湖南省部分学校2024届高三年级上册入学摸底考试数学含解析

2024届高三入学摸底考试

数学试卷

本试卷共4页.全卷满分150分，考试时间120分钟.

注意事项：

1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将条形码粘贴在答题

卡上的指定位置.

2.请按题号顺序在答题卡上各题目的答题区域内作答，写在试卷、草稿纸和答题卡上的

非答题区域均无效.

3.选择题用2B铅笔在答题卡上把所选答案的标号涂黑：非选择题用黑色签字笔在答题

卡上作答；字体工整，笔迹清楚.

4.考试结束后，请将试卷和答题卡一并上交.

一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分,在每小题给出的四个选项中，只有

一项是符合题目要求的.

1.已知集合4={文]/一2工一3<()},4={-1,0,1,2,3,4},则()

A.[0.1.2}B.{-1.0.1}C.{-1,0.1.2}D.{-1,0,1.23}

2.若复数z满足(z+l)(l-i)=l+i,则在复平面内，z对应的点位于()

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

3.已知圆台的上、下底面圆半径分别为1和2,圆台的高为3,则圆台的体积为()

A.21乃B.15%C.7不D.5冗

4.若圆心在第一象限的圆过点(2,0),且与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x+y-11=0的距离为

()

6亚片

A.1B.-3-C.2D.V5

5.已知函数/(x)=|hu|.若0<4<从且/(.)=/(〃)，则4+勖的取值范围为()

A.2近,+o>)B.[3,+oo)C.(2&,+oo)D.(3,+oo)

6.己知函数/(.Y)=2sin(0x+*)(o>O,-3<e<m)图象的相邻两条对称轴之间的距离为巴，口关

122yz3

于点-^,o对称，则e的值为()

118>

12643

7.日、乙两位游客慕名来到张家界旅游，准备从天门山、十里画廊、袁家界、大峡谷4个景点中随机选

择其中一个，在甲、乙两位游客选择的景点不同的条件下，恰好有一名游客选择大峡谷景点的概率为

（）

8.己知函数/（x）=x（a—2e，，其中aeR,则“一5<。<0”是“函数/（力有两个极值点”的

（）

A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件

二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符

合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得。分.

9.下列说法正确的是（）

A.在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于各组的频数

B.数据1,3,4,5,7,9,II,16的第75百分位数为10

C.在残差图中，若样本数据对应的点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高

D.若随机变量4~N（2.b2）,P（J<4）=0.84，则。（2<4<4）=0.34

10.如图，在平面直角坐标系，中.阿基米德螺线与坐标轴依次交于点4（一1,0）,A（0,-2）,

A.（3,0）,A（0,4）,A（—5,（））,•••,则下列结论正确的是（）

A.点儿的坐标为（0,-6）B.△044的面积为56

C.2\0\+]=\0\\+\0\+2\（其中D.若△AA.A+2的面积为169,则〃的值为12

II.如图，在楂长为1的正方体43CO—A4GA中，M，N分别是八B,AO的中点，P为线段GQ上

的动点（含端点），以正方体中心。为球心的球与正方体的每条棱有且只有一个公共点，则下列结论正确

的是（）

AWB

A.球。的表面积为2乃

B.球。在正方体外部的体积小于以乃-1

3

C.存在点P,使得MN上NP

D.直线NP与平面A3C。所成角的正切值的最小值为半

12.已知抛物线C）'2=2/*（〃>0）的焦点为/（1,。），P是抛物线C上位于第一象限内的点，过点户

3

且斜率为一的直线交抛物线C的准线/于点。，点/>在准线/上的射影为点凡若NPQR=N尸。/，贝！卜

4

列结论正确的是（）

A.抛物线C的标准方程为=4xB.APFQ=90°

C.|PF|=—D.四边形FPRQ的面积为毁

119108

三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.

13.若向量a,〃满足”=2愀=2,卜+20=26，则向量a与/，的夹角为.

14.已知J5sina+cosa=：,贝丘05（2。+?）的值为.

15.已知函数〃力的定义域为R,〃x+l）是奇函数，/（x+3）=/（l-x）,/（0）=-2,则

2力023（%）=-----

*=1

22

16.已知双曲线c：二一与="。>0/>0）的左、右焦点分别为匕，工，左、右顶点分别为从，

a~n

A”以大巴为直径的圆与双曲线C的一条渐近线交于点P,且NPA&=45。，则双曲线。的离心率为

四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤.

