2027届广东省东莞市寮步宏伟初级中学数学九上期末经典试题含解析

2027届广东省东莞市寮步宏伟初级中学数学九上期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题（每题4分，共48分）1．已知抛物线y＝ax2+bx+c（a＜0）与x轴交于点A（﹣1，0），与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），顶点坐标为（1，n），则下列结论：①4a+2b＜0；②﹣1≤a≤；③对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立；④关于x的方程ax2+bx+c＝n﹣1有两个不相等的实数根．其中结论正确的个数为（）A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．若反比例函数y=（k≠0）的图象经过点P（﹣2，3），则k的值为（）A．－2 B．12 C．6 D．－63．在Rt△ABC中，∠C＝90°，各边都扩大2倍，则锐角A的锐角三角函数值()A．扩大2倍 B．缩小 C．不变 D．无法确定4．若一个矩形对折后所得矩形与原矩形相似，则此矩形的长边与短边的比是（）．A． B． C． D．5．下列四个图形中，既是中心对称图形，又是轴对称图形的是（）A． B． C． D．6．若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是A．点A在圆外 B．点A在圆上C．点A在圆内 D．不能确定7．下列方程中，是一元二次方程的是()A． B．C． D．8．在一个不透明的袋子里装有若干个白球和15个黄球，这些球除颜色不同外其余均相同，每次从袋子中摸出一个球记录下颜色后再放回，经过很多次重复试验，发现摸到黄球的频率稳定在0.75，则袋中白球有（）A．5个 B．15个 C．20个 D．35个9．如图，将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A'B'C，连接AA'，若∠1=20°，则∠B的度数是()A．70° B．65° C．60° D．55°10．如图，反比例函数的图象经过点A（2，1），若≤1，则x的范围为（）A．≥1 B．≥2 C．＜0或≥2 D．＜0或0＜≤111．“圆材埋壁”是我国古代著名的数学著作《九章算术》中的一个问题：“今有圆材，埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长六寸，问径几何？”用现代的数学语言表述是：“CD为的直径，弦，垂足为E，CE=1寸，AB=10寸，求直径CD的长”，依题意得CD的长为（）A．12寸 B．13寸 C．24寸 D．26寸12．估计+1的值在（）A．2和3之间 B．3和4之间 C．4和5之间 D．5和6之间二、填空题（每题4分，共24分）13．已知实数满足，且，，则抛物线图象上的一点关于抛物线对称轴对称的点为__________．14．“永定楼”，作为门头沟区的地标性建筑，因其坐落在永定河畔而得名．为测得其高度，低空无人机在A处，测得楼顶端B的仰角为30°，楼底端C的俯角为45°，此时低空无人机到地面的垂直距离AE为23米，那么永定楼的高度BC是______米（结果保留根号）．15．如图，AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC于点E，连接BC过点O作OF⊥BC于点F，若BD＝12cm，AE＝4cm，则OF的长度是___cm．16．如图，△ABC中，已知∠C=90°，∠B=55°，点D在边BC上，BD=2CD．把△ABC绕着点D逆时针旋转m（0＜m＜180）度后，如果点B恰好落在初始Rt△ABC的边上，那么m=_____17．若，则=_________.18．如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为（度）．三、解答题（共78分）19．（8分）解方程：x2﹣6x﹣40＝020．（8分）如图，在四边形中，∥,=2,为的中点，请仅用无刻度的直尺分别按下列要求画图(保留作图痕迹)（1）在图1中，画出△ABD的BD边上的中线；（2）在图2中，若BA=BD,画出△ABD的AD边上的高.21．（8分）（1）解方程：（2）如图已知⊙的直径，弦与弦平行，它们之间的距离为7，且，求弦的长．22．（10分）如图，是一个锐角三角形，分别以、向外作等边三角形、，连接、交于点，连接.（1）求证：（2）求证：23．（10分）如图，一次函数的图象与反比例函数的图象相交于、两点，其中点的坐标为，点的坐标为.（1）根据图象，直接写出满足的的取值范围；（2）求这两个函数的表达式；（3）点在线段上，且，求点的坐标.24．（10分）某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每天能售出400双．经市场调查发现：每降价10元，则每天可多售出50双．设每双降价x元，每天总获利y元．（1）如果降价40元，每天总获利多少元呢？（2）每双售价为多少元时，每天的总获利最大？最大获利是多少？25．（12分）如图1，在Rt△ABC中，∠B=90°，BC=2AB=8，点D，E分别是边BC，AC的中点，连接DE，将△EDC绕点C按顺时针方向旋转，记旋转角为α.（1）问题发现①当时，；②当时，（2）拓展探究试判断：当0°≤α＜360°时，的大小有无变化？请仅就图2的情况给出证明.（3）问题解决当△EDC旋转至A、D、E三点共线时，直接写出线段BD的长.26．已知关于x的一元二次方程x2－2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值；（2）在（1）的条件下，方程的实数根是、，求代数式的值．

