大学线性代数《二次型》复习课件

期末复习大学线性代数《二次型》期末复习课件矩阵表示·标准形·合同·正定性et复习导览01二次型与矩阵表示从多项式到对称矩阵的对应02化标准形两大方法配方法与正交变换03合同与规范形惯性定理与不变量04正定二次型判定多角度判定与陷阱辨析05典型题型与应试策略高频考点与解题模板SECTION01二次型与矩阵表示二次型的一切问题，都可翻译成对称矩阵的语言从二次齐次多项式到对称矩阵，复习从这里起步什么是二次型只含二次项的多项式，就是二次型n个变量x₁,x₂,…,xₙ的二次齐次多项式，称为这n个变量的二次型01二次型一般形式f等于各平方项

aᵢᵢxᵢ²

之和加上各交叉项

2aᵢⱼxᵢxⱼ

之和02结构两个特征每一项都是二次项没有一次项，也没有常数项03系数实二次型系数取实数时称为实二次型本课件讨论的都是实二次型用对称矩阵表示二次型二次型与对称矩阵，一一对应约定：二次型的矩阵总是指它的对称矩阵令

aᵢⱼ

等于aⱼᵢ，则二次型可写成

f=xᵀAx

的形式对应规则：主对角线元素取平方项系数主对角线元素直接作为平方项系数如

a₁₁

取x₁²的系数关键规则：交叉项系数除以2交叉项

xᵢxⱼ

的系数除以2分别放在

aᵢⱼ

与

aⱼᵢ

处由此得到的A必为对称矩阵称

A

为二次型f的矩阵aᵢⱼ

与

aⱼᵢ

相等二次型与矩阵互化练习注意：非对角线元素只乘一次2，不要重复相乘通过双向转换示例固化矩阵表示规则由二次型写矩阵示例：f=x₁²+2x₁x₂−x₂²+4x₂x₃+2x₃²1主对角线依次取

1、−1、22交叉项系数2除以2得

1；4除以2得

23矩阵A的三行为(1,1,0)、(1,−1,2)、(0,2,2)由矩阵读二次型3条主对角线元素直接作为平方项系数非对角线元素乘以2

后作为交叉项系数非对角线元素对称相等，读取时只乘一次2线性替换与合同关系换变量就是换矩阵，合同关系由此而来从线性替换到合同关系：一次代入，两类矩阵的本质联系就此建立1线性替换令

x=Cy，其中C为可逆矩阵→2代入二次型代入

f=xᵀAx，得新二次型f=yᵀ(CᵀAC)y→3合同关系记

B=CᵀAC，此时称矩阵A与B合同合同关系刻画的是同一个二次型在不同基下的两种表达。关键性质秩不变可逆线性替换保持二次型的秩不变正定性不变可逆线性替换不改变二次型的正定性，是后续判定的重要依据对称性保持变换后新矩阵B仍为对称矩阵SECTION02化标准形两大方法化标准形，要么配方，要么正交变换两条路径各有优劣，考场上要会选、会算配方法的标准流程先把含x₁的项，全部配成完全平方1集中配方若a₁₁不为零，把所有含x₁的项集中起来配方2换元消项令新变量y₁等于x₁加上余下线性项组合，二次型中只剩y₁的平方项3重复迭代对剩下的n减1个变量重复上述过程，直到全部化完4整理成形整理出可逆线性替换x等于Cy，写出标准形优点计算量小通用性强含参数时也好用注意配方后要回代检验确保新变量替换是可逆的配方遇到无平方项怎么办没有平方项，就先制造出平方项提醒：这类替换本身就是可逆线性替换，无需额外构造没有平方项，就先制造出平方项01情形一a₁₁等于零，但某个a₁₂不为零（如f=2x₁x₂）作替换：令

