经济数学微积分（第4版）课件 第3章一元函数积分学

第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用经济数学微积分（第4版）09本章内容总结与典型题型本讲内容309

内容总结与典型题型第三章内容总结第三章不定积分定积分定积分的应用409

内容总结与典型题型不定积分不定积分的概念和性质不定积分的计算方法概念原函数的全体运算性质基本不定积分公式凑微分法有理函数的不定积分第二换元积分法线性运算性质与导数、微分的关系分部积分法部分分式509

内容总结与典型题型定积分概念性质定积分的计算定义分割、近似、求和、取极限线性运算性质积分中值定理牛顿—莱布尼兹公式定积分的换元积分法定积分的分部积分法广义积分无穷区间上的反常积分无界函数的反常积分Γ-函数609

内容总结与典型题型定积分的应用几何应用经济应用平面面积立体体积由边际函数求原经济函数求变化率求经济函数的增量由边际求最优问题投资与资本现值问题消费者剩余和生产者剩余Y型，X型，平行截面为已知的立体体积旋转体的体积709

内容总结与典型题型第三章典型题型一、不定积分的计算📚例1解📚例2解809

内容总结与典型题型📚例3解📚例4解909

内容总结与典型题型已知f(x)的一个原函数为x+sinx求📚例5解📚例6解1009

内容总结与典型题型二、定积分的计算📚例7解📚例8解📚例9解1109

内容总结与典型题型

设

求.

已知求k的值,使若0<k≤2解得若-2≤k≤0解得📚例10解📚例11解1209

内容总结与典型题型📚例12解📚例13解1309

内容总结与典型题型三、反常积分的计算x=1为瑕点📚例14解📚例15解1409

内容总结与典型题型求由曲线与直线所围成的图形的面积.四、平面图形的面积、立体的体积曲线的交点横坐标求由曲线围成图形分别绕x轴、y轴旋转的体积.📚例16解📚例17解1509

内容总结与典型题型计算极限,其中f(t)连续且.

求的导数.五、积分上限函数导数的运用📚例18解📚例19解1609

内容总结与典型题型六、定积分的经济应用某厂投资2000万建成，在时刻t的追加成本和增加收益分别为试确定该厂在何时停止生产可获得最大利润？最大利润为多少？解得t=8t=8时为最佳停产时间📚例20解数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用193.1不定积分的概念和性质3.2不定积分的换元积分法3.3不定积分的分部积分法3.4定积分的概念和性质本章主要内容包括：第3章

一元函数积分学3.5微积分基本定理3.6定积分的换元积分法和分部积分法3.7反常积分3.8定积分的几何应用和经济应用01不定积分的概念和性质本讲内容

理解原函数与不定积分的概念；熟练掌握不定积分的性质和基本积分公式；会根据不定积分的概念,求一些简单函数的不定积分.学习要求：一、原函数与不定积分的概念二、不定积分的性质三、不定积分基本公式四、小结2101

不定积分的概念和性质1、已知曲线y=x2+1，求该曲线在任一点x处切线的斜率，即y'=2x．反过来，如果已知某曲线在任一点处的切线斜率为2x,求该曲线的方程.2、已知某产品的总成本TC是其产量Q的函数TC=TC(Q),求该产品成本关于产量的变化率（边际成本）TC'(Q)．反过来,如果已知成本的变化率TC'(Q),求该产品的成本函数TC(Q).📖问题2201

不定积分的概念和性质一、原函数与不定积分的概念

设函数f(x)定义在区间I上,如果存在一个函数F(x)，对任意的x∈I,都有

F'(x)=f(x)

或dF(x)=f(x)dx那么称F(x)为f(x)在I上的一个原函数．

一个函数具备什么条件，其原函数一定存在？

（原函数存在定理）如果函数f(x)在区间I上连续,那么在区间I上f(x)一定存在原函数．即：连续函数一定有原函数.📖定义📖定理2301

不定积分的概念和性质(1)一个函数的原函数是否唯一？例(2)若不唯一，它们之间有什么联系？（C为任意常数）(sinx)'=cosx,(sinx+C)'=cosx关于原函数的说明：（1）若F'(x)=f(x)，则对于任意常数C，F(x)+C都是f(x)的原函数——原函数族.（2）若F(x)和G(x)都是f(x)的原函数，则F(x)-G(x)=C(C为任意常数）.📖问题2401