参考答案一、选择题（每题4分，共48分）1、C【解析】①由抛物线的顶点横坐标可得出b=-2a，进而可得出4a+2b=0，结论①错误；

②利用一次函数图象上点的坐标特征结合b=-2a可得出a=-，再结合抛物线与y轴交点的位置即可得出-1≤a≤-，结论②正确；

③由抛物线的顶点坐标及a＜0，可得出n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，进而可得出对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；

④由抛物线的顶点坐标可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，将直线下移可得出抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，进而可得出关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．【详解】：①∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），

∴-=1，

∴b=-2a，

∴4a+2b=0，结论①错误；

②∵抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A（-1，0），

∴a-b+c=3a+c=0，

∴a=-．

又∵抛物线y=ax2+bx+c与y轴的交点在（0，2），（0，3）之间（包含端点），

∴2≤c≤3，

∴-1≤a≤-，结论②正确；

③∵a＜0，顶点坐标为（1，n），

∴n=a+b+c，且n≥ax2+bx+c，

∴对于任意实数m，a+b≥am2+bm总成立，结论③正确；

④∵抛物线y=ax2+bx+c的顶点坐标为（1，n），

∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n只有一个交点，

又∵a＜0，

∴抛物线开口向下，

∴抛物线y=ax2+bx+c与直线y=n-1有两个交点，

∴关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根，结合④正确．

故选C．本题考查了二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点以及二次函数的性质，观察函数图象，逐一分析四个结论的正误是解题的关键．2、D【分析】直接根据反比例函数图象上点的坐标特征求解．【详解】∵反比例函数y=（k≠0）的图象经过点（-2，3），

∴k=-2×3=-1．

故选：D．此题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，解题关键在于掌握反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象是双曲线，图象上的点（x，y）的横纵坐标的积是定值k，即xy=k．3、C【解析】∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，∴，，，∴在Rt△ABC中，各边都扩大2倍得：，，，故在Rt△ABC中，各边都扩大2倍，则锐角A的锐角三角函数值不变.故选C.本题考查了锐角三角函数，根据锐角三角函数的概念：锐角A的各个三角函数值等于直角三角形的边的比值可知，三角形的各边都扩大（缩小）多少倍，锐角A的三角函数值是不会变的.4、C【分析】根据相似图形对应边成比例列出关系式即可求解.【详解】如图，矩形ABCD对折后所得矩形与原矩形相似，则矩形ABCD∽矩形BFEA，设矩形的长边长是a，短边长是b，则AB=CD=EF=b，AD=BC=a，BF=AE=，根据相似多边形对应边成比例得：，即∴∴故选C.本题考查相似多边形的性质，根据相似多边形对应边成比例建立方程是关键.5、D【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念，并结合图形的特点求解．【详解】解：A、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

B、不是轴对称图形，是中心对称图形，故选项错误；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，故选项错误；