17.（本小题满分10分）

已知数列｛〃“｝是等差数列,日=凡+〃+3.

（1）求｛〃“｝的通项公式；

（2）设数列也｝满足a=2%，证明：数列也｝是等比数列，并求数列｛d｝的前"项和7；.

18.（本小题满分12分）

在△48C中，角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知、万sinA=J5sinAcosC-sinBsinC.

（I）求角8的大小：

（2）若8的角平分线交AC于点。，且BD=2,求ZXABC•面枳的最小值.

19.（本小题满分12分）

如图，在四棱锥尸一A8CE>中，ZABC=ZCDA=90°,ZBAD=120°,AB=AD=2,E为尸C的

中点.

P

（1）求证：BE〃平面/%/）：

⑵若PC=PD=20平面PCD_L平而八3CQ,求二面角A—CP—D的余弦值.

20.（本小题满分12分）

某人准备应聘甲、乙两家公司的高级工程师，两家公司应聘程序都是：应聘者先进行三项专业技能测

试，专业技能测试通过后进入面试.已知该应聘者应聘甲公司，每项专业技能测试通过的概率均为2：该

3

52

应聘者应聘乙公司，三项专业技能测试通过的概率依次为一，一，〃?，其中0<m<1.技能测试是否通过

63

相互独立.

2

（1）若加=一，分别求该应聘者应聘甲、乙两家公司，三项专业技能测试恰好通过两项的概率；

3

（2）若甲、乙两家公司的招聘在同一时间进行，该应胆者只能应聘其中一家，若以专业技能测i式通过顶

目数的数学期望为决策依据，该应聘者更希望通过乙公司的技能测试，求〃，的取值范围.

21.（本小题满分12分）

已知函数/（jv）=arlnx-x（aeR）.

(1)若xw1,/(x)>-L求a的取值范围；

⑵当a=l时，记函数g(x)=ln(x+l)-/(力的最大值为M,证明：M<2.

22.(本小题满分12分)

r2v21

已知椭圆C-r+二=1(。>〃>())的左、右焦点别为耳，凡，离心率为一，P是椭圆C上一动点，

a~b'2

△P4人面积的最大值为G.

(1)求椭圆c的标准方程：

(2)不过原点。的动直线/与椭圆。交于4,8两点，平面上一点。满足O4=AD,连接8。交椭圆

。于点E(点E在线段8。上且不与端点重合)，若/但二］,求原点。到直线/的距离的取值范围.

2024届高三入学摸底考试•数学

参考答案

1.【答案】A

【解析】由不等式/一2工一3<0,可得一1cx<3,即集合4=k|一1<工<3},又集合

B={-1,0,1,2,3,4},所以ACI8={0,1,2}.故选A.

2.【答案】B

【解析】因为(z+l)(l—i)=l+i,所以z+］=^=/0：?\=一=h所以z=-l+i,所以z对

1-1(1-1)(1+1)2

应的点位于第二象限，故选B.

3.【答案】C

【解析】由已知圆台的体积为［(乃x-)+(乃x2?)+河田市画］><3=7乃，故选C.

4.【答案】D

【解析】由题设可设圆心为(a,a)(a>0),则圆的半径为〃

故圆的方程为a-4)2+()，-〃『=",再把点(2,0)代入得(2-。『+(0-4=/，

解得〃=2,故圆的方程为(x—2『+(y-2『=4,故所求圆的圆心为(2,2),

故圆心到直线2x+y-11=。的跑离d=|2xj+2―U|=逐故选D

V22+l2

5.【答案】D

【解析】由/(〃)=/(〃)得|1间=|叫.根据函数)，=|1词的图象及0<〃<仇

得一Ina=\nb,0<6/<1<h,所以l=b.

a

令g(〃)=a+2b=2h+，根据对勾函数的图象与性质易得g(〃)在(1,48)上单调递增,

所以g(Z?)>g(l)=3.故〃+3>3,故选D.

6.【答案】B

jrrr1

【解析】因为函数/(x)=2sin("x+°)M>O,--<(p<—的两条相邻的对称轴之间的距离为?，所

以7=红，即空=生，解得3=3,从而/｛红］=2sin(3x红+01=0,BPsinf—+^1=0,

3o3<18JI18JV6)

所以区+8=觊(262),解得°=一2+女乃，kwZ,又一工<工，所以勿=工，故选B.