不定积分的概念和性质任意常数积分号被积函数被积表达式积分变量原函数

函数f(x)在区间上I上的全体原函数F(x)+C（C为任意常数）称为f(x)在区间I上的不定积分，记为∫f(x)dx，即📖定义2501

不定积分的概念和性质不定积分的几何意义:oxy

函数f(x)的原函数F(x)的图形称为f(x)的积分曲线.F(x)+C的图形称为f(x)的积分曲线族,在同一坐标系中，横坐标x=x0处的任一积分曲线的切线有相同的斜率.2601

不定积分的概念和性质求求📚例1解📚例2解📚例3解求∵当x>0时，当x<0时，即2701

不定积分的概念和性质求在平面上经过点（0,1）,且在任一点处的斜率为其横坐标的三倍的曲线方程．设曲线方程为y=f(x),在任一点(x,y)处的切线斜率为y',则有y'=3x又由于曲线经过点(0,1),得C=1📚例4解2801

不定积分的概念和性质某工厂生产某产品,每日生产的总成本y的变化率（边际成本）是

已知固定成本为10000元,求总成本y．由由x=0时，y=10000，得C=10000得📚例5解2901

不定积分的概念和性质二、不定积分的性质设f(x)的一个原函数是F(x)或或3001

不定积分的概念和性质（此性质可推广到有限多个函数之和的情况）∴等式成立证3101

不定积分的概念和性质是常数);三、不定积分的基本积分公式3201

不定积分的概念和性质3301

不定积分的概念和性质求积分📚例6解3401

不定积分的概念和性质求积分📚例7解3501

不定积分的概念和性质求求📚例8解📚例9解3601

不定积分的概念和性质求求📚例10解📚例11解3701

不定积分的概念和性质求积分📚例12解38小结：3.1

不定积分的概念和性质基本积分公式（1）～（12）不定积分的性质原函数的概念：不定积分的概念：求微分与求积分的互逆关系数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用02不定积分的换元积分法本讲内容

理解换元积分法的基本思想;掌握不定积分的第一换元积分法(凑微分法);掌握不定积分的第二换元积分法.学习要求：一、第一类换元积分法三、第二类换元积分法四、小结二、有理函数的不定积分4202

不定积分的换元积分法？解决方法利用复合函数，设置中间变量.过程令一、第一类换元积分法📖问题4302

不定积分的换元积分法在一般情况下：设则如果（连续可导）由此可得第一换元积分法定理4402

不定积分的换元积分法第一类换元积分法又称为凑微分法.说明使用此公式的关键在于将化为若∫f(x)dx=F(x)+C,则有其中φ(x)具有连续导数.📖定理4502

不定积分的换元积分法求原式求原式📚例1解📚例2解4602

不定积分的换元积分法求📚例3解1解2解34702

不定积分的换元积分法求联想📚例4解4802

不定积分的换元积分法一般地求凑微分📚例5解4902

不定积分的换元积分法求📚例6解5002

不定积分的换元积分法常见的凑微分形式有：5102

不定积分的换元积分法求下列积分📚练习5202

不定积分的换元积分法求📚例7解5302

不定积分的换元积分法求📚例8解5402

不定积分的换元积分法求📚例9解5502

不定积分的换元积分法求📚例10解15602

不定积分的换元积分法类似地可推出解25702

不定积分的换元积分法求📚例11解5802

不定积分的换元积分法求和形如∫sinmxcosnxdx的解题思路：m,n中有一个为奇数时，将奇数次中的一个与dx进行凑微分.📚例12解5902

不定积分的换元积分法降幂拆项6002

不定积分的换元积分法二、有理函数的积分按照分母中因式的情况，将真分式拆成以Q(x)的所有因式为分母的简单真分式之和，这种方法就称为部分分式法.部分分式的两种主要形式：(1)当分母中含有因式(x+a)k时，部分分式所含的对应项为6102

