2027届吉林省吉林市第六十一中学九年级数学第一学期期末调研试题含解析

2027届吉林省吉林市第六十一中学九年级数学第一学期期末调研试题注意事项:1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2．答题时请按要求用笔。3．请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4．作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5．保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题（每题4分，共48分）1．反比例函数的图象经过点，若点在反比例函数的图象上，则n等于（）A．-4 B．-9 C．4 D．92．已知的三边长分别为、、，且满足，则的形状是（）．A．等边三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形3．抛物线y＝(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是()A．(4，﹣5)，开口向上 B．(4，﹣5)，开口向下C．(﹣4，﹣5)，开口向上 D．(﹣4，﹣5)，开口向下4．如下图，以某点为位似中心，将△AOB进行位似变换得到△CDE，记△AOB与△CDE对应边的比为k,则位似中心的坐标和k的值分别为（）A． B． C． D．5．小张同学制作了四张材质和外观完全一样的书签，每个书签上写着一本书的名称或一个作者姓名，分别是：《西游记》、施耐庵、《安徒生童话》、安徒生，从这四张书签中随机抽取两张，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是()A． B． C． D．6．某校学生小明每天骑自行车上学时都要经过一个十字路口，设十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，那么他遇到绿灯的概率为（）.A． B． C． D．7．将抛物线向左平移2个单位后，得到的抛物线的解析式是（）A． B．C． D．8．正方形具有而菱形不具有的性质是（）A．对角线互相平分 B．对角线相等C．对角线平分一组对角 D．对角线互相垂直9．如图所示为两把按不同比例尺进行刻度的直尺，每把直尺的刻度都是均匀的，已知两把直尺在刻度10处是对齐的，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，则上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是（）A．19.4 B．19.5 C．19.6 D．19.710．如图，已知矩形ABCD，AB＝6，BC＝10，E，F分别是AB，BC的中点，AF与DE相交于I，与BD相交于H，则四边形BEIH的面积为（）A．6 B．7 C．8 D．911．如图，已知．按照以下步骤作图：①以点为圆心，以适当的长为半径作弧，分别交的两边于，两点，连接．②分别以点，为圆心，以大于线段的长为半径作弧，两弧在内交于点，连接，．③连接交于点．下列结论中错误的是（）A． B．C． D．12．如图，内接于⊙，，，则⊙半径为（）A．4 B．6 C．8 D．12二、填空题（每题4分，共24分）13．点关于原点对称的点为_____．14．关于x的方程2x2－ax＋1＝0一个根是1，则它的另一个根为________．15．m、n分别为的一元二次方程的两个不同实数根，则代数式的值为________16．如图，是将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形．若∠BAD=60°，AB=2，则图中阴影部分的面积为．17．如图，从外一点引的两条切线、，切点分别是、，若，是弧上的一个动点（点与、两点不重合），过点作的切线，分别交、于点、，则的周长是________．18．分解因式：3a2b+6ab2=____．三、解答题（共78分）19．（8分）已知：如图，在中，是边上的高，且，，，求的长．20．（8分）如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（，3），B（，2），C（0，）．（1）以y轴为对称轴，把△ABC沿y轴翻折，画出翻折后的△；（2）在（1）的基础上，①以点C为旋转中心，把△顺时针旋转90°，画出旋转后的△；②点的坐标为，在旋转过程中点经过的路径的长度为_____（结果保留π）．21．（8分）计算：2cos30°+（π﹣3.14）0﹣22．（10分）已知：在中，．(1)求作：的外接圆．(要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)(2)若的外接圆的圆心到边的距离为4，，则．23．（10分）某校为响应全民阅读活动，利用节假日面向社会开放学校图书馆.据统计，第一个月进馆128人次，进馆人次逐月增加，到第三个月进馆达到288人次，若进馆人次的月平均增长率相同.（1）求进馆人次的月平均增长率；（2）因条件限制，学校图书馆每月接纳能力不得超过500人次，在进馆人次的月平均增长率不变的条件下，校图书馆能否接待第四个月的进馆人次，并说明理由.24．（10分）某商店专门销售某种品牌的玩具，成本为30元/件，每天的销售量y（件）与销售单价x（元）之间存在着如图所示的一次函数关系．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大，最大利润是多少？（3）为了保证每天的利润不低于3640元，试确定该玩具销售单价的范围．25．（12分）已知，抛物线y＝﹣x2+bx+c经过点A（﹣1，0）和C（0，3）．（1）求抛物线的解析式；（2）在抛物线的对称轴上，是否存在点P，使PA+PC的值最小？如果存在，请求出点P的坐标，如果不存在，请说明理由；（3）设点M在抛物线的对称轴上，当△MAC是直角三角形时，求点M的坐标．26．如图，为的直径，、为上两点，且点为的中点，过点作的垂线，交的延长线于点，交的延长线于点.（1）求证：是的切线；（2）当，时，求的长.