66226

7.【答案】C

【解析】记事件八：甲和乙选择的景点不同，事件B：甲和乙恰好有一人选择大峡谷景点，

3

t1

A3c1A38-

2^7却

所

以P

一-(-

一--

C1C14C1C18\3=-,故选C.

44442

4-

8.【答案】B

【解析】由题意知:/(力定义域为R,/(x)=«-2(l+2jc)e2r,

令J"(x)=O,则凹=(1+2XQ,令g(x)=(l+2x)e2”,则

^(x)=2e2x+2(l+2x)e2x=(4x+4)e2x,

・••当XW(-O0,-l)时，g'(K)<():当时，g'(工)>0,，g(x)在上单调递减，在

(一1,+8)上单调递增，又g(-l)=-e-2,当x<—g时，g(x)<0恒成立，・・・g(x)大致图象如图所

示，

则当一即一之<。<0时，g")与)，=且有两个不同交点，此时/'(力有两个零点，所以

e2e2

233

/(x)有两个极值点：因为一不<。<0时，一不<。<0成立，/(x)有两个极值点，但—：<〃<()

eee

32

时，若一京<〃<一/,/'(x)=a—2(l+2x)e2x=a-2g(x)KO,所以/(x)没有极值点，所以

--^<a<0是阴数/(X)有两个极值点的必要不允分条件，故选B.

9.【答案】BCD

【解析】对于A,在频率分布直方图中，各小长方形的面积等于相应各组的频率，故A错误；

对于B,因为8x0.75=6,故该组数据的第75百分位数为第6个数和第7个数的平均数10,故B正

确；

对于C,由残差定义，如果样本数据点分布的带状区域越狭窄，说明该模型的拟合精度越高•，故C正

确；

对于D,根据止态分布密度困数的性质如产仔>4)=1一尸(彳<4)=0.16,・•・

P(^<0)=P(^>4)=0.16,P(0<^<4)=1-0.16x2=0.68,

P0<<4

p(2<^<4)=(^)=034,故D正确.故选BCD.

10.【答案】ACD

【解析】由题意，螺线与坐标轴依次交于A(—1,0)，4(0,—2)，A(3,0),4(0,4),

A(-5,0),…，可知A(0，-6)，故选项A正确：

可得|Q4j=〃，QA/=〃+1,QAM=〃+2,所以2|OVj=|04j+|04M+21故选项C正确；

△04A的面积为:|O4||O4|=gx7x8=28,故选项B错误；

因为如

乙乙

2

=-n(n+l)+-(rt+l)(n+2)=(n+l),又△儿仆吊口的面积为169,可得(〃+1『=169,解得

2

〃=12.故选项D正确.故选ACD.

II.【答案】ACD

【解析】对于A,如下图所示，正方体的棱切球O的半径R二正，所以球。的表面积为

2

=2兀，故A正确:

对于B,若球体、正方体的体积分别为匕，匕，球0在正方体外部的体积

V>g—%=\万.—1=乃—1，故B错误；

对于C,设CO中点为。，连接MQ,PQ,

若尸为GR中点，则PQ_L平面ABC/),MN在面A8c。内，所以尸

在/\NMQ中，MN=NQ=MQ=\,

所以MN2+NQ?=MQ2,故MNINQ,因为PQCNQ=Q,PQ,NQu平面NPQ,

所以MN_L平面NP。，因为NPu平面NPQ,所以MN1NP,故C正确；

时十D,过点P作PH_L平面A8CZ),连接N”,则直线NP与平面ABCO所成角为NPM7,所以

tanZ/W//-I1=1•当尸在C|时，D〃max—1，所以

12k

（tanZW/7）-------—,故D正确.故选ACD.

'/mmfp5

J--]

V4

12.【答案】ABD

【解析】由已知〃=2,故A正确;

因为点P在准线/上的射影为点儿即PRJ_QR,所以归风=归耳，因为NPQR=NPQF,即PQ为

NFQR的角平分线，所以NPFQ=/QRP=9()0,故B正确：

3/2

点。是斜率为上的直线与抛物线准线的交点，PFLQF,如图所示，设P—,/n,则直线PQ为

4I4

3（〃广）.,316〃?一3，〃2—12

y_〃?==X-—，令x=-i，得）b=-----------,

414J16

由尸尸=j至一1,〃/•（一2,16皿-3"-12]=2一生+12m=0,整理可得

I4JI16J216

3/72'-Sm2+12m-32=（nr+4）（3/«-8）=0,则小二9，得P—,故展|="+1="，故

3、93,49

选项C错误；

o34（1\（X25

由〃1=鼻，得直线。。为），=巳工+£,令x=T得。-1,—,又R-1,-,从而|RQ|二一,所以

343112yz\3/12

四边形FPRQ的面积为2s=归外区@=^x^|=黑，故D正确.故选ABD.