不定积分的换元积分法(2)当分母中含有因式(x2+px+q)k,其中p2-4q<0时，部分分式所含的对应项为

部分分式中分母为一次因式的分子为常数，而分母为二次因式的分子为一次因式，其中分子中的待定系数可以通过分式相等求出.6202

不定积分的换元积分法求设解得📚例13解6302

不定积分的换元积分法求📚例14解6402

不定积分的换元积分法求设解得📚例15解6502

不定积分的换元积分法解决方法换元过程令三、第二类换元积分法📖问题6602

不定积分的换元积分法设x=ψ(t)单调可导，且ψ'(t)≠0，f[ψ(t)]ψ'(t)具有原函数F(t)，则有——第二类换元积分公式第二类换元积分法就是将不易积分的∫f(x)dx转化为易积的∫f[ψ(t)]ψ'(t)dt.📖定理6702

不定积分的换元积分法1、根式代换求设，则原式📚例16解6802

不定积分的换元积分法求令📚例17解6902

不定积分的换元积分法求令📚例18解7002

不定积分的换元积分法求解法一第一类换元积分法解法二第二类换元积分法2、三角代换📚例19解7102

不定积分的换元积分法求令📚例20解7202

不定积分的换元积分法令求📚例21解7302

不定积分的换元积分法原式所以7402

不定积分的换元积分法【说明】以上几例所使用的均为三角代换.三角代换的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有可令可令可令7502

不定积分的换元积分法3、倒代换求令📚例22解7602

不定积分的换元积分法求📚例23解7702

不定积分的换元积分法所以7802

不定积分的换元积分法求4、其他代换设📚例24解7902

不定积分的换元积分法有些函数的积分方法可以有多种：例8002

不定积分的换元积分法基本积分公式：8102

不定积分的换元积分法82小结：3.2

不定积分的换元积分法两类换元积分法：（一）凑微分（二）根式代换、三角代换、倒代换、其他代换基本积分表(13)～（21）有理函数的积分：部分分式数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用03不定积分的分部积分法本讲内容

理解分部积分法中的化归思想；掌握不定积分的分部积分法.学习要求：一、分部积分法二、小结8603

不定积分的分部积分法解决思路利用两个函数乘积的求导法则.——分部积分公式一、分部积分法📖问题8703

不定积分的分部积分法求取求取📚例1解📚例2解8803

不定积分的分部积分法求令显然，选择不当，积分难以进行.令📚例3解1解28903

不定积分的分部积分法求（再次使用分部积分法）总结1：若被积函数是幂函数和正(余)弦函数或幂函数和指数函数的乘积,就考虑设幂函数为u,使其降幂一次(假定幂指数是正整数)📚例4解9003

不定积分的分部积分法求令📚例5解9103

不定积分的分部积分法求总结2：若被积函数是幂函数和对数函数或幂函数和反三角函数的乘积，就考虑设对数函数或反三角函数为u.📚例6解9203

不定积分的分部积分法求📚例7解9303

不定积分的分部积分法在运算过程中又出现待求的算式，称这种方法为还原法.总结3：若被积函数是指数函数与三角函数的乘积，其中任一函数形式均可选为u.求📚例8解9403

不定积分的分部积分法移项，得所以求📚例9解令9503

不定积分的分部积分法两边同时对求导,得已知f(x)的一个原函数是e-x2，求∫xf'(x)dx.📚例10解96注意：

有些初等函数的原函数存在，但并不能用初等函数表示，称为“积不出来”，如03

不定积分的分部积分法97小结：3.3

不定积分的分部积分法2、正确使用分部积分公式.1、注意被积函数的类型，合理选择u和dv.（总结1、2、3）数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用04定积分的概念和性质本讲内容理解定积分的概念；掌握定积分的几何意义与经济意义；了解定积分的基本性质和定积分中值定理.学习要求：一、问题的提出二、定积分的定义三、几何意义和经济意义五、小结四、定积分的性质10104

定积分的概念和性质abxyo实例1

（求曲边梯形的面积）一、问题的提出10204

定积分的概念和性质abxyoabxyo用矩形面积近似取代曲边梯形面积显然，小矩形越多，矩形面积和越接近曲边梯形面积．（四个小矩形）（九个小矩形）10304

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10404

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10504

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10604

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10704

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10804

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．10904

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11004

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11104

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11204

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11304

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11404

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11504

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11604

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11704

定积分的概念和性质观察下列演示过程，注意当分割加细时，矩形面积和与曲边梯形面积的关系．11804

定积分的概念和性质（1）分割

把区间[a,b]分成n个小区间，第i个小区间的长度为（2）近似11904

定积分的概念和性质曲边梯形面积的近似值为曲边梯形面积为（3）求和（4）取极限12004

定积分的概念和性质实例2

（收益问题）思路：把整个销售量段分割成若干小段，每小段上价格看作不变，求出各小段的收益再相加，便得到整个收益的近似值，最后通过对销售量的无限细分过程求得收益的精确值．

