2024-2025学年上海杨浦区部分学校七年级(下)期末数学试卷及答案

数学2024-2025学年上海市杨浦区部分学校七年级（下）期末数学试卷一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）1.(3分)已知a<b<0，下列式子中，正确的是（）A.a+b<0B.a−b>0C.aD.a2.(3分)如果三角形的两边分别为3和5，那么这个三角形的第三边可能是（）A.2B.4C.8D.103.(3分)如果用一个高为12厘米的圆锥形容器盛满水，倒入与它等底等高的圆柱形容器中，那么水的高度是（）A.36厘米B.12厘米C.8厘米D.4厘米4.(3分)如图，这是一款自行车的平面示意图，其中AB∥CD,那么下列结论错误的是（）A.如果∠EAC=∠ACB，那么AE∥CBB.如果∠EAB+∠ABC=180∘，那么AEC.如果AE∥CB,∠BCD=∠BAC=57∘D.如果AE∥CB,∠EAC=57∘，∠ACD=5.(3分)下列说法中，错误的是（）A.两角对应相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等B.两边对应相等且其中一组等边的对角相等的两个三角形全等C.两边对应相等且其中一组等边上的中线相等的两个三角形全等D.两角对应相等且其中一组等角的平分线相等的两个三角形全等6.(3分)如图，点M、N是方格纸中的两个格点（即正方形的顶点)，在这个4×4方格纸中，找出格点P使△MNP为等腰三角形，那么满足条件的格点P的个数是（）A.3B.4C.5D.6二、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分）7.(3分)若x−23是非负数，那么满足题意的最小整数x是8.(3分)命题“对顶角相等”的逆命题是.9.(3分)如果三角形的三个内角的度数比是2:3:4，则它是三角形（填锐角、直角或钝角)。10.(3分)已知等腰三角形的周长为10，一边长为2，那么它的腰长为.11.(3分)已知△ABC中，AB=AC，∠B=50∘，如果D是边BC的中点，那么∠CAD=12.(3分)已知：如图，a∥b，三角尺的直角顶点在直线b上，∠1=49∘，∠2的度数为13.(3分)如图，在立定跳远后，体育老师是这样测量运动员的成绩的，用一块直角三角板的一边附在跳线上，另一边与拉的皮尺重合，这样做的理由是.14.(3分)如图，已知在△ABC中，点E在边AB上，AD垂直平分CE，垂足为点F，如果AB=9，AC=5，那么BE=.15.(3分)若圆锥底面的半径为3，它的侧面展开图的面积为16π，则它的母线长为.16.(3分)为了维护校园安全，在校门口配备了圆柱形升降阻车桩，如图所示，它的体积是7260πcm3，高ℎ为60cm，则底面半径r是cm17.(3分)我们规定车辆在转弯时的转弯角是车辆原行驶路线与转弯后路线所成的角的外角.如图：一辆车在一段绕山公路行驶（沿箭头方向）时，在点B、C和D处的转弯角分别是α、β和θ，且AB∥DE，则α、β和θ之间的数量关系是.18.(3分)如图，在△ABC中，∠C=30∘，将△ABC绕点A旋转α(0<α<180)度后，点B所对应的点D在边BC上，如果AD平分∠BAC三、解答题（本大题共7题，满分46分）19.(5分)解不等式组&x−1⩽3(x+1)，①&20.(5分)如图，这是某电影院的价目表.某社团16人去此电影院看电影，打算以比赛奖金1600元购买电影票、爆米花与饮料.如果要让每人拿到一张电影票和一杯饮料，那么最多可买多少盒爆米花？21.(5分)如图，已知点B、C、D在一直线上，△ABD与△ACE都是等边三角形，联结DE，试说明AB∥DE的理由.​22.(5分)如图，已知在△ABC中，AB>AC，AD平分∠BAC，点E为AC边上任意一点（不与A、C重合），连接BE交AD于点F.求证：BF>EF.23.(8分)综合实践（一）问题情境田径比赛中，在进行400米比赛时，运动员的起跑点并不处在同一条直线上，为什么这样呢？如果比赛的起点和终点同在一条直线上，显然，对内侧跑道上的运动员较为有利.