【解析】设向量a，b夹角为。,由已知a+2Z?=（。+2方）=a+4ab+4b

=22+4x2xlxcos6>+4xI2=（2x/3）\得cos6=，，又夕e[0,司，所以8二工.

23

14.【答案】N

9

【解析】因为、回sin二+cosa=—,所以

223

所以sinacos工+cosasin工=，，所以sin(a+工]=，

663I3

所以cos2a+—=l-2sin~a+—=1-2-=—.

I3jI6j⑴9

15.【答案】2

【解析】因为/(x+1)是奇函数，所以/(x+l)=—/(1一4)，又/(%+3)=/(1—力，可得

）（工十3）=—/（x十1）,所以/（工十2）=一/（工），所以/（八+4）=—/（工十2）=/（x）,所以/（x）是

周期为4的周期函数,因为〃x+2）=_f（x）,所以〃2）+/（4）=0,/（1）+/（3）=0,

M23

所以£/。)=506[/(1)+/(2)+43)+〃4)]-/(2024)=-"0)=2.

hl

16.【答案】岳

【解析】连接OP，山已知。石_1。鸟，在&△。环乃中，|OP|=3£用=c,

在ZsOPA,中，tanZPOA=-,则cos/尸0A,=区又|=4,则由余弦定理得

-a-c

222

|PA|=|OP|+|0A|-2|0P|■\0A:|•cosZPOA,,解铀尸也|二Z?,

,77

/+)广=厂

由+1。&知产&_L04,即（由题意，联立方程・b,可求得点

y=~x

p的坐标为?（4±〃））,

所以在RfZ\PA4中，tan/A414=i^H，即2=1,则2=2,

|A旬2aa

所以双曲线C的离心率e=J1+（）二石.

17.【解析】（1）由已知｛4｝为等差数列，记其公差为d.

当〃之2时,£品；+（〃-1）+3'两式相减得2m+「4）=&_〃小）+1，……2分

所以2d=d+l,解得4=1,……3分

当〃=1时，2a2=q+l+3,得2（4+1）=4+4,所以q=2,......4分

所以a”=2+(〃—l)xl=〃+1：......5分

/2”+2

(2)由(1)知a=2勺=2e，所以3=J=2,……7分

b“2n+l

又8=4,所以数列｛〃｝是首项为4,公比为2的等比数列，……8分

々(1-4”)4(1-2"),/、

所以7；=-^--------；2、=2"2_4(或4(2"-1)；4・2"-4).……10分

18.【解析】(1)因为J5sinA=JisinBcosC-sinBsinC,

所以Gsin5cosC-sinBsinC=\/3sin(C+B)......I分

=。3sinCcosB+6cosCsinA,

所以一sin8sinC=A/5sinCeos8,......3分

由于0vCv;r,则sinC>0,

所以-sin6=Geos8,......4分

即tanB=-J§,又DvBv兀，所以8二二三；...6分

3

（2）因为8的角平分线交AC于点。，且80=2,SAABC=S^BD+S^CD,

根据三角形面积公式可得LaLsin2£=1cBZ>sinC+La.BO.sinC,……8分

232323

又用)=2,得讹=2(a+c)24疝，得收之16,当a=c=4时等号成立，……10分

所以S.ABC='acsin821x16x也=，即△48C的面积最小值为4石.……12分

19.【解析】(1)取CO的中点O,连接EO,BO,〈E为PC中点,

：.EO//PD,而石Ocz平面出D,即匚平面用0,二・石0〃平面阴。，……2分

VZABC=ZCAM=90°，ZfiAD=120°,，/88=60°,

又A8=AO,・•・/ADB=/ABD=lx(180o-120°)=30°,

:.NCBD=4CDB=90°-30°=60°,

：.ABCD为等边三角形，：.BOtCD,又AOJ.C。，.・.BO〃/U),……4分

而80a平面用D,ADu平面以Q,，80〃平面%D,

又EO08O=O,.••平面EO8〃平面以。，而EBu平面E08,

•••E3〃平面外£>；……6分

(2)VPC=PD,：.PO±C/>；平面PCQ，平面ABCD,:.P0_L平面ABCD,

又ABCD为等边三角形，：.BO工CD,……7分

•・•在中，AD=AB=2,NDAB=\20。，：,BD=20

♦:PC=PD=2&：.P0J"(国=3»