x₁=y₁+y₂，x₂=y₁−y₂，其余变量不变代入后2x₁x₂化为

2y₁²−2y₂²，平方项出现之后回到标准流程继续配方情形二：含x₁的所有系数都为零跳过x₁，直接处理下一变量配方法示例演示一道例题，走完配方全流程可逆替换

y₁=x₁+x₂、y₂=x₂+x₃、y₃=x₃标准形：f=y₁²+2y₂²+3y₃²，正惯性指数为

3第一步含x₁项配方含x₁的项配方得

(x₁+x₂)²−x₂²，与原式合并整理。第二步剩余部分配方剩余部分继续配方2x₂²+4x₂x₃+5x₃²

继续配方，得

2(x₂+x₃)²+3x₃²。第三步整理结果整理得f=(x₁+x₂)²+2(x₂+x₃)²+3x₃²。正交变换法步骤求特征值、特征向量，再做正交化1写出矩阵A写出二次型的矩阵A，确认它是对称矩阵→2求特征值求A的全部特征值λ₁到λₙ→3正交化与单位化求对应特征向量，用施密特方法正交化，再单位化→4构造正交矩阵把单位化后的特征向量拼成正交矩阵Q，令x等于Qy→5得标准形得标准形f等于λ₁y₁²加λ₂y₂²加到λₙyₙ²特点：标准形系数就是特征值，变换矩阵是正交矩阵，保持向量长度不变应用：常用于化二次曲面方程为标准方程正交变换示例与要点二维情形，最易看懂的演示01矩阵矩阵f=2x₁²+2x₁x₂+2x₂²，矩阵A主对角线均为

2，非对角线元素均为

102特征值特征值得λ₁=3，λ₂=103向量特征向量对应特征向量分别为（1,1）与（1,−1），因特征值不同，两个特征向量天然正交，只需单位化04标准形标准形f=3y₁²+y₂²例题：f=2x₁²+2x₁x₂+2x₂²矩阵A主对角线均为

2，非对角线元素均为

1要点：特征值互异时，正交化步骤可以省去，但单位化不能省配方法与正交变换对比两种方法，各有各的用武之地对比项配方法正交变换法变换类型可逆线性替换正交变换标准形系数不一定是特征值恰为全部特征值计算量较小较大，需解特征方程变换矩阵一般可逆矩阵正交矩阵适用场景求标准形、判定正定性求曲面标准方程、要求系数为特征值选择口诀：题目没要求正交，优先配方SECTION03合同与规范形合同看正负惯性指数，规范形是唯一的终点合同变换不改变秩与正负惯性指数合同矩阵的概念与性质同一个二次型，在不同变量下的两个矩阵核心定义若存在可逆矩阵

C，使

B=CᵀAC，则称A与B合同性质1自反性、对称性与传递性性质2合同的矩阵，秩一定相等性质3合同的实对称矩阵，正负惯性指数分别相等性质4合同的矩阵行列式同号，但不一定相等提醒合同

≠

相似，相似要求

B=C⁻¹AC惯性定理无论怎么化标准形，正负平方项的个数不变p正惯性指数正平方项个数q负惯性指数负平方项个数r秩p+qp−q符号差合同合同判定正负惯性指数相同则合同标准形形式不唯一，但

p与q是唯一不变量实二次型化为标准形时，正平方项个数

p

与负平方项个数

q

由二次型唯一确定两个实二次型正负惯性指数相同，则它们必合同规范形把系数统统化归为1和-1规范形——把二次型的系数统统化归为

1与-1二次型标准形定义只含系数

1、-1

与

0

的标准形，称为规范形。形式f=x12+⋯+xp2−xp+12−⋯−xr2合同判定准则规范形由二次型唯一确定，标准形则不唯一两个实二次型合同，当且仅当它们的秩相等且正惯性指数相等两个实二次型的规范形相同，就说明它们合同合同、相似、等价别混淆定义不同，不变量就不同关系定义形式保持的不变量等价B等于PAQ，P、Q均可逆秩合同B等于CᵀAC，C可逆秩、正负惯性指数相似B等于P的逆乘以A乘以P秩、特征值、迹、行列式关键结论：对实对称矩阵，相似一定合同，合同不一定相似判别口诀：看变换矩阵的形式，一眼定关系SECTION04正定二次型判定正定判定方法多，选对方法省一半时间顺序主子式、特征值、配方法，各有适用场景正定二次型的定义与刻画除零向量以外，取值恒为正条件1正惯性指数

p=n，即秩为

n条件2A与单位矩阵合同条件3A的全部特征值都大于零条件4A的各阶顺序主子式都大于零顺序主子式判别法从左上角开始，一格一格地取子式判顺序主子式判别定义取A的前k行与前k列交叉位置构成的k阶子式，记作