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、A【分析】将点（-2，6）代入得出k的值，再将代入即可【详解】解：∵反比例函数的图象经过点，∴k=（-2）×6=-12，∴又点（3，n）在此反比例函数的图象上，

∴3n=-12，

解得：n=-1．

故选：A本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，只要点在函数的图象上，则一定满足函数的解析式．反之，只要满足函数解析式就一定在函数的图象上．2、D【分析】根据非负数性质求出a,b,c，再根据勾股定理逆定理解析分析.【详解】因为所以a-5=0,b-12=0,13-c=0所以a=5,b=12,c=13因为52+122=132所以a2+b2=c2所以以的三边长分别为、、的三角形是直角三角形.故选：D考核知识点：勾股定理逆定理.根据非负数性质求出a,b,c是关键.3、A【解析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．【详解】由y＝(x﹣4)2﹣5，得开口方向向上，顶点坐标(4，﹣5)．故选：A．本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.4、C【解析】两对对应点的连线的交点即为位似中心，连接OD、AC，交点为（2，2，）即位似中心为（2，2，）；k=OA：CD=6：3=2，故选C．5、D【解析】根据题意先画出树状图得出所有等情况数和到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的情况数，再根据概率公式即可得出答案．【详解】解：根据题意画图如下：共有12种等情况数，抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的有2种情况，则抽到的书签正好是相对应的书名和作者姓名的概率是＝；故选D．此题考查的是用列表法或树状图法求概率．列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件；解题时要注意此题是放回实验还是不放回实验．用到的知识点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．6、D【分析】利用十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，遇到每种信号灯的概率之和为1，进而求出即可．【详解】解：∵十字路口有红、黄、绿三色交通信号灯，他在路口遇到红灯的概率为，遇到黄灯的概率为，∴他遇到绿灯的概率为：1−−＝．故选D．此题主要考查了概率公式，得出遇到每种信号灯的概率之和为1是解题关键．7、A【详解】解：∵抛物线向左平移2个单位后的顶点坐标为（﹣2，0），∴所得抛物线的解析式为．故选A．本题考查二次函数图象与几何变换，利用数形结合思想解题是关键．8、B【分析】根据正方形和菱形的性质逐项分析可得解.【详解】根据正方形对角线的性质：平分、相等、垂直；菱形对角线的性质：平分、垂直，故选B．考点：1.菱形的性质；2.正方形的性质．9、C【分析】根据两把直尺在刻度10处是对齐的及上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，进而判断出上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度即可．【详解】解：由于两把直尺在刻度10处是对齐的，观察图可知上面直尺的刻度11与下面直尺对应的刻度是11.6，即上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度，且上面的直尺在刻度15处与下面的直尺在刻度18处也刚好对齐，因此上面直尺的刻度16与下面直尺对应的刻度是18+1.6=19.6，故答案为C本题考查了学生对图形的观察能力，通过图形得出上面直尺的10个小刻度，对应下面直尺的16个小刻度是解题的关键．10、B【分析】延长AF交DC于Q点，由矩形的性质得出CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，得出＝1，△AEI∽△QDE，因此CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝1：16，根据三角形的面积公式即可得出结果．