在等边△BCO中，•・•8。=20。=26，.・.OO=OC=G，08=3.……8分

以。为坐标原点，0B,。。，0P所在直线分别为x,y,z轴建立空间直角坐标系Oqz

则8(3,0,0),C(0,-A0),D(0,x/3,0),P(0,0,3),

••.08=(3,(),0),C8=(3,6O),CP=((),63),……9分

设平面PCB的法向量为〃=(ay,z),

一一[n-CB=3x+>/3y=0,/

所以V.L，令X=l,则〃=(1,一G,l),.......10分

[nCP=yl3y+3z=0'7

•/OB±CD,:.PO±平面ABCD,平面PCD±平面ABCD,

・•・AO_L平面A8C。，••・平面PCO的一个法向量为08=(3,0,0),……11分

.•・侬(〃,。冲=土丝=咯-=在，

''nOBV5X35

故二面角8-CP-。的余弦值为书.……12分

另解：又△8CO为等边三角形，・•.BOJ.CQ,又平面PC。JL平而A8C。，

平面PCD。平面A88=C£）,二.。？，平面尸C。，过点。作O”_LPC,连接

则故N8"O为二面角5—。户一。的平面角.……9分

•・•在AA8O中，AD=AB=2,NDAB=120。，：.BD二26,

♦:PB=PD=26,・•.PO=J（2对一（可=3,

在等边△8CO中，•••8。=20。=26,.・.0。=0。=6，08=3.

.八〃OCOP6x33吟/~2…L13丫

..0H=------------=厂=一，BH=yJOB~+OH~=J3-+-=-------，........11分

CP2x/32VUJ2

3

所以cosNBHO=—=~^=r=—.

BH3x/55

2

故二面角8-C尸-。的余弦值为害.……12分

20•【解析】（1）设该应聘者应聘甲公司恰好通过两项技能测试为事件A,应聘乙公司恰好通过两项技能

测试为事件B,

根据题意可得?（A）=C；2分

*8)=沁j4

.......5分

9

（2）设该应聘者应聘甲公司通过的项目数为X,应聘乙公司通过的项目数为匕

22

根据题意可知，X~B3,-则E(X)=3x§=2,……6分

3

p(r=o)=—m,.......7分

1818

5!(・2、7]

p(r=i)=-xp-〃?)+1--|x/77)+|I--x1——m=-------m,.......8分

和-6I3)183

加小汉（1-551

/ZZ)+|1一-Tx|1--m=------m,

6)36(3)96

52S

()……9分

P'Y=73=6-x3-m9=-mt

则随机变量y的分布列为

Y0123

1171515

P--------tn-------m------m-m

1818183969

10分

51)53

——mx2+—"zx3=一+/〃，11分

砂）=6一,'+19692

31

若E（y）>E（X）,则/十/〃>2,故

即加的取值范围是£12分

（1x-\

21.【解析】（1）由xe0,-1分

2x\nx

.、lnx-x+1

^-h(x)=—―-*则nillZ"言/2分

x\nx

11,可知"（x）v0,所以〃（x）在（0,；上单调递减,

又xe0,—时，Inxvx-4分

2

所以〃（x）N---,故aV—：5分

In2In2

（2）由8（%）=11）（工+1）-幻11%+%可知8（力的定义域为（0,+00）,

因为r(x)=g<x)=—-Inx,...6分

f（^）=--2_-1<0,所以g'（x）在（0,+8）上单调递减，……7分

23

g'⑴=g>。，g——In—<0,

52

3

存在小£1,-，使得g'(不))=0,即111%=—,...8分

X。+1

当犬£（0,天））时，g＜x）＞0,g（x）单调递增,当xe（如+oo）时,g'（x）＜0,g（x）单调递减,

所以g（x）在x=x0处取得唯一极大值，也是最大值，……9分

所以M=g(%)=