2025-2026年四川教育版高三数学第6章概率统计同步练习题

2025-2026年四川教育版高三数学第6章概率统计同步练习题一、单项选择题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.在某校高三年级随机抽取100名学生进行身高调查，得到样本频率分布直方图如下，若该校高三年级共有1200名学生，则身高在170cm以上（含170cm）的学生约有多少人？（注：直方图中，身高区间为165-170cm的频率为0.15，170-175cm的频率为0.35，175-180cm的频率为0.25，180-185cm的频率为0.15，185cm以上的频率为0.1）A.180人B.210人C.240人D.300人【解析】根据频率分布直方图可知，身高在170cm以上（含170cm）的频率为0.25+0.15+0.1=0.5，因此该校高三年级身高在170cm以上的学生约有1200×0.5=600人。选项B正确。2.某射手每次射击命中目标的概率为0.8，现该射手连续射击3次，则恰好命中2次的概率为多少？A.0.128B.0.384C.0.512D.0.896【解析】设命中目标的概率为p=0.8，则未命中的概率为1-p=0.2。连续射击3次恰好命中2次的事件可以用组合数表示为C(3,2)p^2(1-p)，即3×0.8^2×0.2=0.384。选项B正确。3.已知一组样本数据：3,x,5,7,9，其平均数为6，则这组数据的中位数是多少？A.5B.6C.7D.无法确定【解析】根据平均数的定义，(3+x+5+7+9)/5=6，解得x=6。将数据从小到大排列为3,5,6,7,9，中位数为第3个数据6。选项B正确。4.某班级有男生30人，女生20人，现要随机抽取5名学生参加活动，则抽到3名男生和2名女生的概率为多少？A.0.1B.0.15C.0.2D.0.25【解析】总共有C(50,5)种抽法，抽到3名男生和2名女生的抽法有C(30,3)×C(20,2)，因此概率为[C(30,3)×C(20,2)]/C(50,5)=0.25。选项D正确。5.已知事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则事件A和事件B相互独立的概率是多少？A.0.42B.0.48C.0.54D.0.58【解析】根据概率加法公式，P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.7-0.8=0.5。若A和B独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)=0.6×0.7=0.42。因此P(A∩B)/[P(A)P(B)]=0.5/0.42≈1.19，说明A和B不独立。选项A正确。6.某城市每天发生交通事故的概率为0.005，现该城市有10000辆车，则某天该城市发生3起交通事故的概率约是多少？A.0.0001B.0.001C.0.01D.0.02【解析】根据泊松定理，当n足够大，p足够小时，二项分布B(n,p)近似于泊松分布λ=np。这里λ=10000×0.005=50，发生k次事件的概率为e^(-λ)λ^k/k!。因此P(X=3)=e^(-50)×50^3/6≈0.0001。选项A正确。7.已知一组样本数据的方差为9，若将每个数据都减去5，则新数据的方差是多少？A.9B.14C.16D.45【解析】方差反映数据的离散程度，对数据整体平移不改变方差。因此将每个数据减去5后，新数据的方差仍为9。选项A正确。8.从一副52张的扑克牌中随机抽取3张，则抽到3张同花色的概率是多少？A.1/221B.1/219C.1/221D.1/425【解析】总共有C(52,3)种抽法，抽到3张同花色的抽法有4×C(13,3)，因此概率为[4×C(13,3)]/C(52,3)=1/221。选项C正确。9.已知随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，若P(X>μ)=0.5，则P(X>μ+σ)约是多少？A.0.1587B.0.1915C.0.3413D.0.4332【解析】正态分布关于均值μ对称，P(X>μ+σ)即为右尾概率，查标准正态分布表得约0.1587。选项A正确。10.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机调查了200名学生，其中喜欢数学的有120人，不喜欢数学的有80人。现用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则喜欢数学的学生应抽取多少人？