原因是内侧跑道的一周长较短，因此，为了公平比赛，在外侧跑道的运动员的起跑点必须前移.如图1是某学校新建操场示意图，每条跑道由两条平行直道和两个半径相等的半圆形弯道组成，直道长度为84.4米，第一分道（跑道）的弯道直径为73.0米，每条跑道宽1.22米，共有8条跑道.如图2，径赛规则规定，第一分道（跑道）周长的测量线是距离内突沿的外沿0.30米处，其余各条分道的周长测量线是距离里侧分道线的外沿0.20米处.在进行400米跑步时，第一分道（跑道）的起跑点和终点在同一位置，且规定第一分道（跑道）的起跑点在直道和弯道的交接处点A.（二）数据计算下表中是综合实践活动小组用列表方式呈现的相关数据：（单位：米）道次两条弯道总长两条直道总长第一分道（跑道）2π2×84.4第二分道（跑道）2π2×84.4第三分道（跑道）2π2×84.4………（三）问题解决请根据综合实践活动经历及体会，解答下列问题(π取3.14，结果保留两位小数)。(1)第一分道的弯道总长为______米，第八分道总长为______米；(2)如图1，该学校在操场举行400米比赛，如果第一分道的起跑点设在点A处，第六分道的起跑点设在点A左侧弯道前方点E处，那么第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移______米，∠AOE=______度.24.(8分)请用直尺和圆规完成下列作图并解答问题.(1)如图1，已知△ABC，求作△ABC边AB上的高CD.小亮同学设计的尺规作图过程如下：作法：①以A为圆心，AC长为半径作弧；②以B为圆心，BC长为半径作弧，两弧交于点E；③连接CE，交AB于点D.所以线段CD就是所求的△ABC边AB上的高.(i)请用直尺和圆规，完成小明的作图（保留作图痕迹）；(ii)分别连接AE、BE，再将该作图的证明过程补充完整.证明：∵AC=AE；∴点A在线段CE的垂直平分线上.(______)(填推理依据)∵BC=BE；∴点B在线段CE的垂直平分线上.∴AB垂直平分线段CE.(______)(填推理依据)∴CD⊥AB.即CD是△ABC边AB上的高.(2)如图2，已知△ABC中，AH是边BC上的高，AH=CH，求作△ABC边AB上的高CD.小红同学设计的尺规作图，要求：圆规只使用一次，即圆规只能画一条弧.①请用直尺和圆规，完成小红的作图（保留作图痕迹，简要说明作图步骤）；②根据小红的作法，求证：CD是边AB上的高.25.(10分)在△ABC中，AB=AC，点D是BC边上一点（点D不与B、C重合)。点D关于直线AB的对称点为点E，连接AD.在直线AD上取一点F，使∠EFD=∠BAC，直线EF与直线AC交于点G.(1)如图1，如果∠BAC=60∘，BD<CD，①求∠AGE的度数（用含α的代数式表示）；②求证：GE=AD；(2)如图2，如果∠BAC=90∘，连接AE，当△AEG为等腰三角形时，求数学2024-2025学年上海市杨浦区部分学校七年级（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（本大题共6题，每小题3分，满分18分）1、【答案】A【知识点】不等式的性质2、【答案】B【知识点】三角形三边关系3、【答案】D【知识点】圆锥的计算4、【答案】C【知识点】平行线的性质5、【答案】B【知识点】全等三角形的判定6、【答案】C【知识点】等腰三角形的判定二、填空题（本大题共12题，每小题3分，满分36分）7、【答案】2【知识点】有理数8、【答案】相等的角为对顶角【知识点】原命题与逆命题9、【答案】锐角【知识点】三角形内角和定理10、【答案】4【知识点】等腰三角形的性质,三角形三边关系11、【答案】40【知识点】等腰三角形的性质12、【答案】41【知识点】平行线的性质13、【答案】垂线段最短【知识点】垂线段最短14、【答案】4【知识点】线段垂直平分线的性质15、【答案】16【知识点】圆锥的计算16、【答案】11【知识点】从不同方向看几何体17、【答案】θ=α+β【知识点】平行线的性质,三角形的外角性质18、【答案】40【知识点】旋转的性质三、解答题（本大题共7题，满分46分）19、【解答】解：解不等式①得，x⩾−2，解不等式②得，x>3，所以不等式组的解集为：x>3.