D、是轴对称图形，是中心对称图形，故选项正确．

故选：D．本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．

轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形沿对称轴折叠后可重合；

中心对称图形关键是要寻找对称中心，图形旋转180°后与原图重合．6、C【分析】要确定点与圆的位置关系，主要确定点与圆心的距离与半径的大小关系；利用d＞r时，点在圆外；当d=r时，点在圆上；当d＜r时，点在圆内判断出即可．【详解】解：∵⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，∴d＜r，∴点A与⊙O的位置关系是：点A在圆内，故选C．7、B【解析】根据一元二次方程的定义进行判断即可．【详解】A.属于多项式，错误；B.属于一元二次方程，正确；C.未知数项的最高次数是2，但不属于整式方程，错误；D.属于整式方程，未知数项的最高次数是3，错误．故答案为：B．本题考查了一元二次方程的性质以及定义，掌握一元二次方程的定义是解题的关键．8、A【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．【详解】解：设袋中白球有x个，根据题意得：=0.75，解得：x=5，经检验：x=5是分式方程的解，故袋中白球有5个．故选A．此题考查了利用概率的求法估计总体个数，利用如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率P（A）=是解题关键．9、B【分析】根据图形旋转的性质得AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，从而得∠AA′C=45°，结合∠1=20°，即可求解．【详解】∵将RtABC绕直角项点C顺时针旋转90°，得到A'B'C，∴AC=A′C，∠ACA′=90°，∠B=∠A′B′C，∴∠AA′C=45°，∵∠1=20°，∴∠B′A′C=45°-20°=25°，∴∠A′B′C=90°-25°=65°，∴∠B=65°．故选B．本题主要考查旋转的性质，等腰三角形和直角三角形的性质，掌握等腰三角形和直角三角形的性质定理，是解题的关键．10、C【解析】解：由图像可得，当＜0或≥2时，≤1.故选C.11、D【分析】连接AO，设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，然后利用垂径定理得出AE，最后根据勾股定理进一步求解即可.【详解】如图，连接AO，设直径CD的长为寸，则半径OA=OC=寸，∵CD为的直径，弦，垂足为E，AB=10寸，∴AE=BE=AB=5寸，根据勾股定理可知，在Rt△AOE中，，∴，解得：，∴，即CD长为26寸.本题主要考查了垂径定理与勾股定理的综合运用，熟练掌握相关概念是解题关键.12、B【解析】分析：直接利用2＜＜3，进而得出答案．详解：∵2＜＜3，∴3＜+1＜4，故选B．点睛：此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键．二、填空题（每题4分，共24分）13、【分析】先根据题意确定抛物线的对称轴，再利用抛物线的对称性解答即可.【详解】解：∵，，∴点（－1，0）与（3，0）在抛物线上，∴抛物线的对称轴是直线：x=1，∴点关于直线x=1对称的点为：（4，4）.故答案为：（4，4）.本题考查了二次函数的性质和二次函数图象上点的坐标特征，属于常考题型，根据题意判断出点（－1，0）与（3，0）在抛物线上、熟练掌握抛物线的对称性是解题的关键.14、【分析】过点A作BC的垂线，垂足为D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，进一步推出AD=CD=AE=米,再根据tan∠BAD==,从而求出BD的值，再由BC=BD+CD即可得到结果.【详解】解：如图所示，过点A作AD⊥BC于D，则∠DAC=45°，∠BAD=30°，∵AD⊥BC,∠DAC=45°，∴AD=CD=AE=米,在Rt△ABD中，tan∠BAD==，∴BD=AD==23(米)∴BC=BD+CD=(米)故答案为.本题主要考查了解直角三角形的应用，解题的关键是从题目中整理出直角三角形并正确的利用边角关系求解．15、.【分析】连接OB，根据垂径定理和勾股定理即可求出OB，从而求出EC，再根据勾股定理即可求出BC，根据三线合一即可求出BF，最后再利用勾股定理即可求出OF.【详解】连接OB，∵AC是⊙O的直径，弦BD⊥AC，∴BE＝BD＝6cm，在Rt△OEB中，OB2＝OE2+BE2，即OB2＝（OB﹣4）2+62，解得：OB＝，∴AC=2OA=2OB=13cm则EC＝AC﹣AE＝9cm，BC＝＝＝3cm，∵OF⊥BC，OB=OC∴BF＝BC＝cm，∴OF＝＝＝cm，故答案为．此题考查的是垂径定理和勾股定理，掌握垂径定理和勾股定理的结合是解决此题的关键.16、70°或120°【分析】①当点B落在AB边上时，根据DB=DB1，即可解决问题，②当点B落在AC上时，在RT△DCB2中，根据∠C=90°，DB2=DB=2CD可以判定∠CB2D=30°，由此即可解决问题．【详解】①当点B落在AB边上时，∵，∴，∴，②当点B落在AC上时，在中,∵∠C=90°,，∴，∴，故答案为70°或120°.本题考查的知识点是旋转的性质，解题关键是考虑多种情况，进行分类讨论.17、【解析】根据分式的性质即可解答.【详解】∵=1+=,∴=∴=此题主要考查分式的性质，解题的关键是熟知分式的运算性质.18、55【分析】连接OA，OB，根据圆周角定理可得解.【详解】连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°．∴．∴∠C和∠AOB是同弧所对的圆周角和圆心角，∴∠C=∠AOB=55°．三、解答题（共78分）19、x1＝10，x2＝﹣1．【分析】用因式分解法即可求解.【详解】解：x2﹣6x﹣10＝0，（x﹣10）（x+1）＝0，∴x﹣10＝0或x+1＝0，∴x1＝10，x2＝﹣1．