经济数学微积分课件 2.9曲线的凹凸性、拐点及函数作图

第2章一元函数微分学——导数、微分及其应用09函数的凹凸性、拐点及函数作图本讲内容会用导数判断函数图形的凹凸性；会求函数曲线的拐点,会求曲线的渐近线；会用导数综合研究函数的单调性、极值及曲线的凹凸性、拐点和渐近线,会描绘一些简单函数的图形.

学习要求：一、曲线的凹凸性二、曲线的拐点三、曲线的渐近线四、函数图形的作图五、小结309

函数的凹凸性、拐点及函数作图如何研究曲线的弯曲方向?一、曲线的凹凸性图形上任意点的切线位于曲线的上方图形上任意点的切线位于曲线的下方凹凸📖问题📖定义409

函数的凹凸性、拐点及函数作图凹凸性的判定📖定理509

函数的凹凸性、拐点及函数作图📚例1解609

函数的凹凸性、拐点及函数作图二、曲线的拐点及其求法注意:拐点是曲线上的点(x0,y0).

如果连续曲线y=f(x)上的点(x0,y0)的一侧是凹的，而另一侧是凸的，那么称点(x0,y0)是曲线y=f(x)的拐点.曲线拐点的横坐标x0只可能是使f''(x)=0或f''(x)不存在.📖定义709

函数的凹凸性、拐点及函数作图判别曲线的凹凸性与求拐点的步骤：（1）写出函数的定义域；（2）求函数的二阶导数f''(x),求出定义域内使f''(x)=0或f''(x)不存在的x的值；（3）以求出的x的值将定义域划分成若干区间，判别各区间内的凹凸性，根据拐点定义判定是否为拐点.809

函数的凹凸性、拐点及函数作图拐点拐点📚例2解凹区间凸区间909

函数的凹凸性、拐点及函数作图📚例3解1009

函数的凹凸性、拐点及函数作图三、渐近线(1)水平渐近线如果y=f(x)的定义域是无穷区间，且有那么称直线y=C为曲线y=f(x)的水平渐近线.

如果曲线上的点P沿曲线趋于无穷远时，点P与某条直线的距离趋于零，那么称这条直线为该曲线的渐近线.📖定义1109

函数的凹凸性、拐点及函数作图例如有水平渐近线两条:(2)铅直渐近线如果函数y=f(x)在x=x0处间断，且有那么称直线x=x0为曲线y=f(x)的铅直渐近线.1209

函数的凹凸性、拐点及函数作图例如有铅直渐近线两条:1309

函数的凹凸性、拐点及函数作图(3)斜渐近线如果y=f(x)的定义域是无穷区间，且有那么称y=ax+b为曲线y=f(x)的斜渐近线.注意:1409

函数的凹凸性、拐点及函数作图∴x=1是曲线的垂直渐近线.∴y=2x+4是曲线的斜渐近线.📚例4解1509

函数的凹凸性、拐点及函数作图四、函数图形的描绘函数图形描绘的步骤第一步第二步1609

函数的凹凸性、拐点及函数作图第三步第四步

确定函数图形的水平、垂直渐近线、斜渐近线以及其他变化趋势;第五步1709

函数的凹凸性、拐点及函数作图非奇非偶函数,且无对称性.📚例5解1809

函数的凹凸性、拐点及函数作图列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点和拐点:不存在拐点极值点间断点得垂直渐近线x=0.1909

函数的凹凸性、拐点及函数作图作图2009

函数的凹凸性、拐点及函数作图偶函数,图形关于y轴对称.📚例6解2109

函数的凹凸性、拐点及函数作图拐点极大值列表确定函数升降区间,凹凸区间及极值点与拐点:拐点正态分布曲线2209

函数的凹凸性、拐点及函数作图无奇偶性及周期性.列表确定函数单调区间,凹凸区间及极值点与拐点:📚例7解2309

函数的凹凸性、拐点及函数作图拐点极大值极小值2409

函数的凹凸性、拐点及函数作图设某厂家打算生产一批商品投放市场，已知该商品的需求函数为

最大需求量为6，其中x表示需求量，P为价格：(1)求该商品的收益函数和边际收益函数；(2)求使收益最大时的产量，最大收益和相应的价格；(3)画出收益函数的图形.📚例82509

函数的凹凸性、拐点及函数作图解2609

函数的凹凸性、拐点及函数作图x(0,2)2(2,4)4(4,6)+0------0+极大值拐点27小结：2.9

函数的凹凸性、拐点及函数作图4.函数图形的描绘综合运用函数性态的研究.1.曲线的弯曲方向——凹凸性；凹凸性的判定.

2.改变弯曲方向的点——拐点;拐点的判断3.函数曲线在无穷远处的变化趋势——渐近线水平渐近线、铅直渐近线、斜渐近线f''