【详解】延长AF交DC于Q点，如图所示：∵E，F分别是AB，BC的中点，∴AE＝AB＝3，BF＝CF＝BC＝5，∵四边形ABCD是矩形，∴CD＝AB＝6，AB∥CD，AD∥BC，∴＝1，△AEI∽△QDI，∴CQ＝AB＝CD＝6，△AEI的面积：△QDI的面积＝（）2＝，∵AD＝10，∴△AEI中AE边上的高＝2，∴△AEI的面积＝×3×2＝3，∵△ABF的面积＝×5×6＝15，∵AD∥BC，∴△BFH∽△DAH，∴＝＝，∴△BFH的面积＝×2×5＝5，∴四边形BEIH的面积＝△ABF的面积﹣△AEI的面积﹣△BFH的面积＝15﹣3﹣5＝1．故选：B．本题考查了矩形的性质、相似三角形的判定与性质、三角形面积的计算；熟练掌握矩形的性质，证明三角形相似是解决问题的关键．11、C【分析】利用基本作图得出是角平分线的作图，进而解答即可．【详解】由作图步骤可得：是的角平分线，∴∠COE=∠DOE，∵OC=OD，OE=OE，OM=OM，∴△COE≌△DOE，∴∠CEO=∠DEO，∵∠COE=∠DOE，OC=OD，∴CM=DM，OM⊥CD，∴S四边形OCED=S△COE+S△DOE=，但不能得出，∴A、B、D选项正确，不符合题意，C选项错误，符合题意，故选C．本题考查了作图﹣基本作图，全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，三角形的面积等，熟练掌握5种基本作图(作一条线段等于已知线段；作一个角等于已知角；作已知线段的垂直平分线；作已知角的角平分线；过一点作已知直线的垂线)是解题的关键.12、C【分析】连接OB，OC，根据圆周角定理求出∠BOC的度数，再由OB＝OC判断出△OBC是等边三角形，由此可得出结论．【详解】解：连接OB，OC，∵∠BAC＝30°，∴∠BOC＝60°．∵OB＝OC，BC＝1，∴△OBC是等边三角形，∴OB＝BC＝1．故选：C.本题考查的是圆周角定理以及等边三角形的判定和性质，根据题意作出辅助线，构造出等边三角形是解答此题的关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】根据平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，即可得到答案.【详解】∵平面直角坐标系中，关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，∴点关于原点对称点的坐标为．故答案是：.本题主要考查平面直角坐标系中，关于原点的对称点的坐标变化规律，掌握关于原点的对称点的横纵坐标分别互为相反数，是解题的关键.14、．【详解】试题分析：设方程的另一个根为m，根据根与系数的关系得到1•m=，解得m=．考点：根与系数的关系．15、1【分析】由一元二次方程的解的定义可得m2-4m-1=1，则m2-4m=1，再由根于系数的关系可得mn=-1,最后整体代入即可解答．【详解】解：∵m、n分别为的一元二次方程∴m+n=4,mn=-1，m2-4m-1=1，∴m2-4m=1∴＝1-1=1故答案为1．本题考查了一元二次方程的解和根与系数的关系，其中正确运用根与系数的关系是解答本题的关键．16、12﹣4【详解】试题分析：如图所示：连接AC，BD交于点E，连接DF，FM，MN，DN，∵将菱形ABCD以点O为中心按顺时针方向分别旋转90°，180°，270°后形成的图形，∠BAD=60°，AB=2，∴AC⊥BD，四边形DNMF是正方形，∠AOC=90°，BD=2，AE=EC=，∴∠AOE=45°，ED=1，∴AE=EO=，DO=﹣1，∴S正方形DNMF=2（﹣1）×2（﹣1）×=8﹣4，S△ADF=×AD×AFsin30°=1，∴则图中阴影部分的面积为：4S△ADF+S正方形DNMF=4+8﹣4=12﹣4．故答案为12﹣4．考点：1、旋转的性质；2、菱形的性质．17、【解析】由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB,表示出△PED的周长即可解题.【详解】解：由切线长定理得CD=AD，CE=BE，PA=PB；