设某商品的价格P是销售量x的函数P=P(x).求当销售量从a变到b时的收益R为多少？12104

定积分的概念和性质（1）分割部分收益值某销售量时的价格（3）求和（4）取极限收益的精确值（2）近似12204

定积分的概念和性质二、定积分的定义设函数f(x)在[a,b]上有界，在[a,b]内插入n-1个分点,a=x0<x1<<xn=b,把[a,b]分成n个小区间[xi-1,xi](i=1,2,…,n),记△xi=xi-xi-1为第i个小区间的长度，在小区间上任取一点ξi,作和式记如果当λ→0时,极限📖定义12304

定积分的概念和性质被积函数被积表达式积分变量积分上限积分下限存在，且与分点xi和ξi的取法无关，就称函数f(x)在[a,b]上可积，并把该极限称为f(x)在[a,b]上的定积分，记为12404

定积分的概念和性质注意：（1）定积分的值仅与被积函数和区间有关，与区间的分法和ξi的取法是无关的.（2）定积分的值与积分变量的字母无关.(3)对定积分的补充规定:1）当a=b时，2）当a>b时，12504

定积分的概念和性质以后在不说明的情况下，假定定积分都存在，且不考虑积分上下限的大小．（4）可积的条件1）若f(x)在[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上可积；2）若函数f(x)在[a,b]上有界，且只有有限个间断点，则f(x)在[a,b]上可积.12604

定积分的概念和性质曲边梯形的面积曲边梯形的面积的负值三、定积分的几何意义和经济意义12704

定积分的概念和性质几何意义：经济意义：

如果已知某一经济量的变化率为f(x),则表示x从a到b这一阶段的经济总量的变化量．12804

定积分的概念和性质利用定义计算定积分📚例1解12904

定积分的概念和性质13004

定积分的概念和性质（此性质可以推广到有限多个函数代数和的情况）四、定积分的性质（定积分对于积分区间具有可加性）不论a,b,c的相对位置如何,上式总成立.假设a<c<b📖性质1📖性质2📖性质313104

定积分的概念和性质📖性质4📖性质5📖性质5推论13204

定积分的概念和性质令于是📚例2解13304

定积分的概念和性质——估值不等式设M和m是连续函数f(x)在区间[a,b]上的最大值及最小值，📖性质6证13404

定积分的概念和性质估计的大小.先求最大、最小值设f(x)=e-x2求得驻点📚例3解13504

定积分的概念和性质估计积分的值.

📚例4解13604

定积分的概念和性质13704

定积分的概念和性质（定积分中值定理）积分中值公式积分中值公式的几何解释：📖性质7138小结：3.4

定积分的概念和性质1．定积分的实质：特殊和式的极限．2．定积分的思想和方法：分割化整为零近似以直代曲取极限精确值——定积分求和积零为整3．定积分的性质（注意估值不等式、积分中值定理的应用）4．典型问题（１）估计积分值；（２）不计算定积分比较积分大小．3.4

定积分的概念和性质数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用05微积分基本定理本讲内容理解原函数存在定理的本质,会求积分上限函数的导数;掌握牛顿-莱布尼茨公式.学习要求：一、问题的提出二、积分上限函数与

原函数存在定理三、牛顿-莱布尼茨公式四、小结14305

微积分基本定理变速直线运动中位置函数与速度函数的联系变速直线运动中路程为另一方面这段路程可表示为一、问题的提出144考察定积分称为积分上限函数.二、积分上限函数与原函数存在定理05

微积分基本定理14505

微积分基本定理积分上限函数的性质📖定理证146由积分中值定理得05

微积分基本定理14705

微积分基本定理（原函数存在定理）定理的重要意义：（1）肯定了连续函数的原函数是存在的.（2）初步揭示了积分学中的定积分与原函数之间的联系.📖定理148补充如果f(x)连续，g(x)、h(x)可导，则有05

