经济数学微积分课件 5.3二阶常系数线性微分方程

第5章微分方程与差分方程03二阶常系数线性微分方程本讲内容

掌握二阶常系数齐次线性微分方程的求解方法,会解某些高于二阶的常系数齐次线性微分方程；了解线性微分方程解的结构,会求解二阶常系数非齐次线性微分方程；会用二阶常系数线性微分方程解决简单的经济应用问题.学习要求：二、二阶常系数齐次

线性方程解法四、小结三、二阶常系数非齐

次线性方程解法一、定义303

二阶常系数线性微分方程一、定义二阶常系数齐次线性方程的标准形式二阶常系数非齐次线性方程的标准形式自由项403

二阶常系数线性微分方程

1.二阶齐次线性方程解的结构📖定理1📖问题二、二阶常系数齐次线性微分方程503

二阶常系数线性微分方程例如观察有📖定理2603

二阶常系数线性微分方程2、二阶常系数齐次线性方程解法将其代入上述方程,得故有特征方程特征根猜想？703

二阶常系数线性微分方程1)有两个不相等的实根两个线性无关的特解得齐次方程的通解为特征根为803

二阶常系数线性微分方程2)有两个相等的实根一特解为得齐次方程的通解为特征根为903

二阶常系数线性微分方程3)有一对共轭复根重新组合得齐次方程的通解为特征根为10二阶常系数齐次线性方程通解形式

由常系数齐次线性方程的特征方程的根确定其通解的方法称为特征方程法.1103

二阶常系数线性微分方程

特征方程为解得故所求通解为📚例1解

特征方程为解得故所求通解为📚例2解1203

二阶常系数线性微分方程

📚例3解133、n阶系数齐次线性方程解法求微分方程y‴+y″+y'+y=0的通解.📚例4解所给方程的特征方程为r3+r2+r+1=0,特征根为r1=-1,r

2,3=±i,故原方程的通解为y=C

1e-x

+C2cosx+C

3sinx.

📚例5解求微分方程y‴-3y″+3y'-y=0的通解.特征方程为r3-3r2+3r-1=0,特征根为r1,2,3=1,故原方程的通解为y=(C

1+C

2

x+C

3

x2)ex.

14该微分方程的特征根为r1

,2=-2,r

2,3=±i,因此特征方程为(r+2)2(r2+1)=0,即r4+4r3+5r2+4r+4=0,所以满足条件的微分方程为

y(4)+4y‴+5y″+4y'+4y=0.设某个四阶常系数齐次线性微分方程的2个特解分别为y1=xe-2x

,y

2=cosx,求满足条件的微分方程.📚例6解1503

二阶常系数线性微分方程三、二阶常系数非齐次线性方程1.二阶非齐次线性方程的解的结构📖定理31603

二阶常系数线性微分方程

解的叠加原理📖定理4📖定理51703

二阶常系数线性微分方程

二阶常系数非齐次线性方程对应齐次方程通解结构常见自由项类型难点：如何求特解？方法：设试解函数，待定系数法.2.二阶非齐次线性方程的求解1803

二阶常系数线性微分方程

设非齐次方程特解为代入原方程整理得(1)型1903

二阶常系数线性微分方程

综上讨论2003

二阶常系数线性微分方程对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程的通解为📚例7解2103

二阶常系数线性微分方程

对应齐次方程通解特征方程特征根代入方程,得原方程的通解为📚例8解2203

二阶常系数线性微分方程

设2303

二阶常系数线性微分方程对应齐次方程通解代入原方程求得原方程通解为📚例9解2403

二阶常系数线性微分方程都是微分方程的解,是对应齐次方程的解,常数所求通解为📚例10解，即线性无关25小结：5.3

二阶常系数线性微分方程1.线性方程解的结构；2.二阶常系数齐次微分方程求通解的一般步骤:（1）写出相应的特征方程;（2）求出特征根;（3）根据特