大学高等数学《函数与极限》教学课件

大学高等数学：函数与极限函数·极限·连续2026课程导览01函数与性质概念奠基与基本特性02极限的定义直观逼近与精确语言03极限的运算运算法则与重要极限04无穷小与无穷大比较方法与等价替换05连续性与间断点连续判定与间断分类01函数与性质函数是描述变量依赖关系的语言函数是变量间的对应法则函数是什么函数

f

是从定义域D（D⊆R）到值域Y的映射——每个x按确定法则唯一对应一个y，记作

y=f(x)。函数的两个要素定义域

+

对应规则，两者缺一不可。两函数如何算相同当且仅当定义域与对应规则两者一致，两函数相同。如何求定义域分母≠0对数输入>0偶次方根下表达式

≥0常见函数与复合反函数基本初等函数线性、多项式、指数、对数、三角、反三角，以及符号函数

sgnx、取整函数

[x]。初等函数由基本初等函数经有限次四则运算与复合构造而成。复合条件y=f(g(x))

成立，要求外层f的定义域与内层g的值域交集非空。反函数自变量与因变量互换后仍满足一一对应；图像与原函数关于直线

y=x

对称。有界性与单调性的判定定义有界性存在正数

M，对一切x∈X，恒有

|f(x)|≤M，则f(x)在X上有界；否则无界。充要条件：既有上界，又有下界|f(x)|≤M有界性的严格判定式定义单调性区间上任意

x₁<x₂

时，考察函数值的大小关系。f(x₁)≤f(x₂)→单调不减允许取等号，图像可呈水平段f(x₁)<f(x₂)→严格单调递增任意两点都不取等号递减与不增方向同理定义约定：单调性讨论均限定在区间内部奇偶性与周期性的要点奇偶性与周期性共同为后续极限与积分计算提供化简依据奇偶性：先看定义域定义域须关于原点对称，否则奇偶性无从谈起奇函数：f(-x)=−f(x)，图像关于原点对称；在原点有定义时必过原点偶函数：f(-x)=f(x)，图像关于y轴对称周期性：找最小正周期存在非零常数T，使f(x+T)=f(x)恒成立，最小的正T即最小正周期正弦、余弦：最小正周期

2π正切：最小正周期

π02极限的定义把无限接近变成可计算的逻辑直观理解极限的逼近极限看的是趋势——逼近的过程，而非抵达的结果先看懂逼近，再谈精确三个关键视角极限看的是趋势：当x无限接近a（或无限增大）时，f(x)无限接近确定值L，则称L为该过程中的极限。瞬时速度就是极限：非匀速运动中，平均速度在Δt趋于零时不断逼近瞬时速度。只看去心邻域：极限值只依赖该点附近的函数值，与该点处函数值本身无关。数列极限的ε-N语言Q

数列{an}何时收敛于a?A

对任意

ε>0，总存在正整数

N，当

n>N

时，恒有

|an−a|<ε，则称{an}收敛于a。Q

ε起什么作用?A

ε代表允许的误差范围，由挑战者任意给定，无论多小。Q

N起什么作用?A

N代表从某项之后数列整体落入误差带，由应答者找出。Q

ε与N的先后关系?A

ε的任意性在先，N的存在性在后——先给误差，再锁住误差。函数极限的ε-δ定义博弈理解：挑战者不断缩小ε，应答者总能找到δ保证误差达标——把“无限接近”的直觉转化为可计算的逻辑。两个角色ε·目标精度由挑战者任意缩小δ·控制范围由应答者对应给出关键约束记号0<|x−a|

强调x不取a本身。仅考察x趋近a的过程，而非a点处的取值。左右极限与极限性质这些性质是极限运算与连续论证的逻辑基础，宜结合具体函数反复体会。极限存在的充要条件函数在某点极限存在，当且仅当左极限与右极限都存在且相等分段函数在分段点处，常分别计算左右极限来判断极限是否存在唯一性极限存在，则极限值唯一局部有界性极限为有限值时，函数在该点某去心邻域内必有界保号性极限值

a>0，则从某项之后相应项保持为正03极限的运算先定型，再定法极限的四则运算法则四则运算须在各极限存在的前提下逐项拆解。四则运算法则和差lim(f±g)=A±B积lim(f·g)=A·B商lim(f/g)=A/B（B≠0）直接代入法多项式与有理函数，分母在极限点处不为零时，limp(x)/q(x)=p(a)/q(a)0/0型与有理化解法核心策略：先定型，再定法。问题直接代入出现

0/0型未定式，分子分母在该点同时趋于零，不能直接得结果。对策一·因式分解消公因子求

x→1时(x²−1)/(x−1)的极限分子分解(x−1)(x+1)2消去公因子后极限为2对策二·有理化消根式求

x→4时(√x−2)/(x−4)的极限分子有理化→1/(√x+2)1/4有理化后化为极限为1/4无穷小运算与夹逼准则运算规则：无穷小对四则运算封闭有限个无穷小之和仍为无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小有限个无穷小的乘积仍是无穷小夹逼准则：两端收敛，中间被迫收敛若

y₉≤x₉≤z₉，且{y₉}、{z₉}都收敛于同一极限

a，则{x₉}也收敛，极限同为

a。函数情形同理：在邻域内被两个同极限函数夹住的函数，其极限被迫存在且相同。单调有界准则与归结原则准则只保证极限存在，不直接给出极限值，常用于递推数列的收敛性证明。典型用途•单调有界准则：证明递推数列收敛|•归结原则：构造两个收敛到同一点、但函数列极限不同的数列，证明极限不存在单调有界准则单调增加且有上界的数列必有极限单调减少且有下界亦然归结原则（海涅定理）limf(x)=A