微积分基本定理14905

微积分基本定理求因为sint2在R上连续,由定理有求关于x的导数.📚例1解📚例2解150求分析：这是型未定式，应用洛必达法则.📚例3解05

微积分基本定理15105

微积分基本定理（微积分基本公式）三、牛顿—莱布尼兹公式📖定理证152令令——牛顿—莱布尼茨公式05

微积分基本定理15305

微积分基本定理微积分基本公式表明：注意求定积分问题转化为求原函数的问题.154求

📚例4解📚例5解05

微积分基本定理15505

微积分基本定理求原式求因为原式📚例6解📚例7解15605

微积分基本定理设求在内的表达式.当x<0时，当时，当x>π时，📚例8解157小结：3.5

微积分基本定理3.微积分基本公式1.积分上限函数2.积分上限函数的导数

牛顿－莱布尼茨公式沟通了微分学与积分学之间的关系．数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用03不定积分的分部积分法本讲内容

掌握定积分的换元积分法；掌握定积分的分部积分法.学习要求：一、定积分换元积分法三、小结二、定积分分部积分法16106

定积分的换元积分法与分部积分法求令x=t2，dx=2tdt当x=0时，t=0；x=4时，t=2一、换元积分法📚例1解16206

定积分的换元积分法与分部积分法计算凑微分法，积分变量未变，上下限不变换元法，积分变量改变，上下限要改变📚例2解1解216306

定积分的换元积分法与分部积分法求令当x=0时，t=0；x=a时，📚例3解16406

定积分的换元积分法与分部积分法📚例4证16506

定积分的换元积分法与分部积分法16606

定积分的换元积分法与分部积分法奇函数计算原式偶函数单位圆的面积📚例5解16706

定积分的换元积分法与分部积分法设📚例6解16806

定积分的换元积分法与分部积分法定积分的分部积分公式二、定积分分部积分公式分部积分公式的几何解释：右下方曲边梯形面积=大矩形的面积－小矩形的面积－左上方曲边梯形面积16906

定积分的换元积分法与分部积分法求原式求📚例7解📚例8解17006

定积分的换元积分法与分部积分法计算令则📚例9解17106

定积分的换元积分法与分部积分法证明定积分公式为正偶数为大于1的正奇数设📚例10证17206

定积分的换元积分法与分部积分法积分关于下标的递推公式直到下标减到0或1为止17306

定积分的换元积分法与分部积分法于是17406

定积分的换元积分法与分部积分法计算📚例11解📚例12解17506

定积分的换元积分法与分部积分法176小结：3.6

定积分的换元积分法与分部积分法(2)定积分的分部积分公式（注意与不定积分分部积分法的区别）(1)定积分的换元法几种常见的换元方法，与不定积分换元法的区别数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用07反常积分本讲内容理解无穷区间上反常积分的定义,会进行相关计算;理解无界函数反常积分的定义,会进行相关计算;了解Γ函数的定义,会进行相关计算.学习要求：一、无穷区间上的反常积分三、

-函数二、无界函数的广义积分四、小结18007

反常积分一、无穷区间上的反常积分

设函数f(x)在区间[a,+∞)上连续，取b>a，f(x)在[a,b]上可积，则称为函数在无穷区间[a,+∞)上的反常积分.如果极限存在,那么称该反常积分收敛；否则，称该反常积分发散.📖定义118107

反常积分

设函数f(x)在区间(-∞,b]上连续，取a<b，f(x)在[a,b]上可积，则称为函数在无穷区间(-∞,b]上的反常积分.如果极限存在,那么称该反常积分收敛；否则，称该反常积分发散.📖定义218207

反常积分设函数f(x)在区间(-∞,+∞)上连续，称为函数f(x)在区间(-∞,+∞)上的反常积分.当且仅当都收敛时，反常积分收敛.否则，发散.📖定义318307

反常积分计算反常积分计算反常积分📚例1解📚例2解18407

反常积分一般地，无穷区间上的反常积分的几何意义是：当f(x)≥0时，如果收敛，可以看成是由曲线y=f(x)，直线x=a及x轴所围成的向右无限延伸的平面图形的面积.如果发散，则表示该平面图形的面积不是有限的.18507

反常积分计算计算发散.📚例3解📚例4解18607

反常积分计算📚例5解18707

反常积分证明反常积分当p>1时收敛；当p≤1时发散.📚例6证18807

反常积分二、无界函数的广义积分

如果函数f(x)在点a的任一邻域内都无界，那么点a称为函数的瑕点，所以无界函数的反常积分又称为瑕积分.