Dₖ判别条件A正定，当且仅当

D₁>0，D₂>0，…，Dₙ>0例2×2矩阵示例矩阵A主对角线为

2、3，非对角线为

1D₁D₁=2>0D₂D₂=2×3−1=5>0结论两个顺序主子式均为正，故

A正定优势：只需算

n个行列式，不必求特征值，考场上最省时特征值判别与其他方法判定方法不止一种，关键在选对使用顺序：先看阶数，二、三阶用顺序主子式，含参数用特征值或配方先看阶数——二、三阶用顺序主子式，含参数用特征值或配方特征值法适用条件A正定，当且仅当全部特征值大于零优点结构清晰，适合理论证明题缺点高阶矩阵求特征值繁琐，计算易错配方法适用条件化标准形后，正平方项个数等于变量个数即为正定必要条件速查主对角线元素全大于零、行列式大于零，可快速排除正定判定的易错点方法会用还不够，陷阱要躲开正定判定，条件用对、符号抄准、区间取交，方能避坑正定判定的六处易错点正定只看顺序主子式全为正，不要误以为要检查所有主子式主对角线元素全大于零只是必要条件，不是充分条件反例提醒：主对角线为

1和1、非对角线为

2

的矩阵，行列式为负，并不正定求特征值时行列式展开容易抄错符号，建议逐步核对题目若问负定，不能直接套用正定的判别结论含参数题要解不等式组，注意区间取交集负定与半正定辨析正定之外，还有负定与半正定类型特征值条件顺序主子式条件正定全部大于零各阶全大于零负定全部小于零奇数阶小于零，偶数阶大于零半正定全部大于等于零且有零需检验所有主子式大于等于零不定有正也有负不满足上述任何一类半正定不能用顺序主子式判定，必须检验全部主子式SECTION05典型题型与应试策略题型有限，模板在手，二次型不再丢分把方法固化成步骤，把步骤练成条件反射题型一

矩阵与秩送分题型，细节决定成败››考法：给出二次型，写出其矩阵，并求二次型的秩写出二次型矩阵后，非零行数即为秩1步骤01主对角线平方项系数直接放到主对角线2步骤02交叉项对称交叉项系数除以2，对称地放在对应位置3步骤03化阶梯形求秩用初等变换化为阶梯形，非零行数即为秩常见陷阱交叉项系数

忘记除以2，导致整题结论错误变式与答题提示变式：给出标准形或规范形，反推参数取值答题提示：写出矩阵后先自查是否对称题型二

化标准形与规范形大题主力，步骤写全才给分三种考法·标准答题流程，步骤写全才给分标准答题流程01写出二次型的矩阵A02选择方法含参数或要求系数为特征值时用正交变换03写出变换矩阵与最终标准形并注明正负惯性指数提醒：正交变换法必须写出正交矩阵，漏写会被扣分考法1用配方法化标准形，并写出所用的可逆线性替换考法2用正交变换化标准形，并写出正交矩阵考法3求规范形与正负惯性指数题型三

正定判定与参数范围判定条件一列，参数范围自然出1写出矩阵写出含参数

A

的矩阵2列顺序主子式用顺序主子式列出

D₁>0、D₂>0

直到

Dₙ>03解不等式逐一解不等式，取交集得参数范围4特征值法阶数较高时，改用特征值法更简便正定判定走四步：列矩阵→主子式→取交集定范围易错提醒解的是一组不等式的交集，不是并集检验方法取范围中一个具体值代回，快速验证结论题型四

合同与惯性指数判断合同，本质是比较惯性指数题型四考法：判断合同与求规范形两种考法判断两个实对称矩阵是否合同求与给定二次型合同的规范形三步判定流程1分别求出两个矩阵的秩与正惯性指数2若秩相等且正惯性指数相等，则两矩阵合同3若要写规范形，按正惯性指数与秩直接写出关键结论：实对称矩阵合同，当且仅当秩相同且正惯性指数相同易错提醒：不要用特征值是否相同来判断合同，那是相似的判据题型五

证明题思路证明题抢先看结论，再选工具常见证明结论结论1A正定，则A的逆矩阵也正定，因为特征值取倒数仍为正结论2A可逆，则AᵀA必为