的充要条件对任意满足xn→x0且xn≠x0的数列，都有f(xn)→A第一个重要极限标标准形式公式lim(x→0)sinx/x=1含义x趋于0时正弦函数与自变量等价使用关键同步分子中的角与分母中的量必须严格同步例题示范结果为2题目求lim(x→0)sin2x/x配凑将分母配成

2x，化为2·sin2x/2x结果极限为

2直观依据几何单位圆中弧长与弦长在x→0时相互逼近应用常与等价无穷小替换结合，处理含三角函数的

0/0

型未定式第二个重要极限核心公式limx→∞(1+1/x)x=e结果等于e等价形式limx→0(1+x)1/x=e二者通过变量代换互换。应用关键括号内加号后的量与指数中的量互为倒数。例题结果为e²limx→∞(1+2/x)x=[(1+2/x)x/2]²=e²该极限常配合对数与指数运算，出现在未定式化简中。04无穷小与无穷大比较趋于零的快慢无穷小与无穷大的定义无穷小与无穷大，描述的是过程，不是终点无穷小infinitelysmall自变量某变化过程中，函数极限为0。无穷大infinitelylarge对任意正数

M，存在

δ>0，使自变量近距离变动时函数绝对值总能大于

M，记极限为无穷。本质辨析二者都不是数，而是描述变量动态逼近状态的形容词，不能直接参与常规数值运算无穷大只是极限不存在的特殊记法，代表函数值无界增长的趋势无穷小与无穷大，描述的是过程，不是终点无穷小与无穷大的对偶互为倒数同一变化过程中，f(x)为无穷大⇒1/f(x)为无穷小；f(x)为无穷小且不为零⇒1/f(x)为无穷大。二者是同一极限结构的两端。化大为小无穷大

÷

无穷大未定式分子分母同除以最高阶项把无穷大压缩为可判定的有限量比较快速确定极限结果无穷小的比较与阶比较定义设

α、β

在x→x₀时均为无穷小，比较二者趋于零的快慢，核心看

lim(β/α)。阶的判定高阶lim(β/α)=0，记β=o(α)低阶lim(β/α)=∞同阶lim(β/α)=C（C≠0）等价lim(β/α)=1k阶无穷小若β与(x−x₀)ᵏ

同阶，则称β为

k阶无穷小。例题x→0时，1−cosx是

二阶无穷小。直观理解：β越快地趋于0，阶数越高，等价于β与某幂函数(x−x₀)ᵏ

同阶。常用等价无穷小公式当x→0时，以下等价关系需熟记常用等价无穷小6项sinx~xsinx与x在x→0时等价tanx~xtanx与x在x→0时等价arcsinx~x反三角函数同样适用arctanx~xx→0时与x同阶ln(1+x)~x对数函数一阶近似eˣ−1~x指数函数一阶近似记忆核心推导与推广3项1−cosx~x²/2二阶项起主导作用(1+x)ᵅ−1~αxα为任意实数，二项式推广aˣ−1~x·lna指数函数的一般形式泰勒一阶近似本质与推广本质来自泰勒展开的一阶近似，可用泰勒公式系统记忆。替换时，x可广义化为任意趋近于零的整体表达式。等价替换的适用边界等价无穷小替换的适用与禁用边界，以及典型错误与判断方法。适用场景因子可替换乘除运算中的因子可替换分子或分母可单独替换，不必同步禁用场景加减须谨慎加减运算中的项不可直接替换否则会改变高阶无穷小带来的误差典型错误警惕错判tanx−sinx与

½x³

等价加减中误将二者分别换成x再相减，会错判极限为零稳妥策略判断方法拿不准时，用泰勒展开到足够阶数再决定取舍。分子分母可单独替换泰勒展开定取舍无穷大的增长层级01lnn→对数阶，增长最缓慢最小阶次：第1级02nᵏ(k>0)→多项式阶，随次数k增大而加快幂次阶次：第2级03aⁿ(a>1)→指数阶，底数a>1，增长远超多项式指数阶次：第3级04n!→阶乘阶，连乘累积，增速强于指数阶乘阶次：第4级05nⁿ→n次幂阶，n的n次方，视为增长最快阶最高阶次：第5级极限取舍•无穷大/无穷大：只保留最高增长阶项，低阶项舍去•示例：(3ⁿ+2ⁿ+n¹⁰⁰)/3ⁿ→105连续性与间断点极限值等于函数值连续性的定义与判定充要条件f(x)在x₀连续⇔limx→x₀f(x)=f(x₀)三层含义函数在x₀有定义极限存在极限值等于函数值连续三要素增量语言Δx→0

时，Δy→0自变量微小变动只引起因变量微小变动左连续与右连续：左极限等于函数值为左连续，右极限等于函数值为右连续；在某点连续

⇔既左连续又右连续间断点的分类第一类：左右极限都存在第一类间断点可去间断点左右极限相等但不等于函数值或该点无定义；重新定义该点值即可连续跳跃间断点左右极限