设函数f(x)在(a,b]

上连续,且取称为函数f(x)在(a,b]

上的反常积分.如果极限存在，则称该反常积分收敛.否则，称该反常积分发散.📖定义418907

反常积分

设函数f(x)在[a,b)

上连续,且取称为函数f(x)在[a,b)

上的反常积分.如果极限存在，则称该反常积分收敛.否则，称该反常积分发散.📖定义519007

反常积分设函数f(x)在区间[a,b]上除点c（a<c<b）外连续，在点c的邻域内无界，称为函数f(x)在区间[a,b]上的反常积分.当且仅当反常积分收敛.否则，称该反常积分发散.📖定义6都收敛时，19107

反常积分计算📚例7解19207

反常积分讨论的收敛性.其中故该反常积分发散.📚例8解19307

反常积分证明反常积分当q>1时收敛；当q≤1时发散.0是被积函数的瑕点📚例9解19407

反常积分三、Γ函数含参变量α(α>0)的反常积分称为Γ函数.

Γ－函数的几个重要性质：例📖定义719507

反常积分计算下列各值：计算📚例10解📚例11解19607

反常积分计算令📚例12解197小结：3.7

反常积分反常积分的定义及计算（1）分清反常积分的类型，收敛和发散（2）反常积分计算的本质就是转换为常义积分的极限数海无边,祝你成功！经济数学微积分（第4版）经济数学微积分（第4版）第3章一元函数积分学——不定积分、定积分及其应用08定积分的几何应用与经济应用本讲内容了解定积分的微元法;会用定积分计算平面图形的面积、立体的体积;会利用定积分求解简单的经济应用问题.学习要求：一、定积分的元素法二、平面图形的面积三、立体的体积四、定积分在经济中的应用五、小结20108

定积分的几何应用与经济应用回顾曲边梯形求面积的问题一、定积分的元素法abxyo20208

定积分的几何应用与经济应用将面积表示为定积分的步骤：（3）求和，得A的近似值（4）取极限，得A的精确值20308

定积分的几何应用与经济应用abxyo简化面积元素20408

定积分的几何应用与经济应用20508

定积分的几何应用与经济应用元素法的一般步骤：2)取微段，表示所要求的量的微元.这个方法通常叫做元素法（或微元法）．20608

定积分的几何应用与经济应用二、平面图形的面积第一步:取微段20708

定积分的几何应用与经济应用第二步：表示微元20808

定积分的几何应用与经济应用第三步：写出面积表达式20908

定积分的几何应用与经济应用21008

定积分的几何应用与经济应用第二步：表示微元第三步：写出面积表达式X型21108

定积分的几何应用与经济应用xyoxyo观察下列图形，选择合适的积分变量：Y型21208

定积分的几何应用与经济应用两曲线的交点面积元素选为积分变量📚例1解21308

定积分的几何应用与经济应用两曲线的交点选为积分变量计算由曲线

y2=2x和直线

y=x-4所围成的图形的面积.📚例2解21408

定积分的几何应用与经济应用两曲线的交点选为积分变量计算由曲线

y=x3-6x和

y=x2所围成的图形的面积.📚例3解21508

定积分的几何应用与经济应用于是所求面积说明：注意各积分区间上被积函数的形式．思考：积分变量只能选x吗?21608

定积分的几何应用与经济应用

旋转体就是由一个平面图形绕这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱三、立体的体积（1）1、旋转体的体积21708

定积分的几何应用与经济应用圆锥圆台（3）（2）21808

定积分的几何应用与经济应用xyo旋转体的体积为📖问题21908

定积分的几何应用与经济应用直线方程为📚例4解22008

定积分的几何应用与经济应用22108

定积分的几何应用与经济应用22208

定积分的几何应用与经济应用如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.立体体积2、平行截面面积已知的立体的体积22308

定积分的几何应用与经济应用求由曲线所围成的图形绕x轴、y轴旋转而成的旋转体的体积.两曲线的交点为两顶点为绕x轴的体积：绕y轴的体积：📚例5解22408

定积分的几何应用与经济应用计算椭圆绕x轴旋转而成的立体的体积.在x点处平行截面的面积思考：如何求该椭圆绕y轴旋转而成的立体的体积？xyx📚例6解