所以△PED的周长=PD+DC+CE+PE=PD+AD+BE+PE=PA+PB=2PA=16cm．本题考查了圆的切线,属于简单题,熟悉圆的切线长定理是解题关键.18、3ab（a+2b）【分析】观察可得此题的公因式为：3ab，提取公因式即可求得答案．【详解】解：3a2b+6ab2=3ab（a+2b）故答案为：3ab（a+2b）三、解答题（共78分）19、【分析】根据直角三角形中，30°所对的直角边等于斜边的一半，解得AD的长，再由等腰直角三角形的两条腰相等可得DC的长，最后根据勾股定理解题即可．【详解】解：是边上的高本题考查含30°的直角三角形、等腰直角三角形的性质、勾股定理等知识，是重要考点，难度较易，掌握相关知识是解题关键．20、（1）画图见解析；（2）①画图见解析；②（4，-2），.【分析】（1）根据轴称图形的性质作出图形即可；（2）①根据旋转的性质作出图形即可；②在坐标系中直接读取数值即可，第二空根据弧长计算公式进行计算即可.【详解】解：（1）如图所示：△为所求；（2）①如图所示，△为所求；②由图可知点的坐标为（4，-2）；∵==5在旋转过程中点经过的路径的长度为：=.故答案为：（4，-2），.本题考查了轴对称和旋转作图，以及弧长计算公式的应用.掌握弧长计算公式是解题的关键.21、.【分析】分别根据特殊角的三角函数值、零指数幂的运算法则和二次根式的性质计算各项，再合并即得结果.【详解】解：原式=.本题考查了特殊角的三角函数值、零指数幂和二次根式的性质等知识，属于应知应会题型，熟练掌握基本知识是关键.22、(1)见解析；(2)【分析】(1)作线段的垂直平分线，两线交于点，以为圆心，为半径作，即为所求．(2)在中，利用勾股定理求出即可解决问题．【详解】解：(1)如图即为所求．(2)设线段的垂直平分线交于点．由题意，在中，，∴．故答案为．本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，三角形的外接圆与外心等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．23、（1）进馆人次的月平均增长率为50%；（2）校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．理由见解析.【分析】（1）先分别表示出第二个月和第三个月的进馆人次，再根据第三个月进馆达到288次，列方程求解；

（2）根据（1）所计算出的月平均增长率，计算出第四个月的进馆人次，再与500比较大小即可．【详解】（1）设进馆人次的月平均增长率为，根据题意，得：解得；（舍去）．答：进馆人次的月平均增长率为50%．（2）第四个月进馆人数为（人次），∵，∴校图书馆能接纳第四个月的进馆人次．本题考查了一元二次方程的应用题，根据题意找出等量关系，列出方程是解题的关键．24、（1）；（2）销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元；（3）44≤x≤56【分析】（1）直接利用待定系数法求出一次函数解析式即可；（2）利用w=销量乘以每件利润进而得出关系式求出答案；（3）利用w=3640，进而解方程，再利用二次函数增减性得出答案．【详解】解：（1）y与x之间的函数关系式为：把（35，350），（55，150）代入得：由题意得：解得：∴y与x之间的函数关系式为：．（2）设销售利润为W元则W=（x﹣30）•y=（x﹣30）（﹣10x+700），W=﹣10x2+1000x﹣21000W=﹣10（x﹣50）2+4000∴当销售单价为50元时，每天获取的利润最大，最大利润是4000元．（3）令W=3640∴﹣10（x﹣50）2+4000=3640∴x1=44，x2=56如图所示，由图象得：当44≤x≤56时，每天利润不低于3640元．此题主要考查了二次函数的应用以及待定系数法求一次函数解析式，正确掌握二次函数的性质是解题关键．25、（1）；（2）当的值最小时，点P的坐标为；（3）点M的坐标为、、或.【解析】由点A、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式；连接