山东2024年冬季高中学业水平合格考数学试卷真题（含答案详解）

试卷第=page11页（共=sectionpages33页）试卷第=page11页（共=sectionpages33页）山东省2024年冬季普通高中学业水平合格考试数学试题本试卷共4页，满分为100分，考试时间为90分钟一、选择题（本题共20小题，每小题3分，共60分．每小题只有一个选项符合题目要求．）1．已知集合，，则（

）A． B． C． D．2．复数的共轭复数是（

）A． B． C． D．3．（

）A．1 B． C．2 D．4．某乒乓球制造厂生产的乒乓球合格率是99.98%，这说明（

）A．该厂生产的10000个乒乓球中不合格的乒乓球一定有2个B．该厂生产的10000个乒乓球中合格的乒乓球一定有9998个C．该厂生产的10000个乒乓球中没有不合格的乒乓球D．该厂生产的乒乓球合格的可能性是99.98%5．已知向量，，则“”是“”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件6．下列函数是偶函数，且在区间上单调递增的是（

）A． B．C． D．7．在中，内角的对边分别为，若，，，则（

）A． B． C． D．8．已知函数，分别由下表给出，则（

）x123234567A．4 B．5 C．6 D．79．已知，，则（

）A． B． C． D．10．用一段长为的铁丝围成一个矩形，则该矩形面积（单位：）的最大值为（

）A．64 B．16 C．8 D．411．在空间中，直线是异面直线，其中直线平行于平面，则与的所有可能的位置关系有（

）A．或B．或与相交C．或与相交D．或或与相交12．将一枚质地均匀的六面体骰子连续抛掷两次，观察落地时朝上的面的点数，则事件“两次出现的点数之和是8”发生的概率为（

）A． B． C． D．13．若，则不等式的解集是（

）A． B．C． D．14．下列命题是真命题的是（

）A．， B．，C．， D．，15．某校高二（1）班甲、乙两名同学参加“我爱记公式”比赛，他们答对每道题的概率分别为和，现甲、乙各自回答一道题，至少有1人答对的概率为（

）A． B． C． D．16．已知不等式的解集为，则（

）A． B． C． D．17．在“校园安全”知识竞赛中，对某校学生的参赛成绩进行统计，得到如图所示的频率分布直方图．其中样本数据的分布区间为，分组区间是，，，，，．根据频率分布直方图，估计该校学生参赛成绩的80%分位数是（

）A．75 B．80 C．85 D．9018．已知，，，则（

）A． B．C． D．19．在中，内角的对边分别为，若，，，则边上的高为（

）A． B． C． D．220．《九章算术》是中国古代的数学名著，书中将四面皆为直角三角形的三棱锥称为“鳖臑”．如图所示的三棱锥为“鳖臑”，且，则此“鳖臑”的外接球的表面积为（