A.8B.10C.12D.15【解析】喜欢数学的学生占60%，因此应抽取60%×20=12人。选项C正确。二、填空题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.已知一组样本数据：2,4,6,8,x，其极差为6，则这组数据的方差是多少？【答案】10【解析】极差为6，则x=8或x=2。若x=8，数据为2,4,6,8,8，平均数为5，方差s^2=[(2-5)^2+(4-5)^2+(6-5)^2+(8-5)^2+(8-5)^2]/5=10。若x=2，数据为2,4,6,8,2，平均数仍为5，方差仍为10。2.若事件A的概率P(A)=0.6，事件B的概率P(B)=0.7，且P(A∪B)=0.8，则P(A∩B)是多少？【答案】0.5【解析】根据概率加法公式，P(A∩B)=P(A)+P(B)-P(A∪B)=0.6+0.7-0.8=0.5。3.已知随机变量X服从二项分布B(10,0.3)，则P(X=3)是多少？【答案】0.2667【解析】P(X=3)=C(10,3)×0.3^3×0.7^7≈0.2667。4.从一副52张的扑克牌中随机抽取2张，则抽到2张红桃的概率是多少？【答案】1/221【解析】总共有C(52,2)种抽法，抽到2张红桃的抽法有C(13,2)，因此概率为C(13,2)/C(52,2)=1/221。5.已知一组样本数据的平均数为5，标准差为2，若将每个数据都乘以3，则新数据的方差是多少？【答案】36【解析】方差变为原方差的9倍，即2^2×3^2=36。6.若事件A和事件B相互独立，且P(A)=0.4，P(B)=0.5，则P(A∪B)是多少？【答案】0.78【解析】P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A)P(B)=0.4+0.5-0.4×0.5=0.78。7.已知随机变量X服从正态分布N(0,1)，则P(X<-1)约是多少？【答案】0.1587【解析】查标准正态分布表得P(X<-1)=0.1587。8.从一个装有3个红球和2个白球的袋中随机抽取2个球，则抽到2个红球的概率是多少？【答案】3/10【解析】总共有C(5,2)种抽法，抽到2个红球的抽法有C(3,2)，因此概率为C(3,2)/C(5,2)=3/10。9.已知一组样本数据：1,2,3,4,5，其标准差是多少？【答案】1.414【解析】平均数为3，方差s^2=[(1-3)^2+(2-3)^2+(3-3)^2+(4-3)^2+(5-3)^2]/5=2，标准差s=√2≈1.414。10.若总体中有100个个体，要抽取一个容量为10的样本，若用系统抽样的方法，则分段间隔k是多少？【答案】10【解析】分段间隔k=总体个数/样本容量=100/10=10。三、判断题（本大题共10小题，每小题2分，共20分）1.若事件A和事件B互斥，则P(A∪B)=P(A)+P(B)。（正确）【解析】互斥事件指A发生则B不发生，因此概率加法公式成立。2.样本频率分布直方图中的每个小长方形的面积等于对应组的频率。（正确）【解析】直方图面积总和为1，每个小长方形面积=组距×频率。3.若随机变量X服从正态分布N(μ,σ^2)，则P(X>μ)=0.5。（正确）【解析】正态分布关于均值对称，μ为中位数。4.方差越小，说明数据越集中。（正确）【解析】方差反映数据的离散程度，方差越小越集中。5.抽样调查得到的样本频率分布可以完全代表总体分布。（错误）【解析】样本分布是总体分布的近似反映，存在抽样误差。6.若事件A和事件B相互独立，则P(A∩B)=P(A)P(B)。（正确）【解析】这是独立事件的定义。7.分层抽样适用于总体内部差异较大的情况。（正确）【解析】分层抽样可以保证各层代表性，适用于差异较大的总体。8.样本中位数一定等于样本平均数。（错误）【解析】中位数是排序后中间的数，平均数是算术平均。9.泊松分布是二项分布的近似，适用于n大p小的情况。（正确）【解析】当n→∞，p→0时，二项分布B(n,p)→泊松分布λ=np。10.系统抽样中，分段间隔k必须为总体个数的整数倍。（正确）【解析】k=总体个数/样本容量，必须是整数。四、简答题（本大题共8小题，每小题2分，共16分）1.简述频率分布直方图和频率分布折线图的区别。【答案】频率分布直方图用小长方形表示频数，面积等于频率；频率分布折线图用线段连接各组中点，反映频率变化趋势。2.解释什么是互斥事件，并举例说明。【答案】互斥事件指A发生则B必不发生的事件。例如：掷骰子时，出现点数为1和出现点数为2是互斥事件。3.简述正态分布曲线的特点。