【知识点】解一元一次不等式组20、【解答】解：设可以买x盒爆米花，根据题意得：80×16+30x+16(16−x)⩽1600解得：x⩽32又∵x为正整数，∴x的最大值为4.答：最多可买4盒爆米花.【知识点】分式方程的应用21、【解答】证明：∵△ABD与△ACE都是等边三角形，∴AB=AD，∠BAD=∠CAE=60∘，∴∠BAD+∠CAD=∠CAE+∠CAD，即∠BAC=∠DAE，在△BAC与△DAE中，&AB=AD∴△BAC≌△DAE(SAS)∴∠B=∠ADE=60∴∠BAD=∠ADE，∴AB∥DE.【知识点】全等三角形的判定与性质,等边三角形的性质22、【解答】解：在AB上截取AM=AE，连接MF.∵AD平分∠BAC，∴∠MAF=∠EAF.在△MAF和△EAF中.&AM=AE∴△MAF≅△EAF(SAS)∴MF=EF，∠AMF=∠AEF.∴∠BMF=∠BEC.∵∠BEC>∠ABE，∴∠BMF>∠ABE.∴BF>MF.∴BF>EF.【知识点】角平分线的性质23、【解答】解：(1)第一分道的弯道总长为：2π(36.5+0.30)=231.104≈231.10第八分道总长为：2π(36.5+7×1.22+0.20)=284.1072≈284.11故答案为：231.10；284.11；(2)第六分道总长为：2π(36.5+5×1.22+0.20)=268.784≈268.78∴第六分道的起跑点比第一分道的起跑点前移：268.78−231.10=37.68；射∠AOE的度数为n，此时第六道的半径为：36.5+5×1.22+0.2=42.8，nπr180°即n×3.14×42.8180°解得：n≈50.47故答案为：37.68；50.47.【知识点】规律型：图形的变化类,游戏公平性24、【解答】(1)证明：：∵AC=AE；∴点A在线段CE的垂直平分线上（到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上），∵BC=BE；∴点B在线段CE的垂直平分线上.∴AB垂直平分线段CE.(两点确定一条直线)(填推理依据)∴CD⊥AB.即CD是△ABC边AB上的高.故答案为：到线段两个端点的距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，两点确定一条直线.(2)①解：图形如图所示；②证明：∵AH是△ABC的高，∴∠AHB=∠CHT=90∵HA=HC，HB=HT，∴△AHB≌△CHT(SAS)∴∠BAH=∠HCT，∵∠HCT+∠CTH=90∘，∴∠BAH+∠ATD=90∴∠ADT=90∴CD⊥AB，即CD是△ABC的AB边上的高.【知识点】线段垂直平分线的性质25、【解答】(1)①解：如图，∵∠EFD=∠BAC，∠BAC=60∴∠EFD=60∵∠EFD=∠1+∠BAD=∠1+α，∴∠1=60∵∠AGE+∠1+∠BAC=180∴∠AGE=180∴∠AGE=120②证明：在CG上截取CM=BD，连接BM，BE，AE，BM交AD于点H，∵AB=AC，∠BAC=60∴△BCA为等边三角形，∴∠ABC=∠C=60∘，∴△ABD≌△BCM(SAS)∴∠3=∠4，AD=BM，∵∠AHM=∠3+∠5，∴∠AHM=∠4+∠5=60∵∠EFD=∠BAC=60∴∠AHM=∠EFD，∴EG∥BM，∵点D关于直线AB的对称点为点E，∴AE=AD，BE=BD，∠ABE=∠ABC=60∴∠EBC=120∴∠EBC+∠C=180∴EB∥AC，∴四边形EBMG是平行四边形，∴BM=EG，∴EG=AD；(2)解：连接BE，记AB与DE的交点为点N，如图2，∵AB=AC，∠EFD=∠BAC=90∴∠ABC=45由轴对称知∠EAB=∠DAB=α，∠EBA=∠DBA=45∘，DE⊥AB，当点G在边AC上时，由于∠EAG>90∴当△AEG为等腰三角形时，只能是AE=AG，∵∠BAC=∠AFG=90∴∠AGE=α，∴∠A