大学概率论与数理统计《随机变量及其分布》课程讲义课件

2026年随机变量及其分布概率论与数理统计·课程讲义课程导览01随机变量概念从随机试验到随机变量的抽象02离散型分布分布律与常见离散型分布03连续型分布密度函数与常见连续型分布04分布函数与综合统一描述工具与综合应用章节01随机变量概念把随机结果变成数字从随机试验到随机变量，开启分布之旅随机试验与样本空间可在相同条件下重复进行特点一随机试验在相同条件下可以重复进行，保证结果的可比性。可能结果不止一个特点二随机试验的可能结果不止一个，体现了结果的多样性。试验前无法确定出现哪个结果特点三随机试验在试验前无法确定出现哪个结果，体现了不确定性。核心概念四大概念样本空间随机试验一切可能结果构成的集合，记作

Ω样本点样本空间中的每一个基本结果随机事件样本空间的子集，可用集合语言表示概率度量事件发生可能性大小的数值为什么引入随机变量为什么要把随机结果变成数字？本身即数值掷骰子的

点数需人为赋值硬币正面记

1

，反面记

01便于使用数学工具函数与微积分等数学工具可用2事件可用取值表达事件可通过变量的

取值表达3推动概率论现代化标志着概率论从古典阶段走向现代阶段随机变量的定义设随机试验的样本空间为

Ω，若对每一个样本点

ω

都有唯一确定的实数

X(ω)

与之对应，则称

X为随机变量。本质实值函数定义在样本空间上的实值函数，自变量是样本点，因变量是实数。写法约定大小写区分随机变量用大写字母

X、Y、Z

表示，取值用小写字母

x、y、z

表示。与普通函数的区别随机自变量自变量是随机出现的样本点。取值特性随机但可度量取值具有随机性，但取值的概率是确定的。随机变量的分类判直观判别方法：能否把取值逐个列出来离离散型随机变量定义全部可能取值可以一一列举出来，取值为有限个或可列无限个例子掷骰子点数研究工具分布律连连续型随机变量定义取值充满某个区间，无法一一列举例子测量误差研究工具概率密度函数引入随机变量的意义把随机结果变成数字，是概率论走向定量研究的关键一步引入随机变量，把随机结果变成数字，概率论由此走向定量研究随机现象的数值化表达随机变量实现了随机现象的数值化表达事件用取值表示事件可表示为随机变量的取值区间或取值集合概率转化求事件概率转化为求变量落在某范围内的概率为分布奠基为下一步研究随机变量的取值规律奠定基础随机变量及其分布，是概率论的核心研究对象章节02离散型分布离散取值，逐点刻画分布律是离散型随机变量的核心工具离散型随机变量与分布律离散型随机变量取值可以一一列举的随机变量分布律描述离散型随机变量取各个可能值概率的完整工具分布律表格取值x₁x₂x₃…概率p₁p₂p₃…分布律的完整刻画分布律完整刻画了离散型随机变量的取值规律分布律的性质分布律的两条基本性质及其应用方向两条基本性质非负性每一个取值的概率都不小于零归一性所有可能取值的概率之和等于

1性质的应用方向3项判定标准判定一个数列能否作为分布律的标准求解参数利用归一性求解分布律中的待定参数求事件概率已知分布律，求随机变量落在任意取值集合内的概率两点分布随机变量只取

0

和

1

两个值，对应概率分别为

1−p

与

p别名又称

0-1分布

或伯努利分布参数分布律由单一参数p

完全确定适用场景只有两种对立结果的随机试验，如成功与失败、合格与不合格基础地位是构建二项分布等复杂分布的基础单元二项分布当

n=1

时，二项分布退化为两点分布背景与定义n重伯努利试验n次独立重复、每次只有两种结果的试验n次试验中成功的次数，记作X服从

B(n,p)分布律与参数取值k的概率=组合数

×

p的k次方

×

(1−p)的(n−k)次方n试验重复的次数p每次试验成功的概率泊松分布泊松分布用于刻画稀有事件在单位时间或单位空间内的发生次数。适用场景与典型领域📞电话呼叫次数放射粒子计数排队系统中的到达数概率由参数

λ

与取值

k

共同确定，刻画稀有事件发生次数。定义要点2点取值概率随机变量取非负整数，取值k的概率由参数

λ

确定，与λ的k次方及自然指数项有关参数含义参数

λ

为正数，表示单位时间或单位空间内的

平均发生次数常见离散型分布对比分布参数适用场景两点分布p单次两种结果的试验二项分布n、pn次独立重复试验的成功次数泊松分布λ单位时间和空间的稀有事件计数特分布关系特例两点分布