【答案】正态分布曲线是钟形对称的，关于均值μ对称，在μ处达到最大值，曲线下面积为1。4.解释什么是分层抽样，并说明其优点。【答案】分层抽样将总体分成若干层，按比例从各层抽取样本。优点是保证各层代表性，适用于差异较大的总体。5.简述样本方差和总体方差的关系。【答案】样本方差是总体方差的无偏估计量，计算时用(n-1)代替n分母。6.解释什么是独立事件，并举例说明。【答案】独立事件指A发生不影响B发生的概率。例如：掷两枚硬币，第一枚出现正面不影响第二枚出现正面的概率。7.简述泊松分布的应用场景。【答案】泊松分布适用于描述单位时间或单位面积内稀有事件发生的次数，如某段时间内电话呼叫次数。8.解释什么是系统抽样，并说明其步骤。【答案】系统抽样将总体编号，按固定间隔k抽取样本。步骤：确定k=总体个数/样本容量，随机确定起始点r，依次抽取r+k-1,...,r+nk-1。五、应用题（本大题共8小题，每小题4分，共24分）1.某班级有50名学生，其中男生30人，女生20人。现要随机抽取10名学生参加活动，求抽到5名男生和5名女生的概率。【答案】C(30,5)×C(20,5)/C(50,10)≈0.0988【解析】总抽法C(50,10)，抽到5男5女的抽法C(30,5)×C(20,5)，概率≈0.0988。2.已知一组样本数据：4,6,8,10,12，求这组数据的中位数和众数。【答案】中位数：8，众数：无【解析】排序后中间的数是8，没有重复数据，因此众数不存在。3.某射手每次射击命中目标的概率为0.7，现该射手连续射击4次，求至少命中3次的概率。【答案】C(4,3)×0.7^3×0.3+C(4,4)×0.7^4≈0.4116【解析】至少3次包括命中3次和4次，概率=0.4116。4.从一副52张的扑克牌中随机抽取3张，求抽到至少2张红桃的概率。【答案】C(13,2)×C(39,1)/C(52,3)+C(13,3)/C(52,3)≈0.1174【解析】至少2张红桃包括2张红桃1张其他和3张红桃，概率≈0.1174。5.已知随机变量X服从正态分布N(5,4)，求P(3<X<7)。【答案】P(X<7)-P(X<3)=Φ(1)-Φ(-0.5)≈0.5328【解析】标准化后P((X-5)/2<(7-5)/2)=Φ(1)，P((X-5)/2<(3-5)/2)=Φ(-0.5)。6.某学校为了解学生对数学的兴趣，随机调查了200名学生，其中喜欢数学的有120人，不喜欢数学的有80人。现用分层抽样的方法抽取一个容量为20的样本，则喜欢数学的学生应抽取多少人？【答案】120×20/200=12人【解析】喜欢数学的学生占60%，因此应抽取60%×20=12人。7.从一个装有3个红球和2个白球的袋中随机抽取2个球，求抽到2个球颜色不同的概率。【答案】C(3,1)×C(2,1)/C(5,2)≈0.6【解析】抽到2个球颜色不同即1红1白，概率≈0.6。8.已知一组样本数据：2,4,6,8,10，求这组数据的极差和方差。【答案】极差：8，方差：8【解析】极差=最大值-最小值=10-2=8，方差s^2=[(2-6)^2+(4-6)^2+(6-6)^2+(8-6)^2+(10-6)^2]/5=8。六、案例分析题（本大题共9小题，每小题2分，共18分）案例背景：某工厂生产一批零件，为了检验产品质量，随机抽取了100个零件进行检测，得到如下样本频率分布表：|零件尺寸（mm）|49.5-50.5|50.5-51.5|51.5-52.5|52.5-53.5|53.5-54.5||----------------|-----------|-----------|-----------|-----------|-----------||频率|0.05|0.15|0.35|0.3|0.15|1.根据频率分布表，估计这批零件的平均尺寸。【答案】50.9mm【解析】平均尺寸≈49.5×0.05+50.5×0.15+51.5×0.35+52.5×0.3+53.5×0.15=50.9mm。2.根据频率分布表，估计这批零件的尺寸中位数所在区间。【答案】51.5-52.5mm【解析】累计频率超过0.5的区间是51.5-52.5mm。3.根据频率分布表，估计这批零件的尺寸众数所在区间。【答案】51.5-52.5mm【解析】频率最大的区间是51.5-52.5mm。4.根据频率分布表，估计这批零件的尺寸方差。【答案】2.89【解析】方差s^2≈[(49.5-50.9)^2×0.05+(50.5-50.9)^2×0.15+(51.5-50.9)^2×0.35+(52.5-50.9)^2×0.3+(53.5-50.9)^2×0.15]=2.89。5.若规定尺寸在50.5-53.5mm之间的零件为合格品，估计这批零件的合格率。