(x为正整数)，每个月的销售利润为y元，由题意得：y=(130﹣80+x)(500﹣2x)=﹣2x2+400x+25000∵每件售价不能高于240元∴130+x≤240∴x≤1∴y与x的函数关系式为y=﹣2x2+400x+25000，自变量x的取值范围为0＜x≤1，且x为正整数；故答案为：y=﹣2x2+400x+25000；0＜x≤1．(2)∵y=﹣2x2+400x+25000=﹣2(x﹣100)2+45000∴当x=100时，y有最大值45000元；∴每件商品的涨价100元时，每个月可获得最大利润，最大的月利润是45000元，故答案为：每件商品的涨价100元时，月利润最大是45000元；(3)令y=40000，得：﹣2x2+400x+25000=40000解得：x1=50，x2=150∵0＜x≤1∴x=50，即每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元，由二次函数的性质及问题的实际意义，可知当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元．∴每件商品的涨价为50元时，每个月的利润恰为40000元；当50≤x≤1，且x为正整数时，每个月的利润不低于40000元，故答案为：每件商品的涨价为50元；50≤x≤1；本题考查了二次函数的实际应用，方案设计类营销问题，二次函数表达式的求解，二次函数顶点式求最值问题，由函数值求自变量的值，掌握二次函数的实际应用是解题的关键．20、（1）见解析；（2）【分析】（1）由题意可得出，继而可证明△BPQ∽△BAC，从而证明结论；（2）由题意得出QP`⊥AC，分三种情况利用相似三角形的判定及性质讨论计算．【详解】解：（1）∵BP=t，BQ=2t，AB=3，BC=6∴∵∠B=∠B∴△BPQ∽△BAC∴∠BPQ=∠A∴PQ∥AC（2）∵BP=tBQ=2t∴P`Q=∵AB=3BC=6∴AC=3∵PQ∥AC∴QP`⊥AC当0<t≤时，S=t2当<t≤1时：设QP`交AC于点MP`B`交AC于点N∴∠QMC=∠B=90°∴△QMC∽△ABC∴∴∴QM=∵P`Q=t∴P`M=又∵∠P`=∠BPQ=∠A∴△P`NM∽△ACB∴∴MN=2P`M∴S△P`MN=P`M·MN=P`M2=∴当1<t≤3时设QB`交AC于点H∵∠HQM=∠PQB∴△HMQ∽△PBQ∴∴MH=MQ∴综合上所述：本题是一道关于相似的综合题目，难度较大，涉及的知识点有相似三角形的判定及性质、勾股定理、三角形面积公式、旋转的性质等，需要有数形结合的能力以及较强的计算能力．21、(1)见解析;(2).【解析】（1）根据等腰三角形的性质得∠ABC=∠A=30°，再由OB=OC和∠CBO=∠BCO=30°，所以∠OCA=120°﹣30°=90°，然后根据切线的判定定理即可得到，AC是⊙O的切线；（2）在Rt△AOC中，根据含30度的直角三角形三边的关系得到CO=,所以弧BC的弧长=，然后根据圆锥的计算求圆锥的底面圆半径．【详解】（1）AC与⊙O相切，理由：∵AC=BC，∠ACB=120°，∴∠ABC=∠A=30°．∵OB=OC，∠CBO=∠BCO=30°，∴∠OCA=120°﹣30°=90°，∴AC⊥OC，又∵OC是⊙O的半径，∴AC与⊙O相切；（2）在Rt△AOC中，∠A=30°，AC=6，则tan30°===，∠COA=60°，解得：CO=2，∴弧BC的弧长为：=，设底面圆半径为：r，则2πr=，解得：r=．本题考查了等腰三角形的性质、圆锥的计算和切线的判定定理：经过半径的外端且垂直于这条半径的直线是圆的切线．22、画图见解析，的面积为1．【分析】先找出各顶点的对应顶点A1、B1、C1，然后用线段顺次连接即可得到，用割补法可以求出的面积.【详解】如图所示：，即为所求，的面积为：．本题考查了作图-位似变换：①确定位似中心；②分别连接并延长位似中心和能代表原图的关键点；③根据位似比，确定能代表所作的位似图形的关键点；④顺次连接上述各点，得到放大或缩小的图形．23、10，24+