本题考查一元二次方程的解法，解题的关键是掌握一元二次方程的解法，有直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法．20、(1)作图见解析；（2）作图见解析.【分析】（1）根据AB=2CD，AB=BE，可知BE＝CD，再根据BE//CD，可知连接CE，CE与BD的交点F即为BD的中点，连接AF，则AF即为△ABD的BD边上的中线；（2）由（1）可知连接CE与BD交于点F，则F为BD的中点，根据三角形中位线定理可得EF//AD，EF=AD，则可得四边形ADFE要等腰梯形，连接AF，DE交于点O，根据等腰梯形的性质可推导得出OA=OD，再结合BA=BD可知直线BO是线段AD的垂直平分线，据此即可作出可得△ABD的AD边上的高.【详解】（1）如图AF是△ABD的BD边上的中线；（2）如图AH是△ABD的AD边上的高.本题考查了利用无刻度的直尺按要求作图，结合题意认真分析图形的成因是解题的关键.21、（1）；（2）1．【分析】（1）先移项，然后利用因式分解法解方程即可（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，根据垂径定理求出AM，根据勾股定理求出OM，根据题意求出ON，根据勾股定理、垂径定理计算即可．【详解】（1）解：∵或（2）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，连接OA、OC，则∵∴点在同一条直线上，在中∴在中，∵∴本题考查了解一元二次方程、垂径定理和勾股定理的应用，掌握垂直于弦的直径平分这条弦是解题的关键．22、（1）见解析；（2）见解析【分析】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．根据等边三角形的性质得到AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，根据全等三角形的判定定理即可得△ACD≌△AEB，根据全等三角形的性质可得AM=AN，根据角平分线的判定定理即可得到∠DFA=∠AFE，再根据全等三角形的对应角相等和三角形内角和等于180°得到∠DFB=∠DAG=60°，即可得到结论；（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连DK，根据等边三角形的性质和全等三角形的判定和性质定理即可得到结论．【详解】（1）过A作AM⊥CD于M，AN⊥BE于N，设AB与CD相交于点G．∵△ABD和△ACE为等边三角形，∴AD=AB，AC=AE，∠BAD=∠CAE=60°，∴∠DAC=∠BAE=60°+∠BAC．在△ACD和△AEB中，∵，∴△ACD≌△AEB，∴CD=BE，∠ADG=∠ABF，△ADC的面积=△ABE的面积，∴CD•AM=BE•AN，∴AM=AN，∴AF是∠DFE的平分线，∴∠DFA=∠AFE．∵∠ADG=∠ABF，∠AGD=∠BGF，∴∠DFB=∠DAG=60°，∴∠GFE=120°，∴∠BFD=∠DFA=∠AFE．（2）如图，延长FB至K，使FK=DF，连接DK．∵∠DFB=60°，∴△DFK为等边三角形，∴DK=DF，∠KDF=∠K=60°，∴∠K=∠DFA=60°．∵∠ADB=60°，∴∠KDB=∠FDA．在△DBK和△DAF中，∵∠K=∠DFA，DK=DF，∠KDB=∠FDA，∴△DBK≌△DAF，∴BK=AF．∵DF=DK=FK=BK+BF，∴DF=AF+BF，又∵CD=DF+CF，∴CD=AF+BF+CF．本题考查了全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定与性质，角平分线的判定，正确的作出辅助线是解题的关键．23、（1）或；（2），；（3）【分析】(1)观察图象得到当或时，直线y=k1x+b都在反比例函数的图象上方，由此即可得；(2)先把A(-1，4)代入y=可求得k2，再把B(4，n)代入y=可得n=-1，即B点坐标为(4，-1)，然后把点A、B的坐标分别代入y=k1x+b得到关于k1、b的方程组，解方程组即可求得答案；(3)设与轴交于点，先求出点C坐标，继而求出，根据分别求出，，再根据确定出点在第一象限，求出，继而求出P点的横坐标，由点P在直线上继而可求出点P的纵坐标，即可求得答案.【详解】(1)观察图象可知当或，k1x+b>；(2)把代入，得，∴，∵点在上，∴，∴，把，代入得，解得，∴；(3)设与轴交于点，∵点在直线上，∴，，又，∴，，又，∴点在第一象限，∴，又，∴，解得，把代入，得，∴.本题考查了一次函数与反比例函数的综合题，涉及了待定系数法，函数与不等式，三角形的面积等，熟练掌握相关知识是解题的关键.注意数形结合思想的应用.24、（1）如果降价40元，每天总获利96000元；（2）每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．【分析】（1）根据题意即可列式求解；（2）根据题意，得y=(400+5x)(300－x－100)，根据二次函数的图像与性质即可求解．【详解】（1）根据题意知：每降价1元，则每天可多售出5双，∴(400+5×40)×(300－40－100)=600×160=96000(元)答：如果降价40元，每天总获利96000元．（2）根据题意，得y=(400+5x)(300－x－100)=－5x2+600x+80000=－5(x—60)2+98000∵a=－5，开口向下，y有最大值，∴当x=60时，即当售价为300—60=240元时，y有最大值=98000元答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意写出函数关系式．25、（1）①,②.（2）无变化；理由参见解析.（3），.【分析】（1）①当α=0°时，在Rt△ABC中，由勾股定理，求出AC的值是多少；然后根据点D、E分别是边BC、AC的中点，分别求出AE、BD的大小，即可求出的值是多少．②α=180°时，可得AB∥DE，然后根据，求出的值是多少即