【答案】0.85【解析】合格率=0.15+0.35+0.3=0.85。6.若规定尺寸小于50.5mm或大于53.5mm的零件为次品，估计这批零件的次品率。【答案】0.2【解析】次品率=0.05+0.15=0.2。7.若从这批零件中随机抽取一个零件，该零件尺寸大于51mm的概率约是多少？【答案】0.65【解析】大于51mm的区间包括51.5-52.5mm和52.5-53.5mm，概率=0.35+0.3=0.65。8.若从这批零件中随机抽取3个零件，则抽到3个合格品的概率约是多少？【答案】0.4665【解析】合格率p=0.85，概率=p^3≈0.4665。9.若从这批零件中随机抽取一个零件，该零件尺寸在51-53mm之间的概率约是多少？【答案】0.65【解析】该区间包括51.5-52.5mm和52.5-53.5mm，概率=0.35+0.3=0.65。七、论述题（本大题共11小题，每小题2分，共22分）1.论述抽样调查的优缺点。【答案】抽样调查的优点：省时省力、成本低；缺点：结果存在抽样误差、可能无法完全代表总体。适用于总体过大或检测破坏性的情况。2.论述正态分布在实际生活中的应用。【答案】正态分布在自然科学和社会科学中广泛存在，如身高、体重、考试成绩等。可用于质量控制、误差分析、统计推断等。3.论述分层抽样的适用条件和步骤。【答案】适用条件：总体内部差异较大。步骤：分层、确定各层抽样比例、在各层中随机抽样。优点是保证各层代表性。4.论述频率分布直方图和频率分布折线图的绘制方法及区别。【答案】直方图：用小长方形表示频数，面积等于频率；折线图：用线段连接各组中点。直方图反映频数分布，折线图反映频率变化趋势。5.论述独立事件和互斥事件的区别。【答案】独立事件：A发生不影响B发生的概率；互斥事件：A发生则B必不发生。例如：掷骰子时，出现点数为1和出现点数为2是互斥事件，但掷两枚硬币，第一枚出现正面和第二枚出现正面是独立事件。6.论述样本方差和总体方差的关系及计算方法。【答案】样本方差是总体方差的无偏估计量，计算时用(n-1)代替n分母。总体方差σ^2=Σ(xi-μ)^2/n，样本方差s^2=Σ(xi-x̄)^2/(n-1)。7.论述泊松分布的应用场景及条件。【答案】应用场景：描述单位时间或单位面积内稀有事件发生的次数，如电话呼叫次数、交通事故次数等。条件：n大p小，np=λ为常数。8.论述系统抽样的适用条件和步骤。【答案】适用条件：总体排列有序。步骤：确定k=总体个数/样本容量，随机确定起始点r，依次抽取r+k-1,...,r+nk-1。优点是操作简单。9.论述概率加法公式和乘法公式的应用条件。【答案】加法公式：P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(A∩B)，适用于任意事件；乘法公式：P(A∩B)=P(A)P(B)，适用于独立事件。10.论述样本中位数和样本平均数的区别及适用场景。【答案】中位数反映数据的集中趋势，不受极端值影响；平均数反映数据的平均水平，受极端值影响。中位数适用于偏态分布，平均数适用于正态分布。11.论述样本频率分布的意义和作用。【答案】样本频率分布反映总体的分布特征，可用于估计总体参数、检验假设、发现规律等。是统计推断的基础。【标准答案及解析】一、单项选择题1.B2.B3.B4.D5.A6.A7.A8.C9.A10.C二、填空题1.102.0.53.0.26674.1/2215.366.0.787.0.15878.3/109.1.41410.10三、判断题1.√2.√3.√4.√5.×6.√7.√8.×9.√10.√四、简答题1.直方图用小长方形表示频数，面积等于频率；折线图用线段连接各组中点，反映频率变化趋势。2.互斥事件指A发生则B必不发生。例如：掷骰子时，出现点数为1和出现点数为2是互斥事件。3.正态分布曲线是钟形对称的，关于均值μ对称，在μ处达到最大值，曲线下面积为1。4.分层抽样将总体分成若干层，按比例从各层抽取样本。优点是保证各层代表性，适用于差异较大的总体。5.样本方差是总体方差的无偏估计量，计算时用(n-1)代替n分母。6.独立事件指A发生不影响B发生的概率。例如：掷两枚硬币，第一枚出现正面不影响第二枚出现正面的概率。7.泊松分布适用于描述单位时间或单位面积内稀有事件发生的次数，如某段时间内电话呼叫次数。8.系统抽样将总体编号，按固定间隔k抽取样本。步骤：确定k=总体个数/样本容量，随机确定起始点r，依次抽取r+k-1,...,r+nk-1。9.中位数是排序后中间的数，平均数是算术平均。10.系统抽样中，分段间隔k必须为总体个数的整数倍。五、应用题