是二项分布的特例近近似关系近似二项分布在一定条件下可近似为

泊松分布章节03连续型分布连续取值，积分刻画密度函数让连续型随机变量可计算连续型随机变量与概率密度连续型随机变量的取值充满某个区间，无法逐个列举，因此引入概率密度函数f(x)来刻画取值规律。连续型随机变量通过

概率密度函数f(x)刻画取值规律单点概率任意单点取值的概率为零区间概率区间概率通过对密度函数积分得到密度函数的性质利用

归一性

可求解密度函数中的待定参数非负性密度函数

f(x)恒大于等于零归一性密度函数在全体实数上的积分等于

1概率计算随机变量落在某区间的概率，等于密度函数在该区间上的积分几何意义概率对应密度曲线下方、区间上方的面积均匀分布随机变量在区间[a,b]上取值，概率密度在区间内为常数，记作X~U(a,b)。均匀分布中，等长区间等概率，概率只与长度有关，与位置无关等长区间等概率取值落在任意等长小区间上的概率相等。只与长度有关概率与区间长度成正比，与区间位置无关。典型场景等可能的随机取点问题。指数分布指数分布是连续概率分布，其密度函数由参数λ控制，并具备无记忆性。随机变量取非负值，其分布由参数λ唯一刻画。核心特征无记忆性：已等待的时间不影响后续等待时间的分布典型应用适用等待时间、电子元件寿命、独立随机事件之间的时间间隔等场景。定定义密度函数由参数λ控制随机变量取非负值，密度函数由参数λ控制的指数形式给出。参参数λλ为正数λ取值越大，衰减越快。正态分布正态分布是概率论中最重要的分布X服从N(μ,σ²)形概率密度曲线呈钟形钟形中间高、两头低、左右对称μ均值σ标准差参数作用2项μ决定中心位置曲线关于直线

x=μ

对称σ决定胖瘦高低σ越大曲线越

平缓，σ越小曲线越

陡峭标准正态分布均值μ=0、标准差σ=1

的正态分布，记作

N(0,1)标准化方法：将变量减去均值后再除以标准差|一般正态分布可通过标准化转化为标准正态分布查表标准正态分布表给出随机变量取值不超过某数的概率。转化一般正态分布可通过标准化转化为标准正态分布。对称查表时利用曲线的对称性可计算任意区间的概率。正态分布的应用意义正态分布是统计推断与质量控制的重要基础广泛存在自然科学·社会科学测量误差、人体身高、考试成绩等常近似服从正态分布，覆盖自然科学与社会科学。中心极限定理理论基石大量独立随机变量之和近似服从正态分布。三σ原则质量控制取值落在均值加减三个标准差范围内的概率接近1。章节04分布函数与综合统一工具，融会贯通分布函数串联离散与连续，完成知识闭环分布函数的定义分布函数

F(x)

定义为随机变量X取值不超过x的概率：F(x)=P(X≤x)统一工具分布函数描述随机变量取值规律的统一数学工具。两类适用离散型与连续型均可用分布函数刻画。同一语言串联两类随机变量的研究框架。分布函数的性质分布函数是刻画随机变量概率规律的统一工具，其性质是判定与计算的根本依据。利用上述性质，可判断某个函数是否为分布函数。单调性单调不减随自变量增大，函数值不下降取值范围介于

0

与

1

之间函数值始终落在闭区间内左极限趋于负无穷时为

0自变量充分小时，函数值趋近于下界右连续性每一点均右连续任意点处右极限等于该点函数值两类随机变量的分布函数类型分布函数形态与描述工具的关系离散型阶梯形，分段常函数跳跃高度对应取值概率连续型连续曲线是密度函数的变上限积分要点离散型分布函数在取值处发生

跳跃两类分布函数都能完整刻画随机变量的取值规律型两类分布函数对照离散型阶梯形，分段常函数，跳跃高度对应取值概率连续型连续曲线，是密度函数的变上限积分连续型分布函数处处

连续离散型分布函数在取值处发生

跳跃随机变量函数的分布已知随机变量

X

的分布，求

Y=g(X)

的分布—随机变量函数的分布解题关键：正确确定

Y

的取值范围离散型情形先列出

Y

的所有可能取值再合并对应概率连续型情形常用分布函数法：先求分布函数，再求导得密度当

g

为单调函数时，可用单调变换的密度公式直接求解综合应用与解题思路先判别类型，再选择对应工具，最后计算型典型题型与核心工具区间概率由分布函数求概率：利用区间概率与分布函数的关系变上限积分由密度函数求分布函数：对密度函数求变上限积分累加概率由分布律求分布函数：逐段累加概率归一性条件参数求解问题：利用归一性条件建立方程本章小结与知识体系随机之中有规律，分布之间见乾坤四线交织：概念奠基、工具支撑、分布铺陈、方法落地，构