）A． B． C． D．二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）21．甲、乙两名射击运动员在某次比赛中成绩的方差分别为，，则这次比赛中成绩更稳定的运动员是________．22．已知角的顶点在坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边过点，则的值为______．23．函数的零点的个数为________．24．小明在一次考试中证明命题“若，，则”的过程如下：证明：因为，所以．又因为，所以，所以．上述证明过程中，用到的下列不等式性质的所有序号为________．①如果，那么；②如果，，那么；③如果，，那么；④如果，那么．25．已知是边长为1的等边三角形，为平面内一点，则的最小值是___________．三、解答题（本题共3小题，共25分．）26．已知函数．(1)求的值；(2)求的单调递增区间．27．如图，在直三棱柱中，为的中点．(1)求证：平面；(2)若，，求证：．28．已知函数是定义在上的奇函数．(1)求实数的值；(2)判断的单调性，并用定义证明；(3)若不等式恒成立，求实数的取值范围．答案第=page11页（共=sectionpages22页）答案第=page11页（共=sectionpages22页）1．A【详解】集合，表示大于2的实数，在A中大于2的元素只有3，故．2．D【分析】由复数乘法以及共轭复数的概念即可求解.【详解】由题意，它的共轭复数为.故选：D.3．C【分析】根据对数的运算即可求解.【详解】．4．D【详解】对于A：该厂生产的10000个乒乓球中不合格的产品不一定有2个，可能是多个或者没有，故A错误；对于B：该厂生产的10000个乒乓球中合格的产品不一定有9998个，故B错误；对于C：该厂生产的10000个乒乓球中可能有不合格产品，故C错误；对于D：合格率是概率，表示“合格的可能性”，不是必然事件，该厂生产的产品合格的可能性是99.98%，故D正确；5．B【详解】是模相等，不一定向量相等；若，则．因此“”是“”的必要不充分条件．6．C【详解】A是指数函数，不是偶函数；B是对数函数，不是偶函数；对于C，是偶函数，在单调递增；对于D，在单调递减．7．C【详解】由正弦定理，则.8．C【详解】由表可知，则．9．D【详解】由，且知．由和联立，解得．10．B【详解】设矩形长x、宽y，则，．该矩形面积，当且仅当等号成立．故该矩形面积（单位：）的最大值为16．11．D【分析】根据题意，根据异面直线的定义和直线与平面的位置关系，即可求解.【详解】由直线是异面直线，且直线平行于平面，根据直线与平面的位置关系，可得直线与平面可能平行，相交或在平面内.12．B【详解】掷两次六面体骰子，分别用表示两枚骰子的出现的点数，则样本空间，共个样本点，设“两次出现的点数之和是8”，则，共个样本点，所以．13．A【分析】根据求得的范围，再根据，得到相应的值，从而得到答案.【详解】因为，所以，，又因为，所以时，.14．D【详解】A：当时不成立；B：；C：当时不成立；D：时成立．真命题是D．15．D【详解】设甲答对概率，乙答对概率．至少一人答对的概率为．16．B【详解】由不等式的解集为，则，且方程的两根为和．则由韦达定理有，解得所以．17．C【详解】由图知40至80所占百分数为．80至90分占20%．因此，80%分位数应为85．18．A【分析】利用指数函数和幂函数单调性比较即可得到答案．【详解】比较a和b：由，则是减函数，又，故，即；比较a和c：由，则是增函数，又，故，即．综上，．19．B【详解】由，则，则，设上的高为，则，得.20．B【分析】将“鳖臑”通过补形，将其补为长方体，再通过长方体的外接球性质求得外接球半径.【详解】“鳖臑”即三棱锥的三个侧面为直角三角形，且.则，，，平面，则平面.可补形为长方体，外接球直径等于长方体的体对角线．因为，则长方体对角线：半径，表面积．21．甲【详解】由方差的意义知成绩的方差越小，成绩越稳定，因为，故甲更稳定．22．##【分析】根据题意，利用三角函数的定义，即可求解.【详解】因为角的终边过点，可得，由三角函数的定义，可得.23．2【分析】函数零点个数可转化为与图象交点个数，借助于图象即可求解.【详解】函数零点个数，即方程实数解的个数，即与图象交点个数，作与图象，如图有两个交点，故零点个数为2，这两个零点分别为．24．②③④【分析】直接根据不等式的性质判断可得.【详解】因为，用不等式的乘法性质②；由，用同向不等式相加性质③；由，用正数不等式的乘方性质④．25．【分析】建立直角坐标系，结合向量数量积求解即可.【详解】以线段的中点为坐标原点，所在直线为轴建立如图所示的平面直角坐标系，则，，，设点，则，，，所以，则，当且仅当，时，取最小值．26．(1)1(2)单调增区间为，【分析】（1）利用辅助角公式求出，代入即可求解；（2）结合正弦函数的单调区间即可求解.【详解】（1）．．（2）．令，，解得，所以的单调增区间为，．27．(1)如图，设，连接，∵四边形为直三棱柱的侧面，∴四边形为平行四边形，∴E为的中点，又∵为的中点，∴，又∵平面，平面．∴平面．(2)在中，，，所以，所以为直角三角形，即，又∵平面，平面，，又，平面，∴平面，又∵平面，∴．【分析】（1）由线面平行的判定定理证明即可；（2）由线面垂直的判定定理证明平面，再由线面垂直的性质定理证明即可.【详解】（1）略（2）略28．(1)1(2)在上单调递减，证明：，设，,因为，则，，，所以，即，所以函数在上单调递减．(3)【分析】（1）根据求出，再证明时，即可得解；（2）设，利用作差法证明，即可证明在上单调递减；（3）利用函数的奇偶性和单调性可将不等式化为，令，不