2027年高考数学一轮复习重难点02 函数性质的灵活运用（试题版）

重难点02函数性质的灵活运用（举一反三专项训练）

【全国通用】

【题型1函数的单调性及其应用】...........................................................................................................................3

【题型2函数的最值问题】.......................................................................................................................................4

【题型3函数的奇偶性的综合应用】.......................................................................................................................4

【题型4函数图象的识别及应用】...........................................................................................................................5

【题型5对称性与周期性的综合应用】...................................................................................................................6

【题型6类周期函数】...............................................................................................................................................7

【题型7抽象函数的性质及其应用】.......................................................................................................................7

【题型8函数性质的综合应用】...............................................................................................................................8

【题型9函数新定义】...............................................................................................................................................9

1、函数性质的灵活运用

函数及其性质是高考数学的重点、热点内容.从近三年的高考情况来看，函数的单调性、奇偶性、对称

性与周期性是高考的必考内容，重点关注单调性、奇偶性结合在一起，与函数图象、函数零点和不等式相

结合进行考查，解题时要充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解.

对于选择题和填空题部分，重点考查基本初等函数的单调性、奇偶性、周期性等，主要考察方向是：

判断函数单调性及求最值、解不等式、求参数范围等，难度较小；对于解答题部分，一般与导数相结合，

考查难度较大，需要灵活求解，高考一轮复习时需要加强这方面的训练.

知识点1函数的单调性与最值问题的解题策略

1．求函数的单调区间

求函数的单调区间，应先求定义域，在定义域内求单调区间.

2．函数单调性的判断

(1)函数单调性的判断方法：①定义法；②图象法；③利用已知函数的单调性；④导数法.

(2)函数y=f(g(x))的单调性应根据外层函数y=f(t)和内层函数t=g(x)的单调性判断，遵循“同增异减”的原则.

(3)函数单调性的几条常用结论：

①若f(x)是增函数，则-f(x)为减函数；若f(x)是减函数，则-f(x)为增函数；

②若f(x)和g(x)均为增（或减）函数，则在f(x)和g(x)的公共定义域上f(x)+g(x)为增（或减）函数；

1

③若f(x)>0且f(x)为增函数，则函数f(x)为增函数，为减函数；

f(x)

1

④若f(x)>0且f(x)为减函数，则函数f(x)为减函数，为增函数．

f(x)

3．求函数最值的三种基本方法：

(1)单调性法：先确定函数的单调性，再由单调性求最值.

(2)图象法：先作出函数的图象，再观察其最高点、最低点，求出最值.

(3)基本不等式法：先对解析式变形，使之具备“一正二定三相等”的条件后用基本不等式求出最值.

4．复杂函数求最值：

对于较复杂函数，可运用导数，求出在给定区间上的极值，最后结合端点值，求出最值.

知识点2函数的奇偶性及其应用

1．函数奇偶性的判断

判断函数的奇偶性，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶性的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断f(x)与f(-x)是否具有等量关系，在判断奇偶性的运算中，可以转化为判断奇偶性的等价等量关系式

(f(x)+f(-x)=0(奇函数)或f(x)-f(-x)=0(偶函数))是否成立.

(3)运算函数的奇偶性规律：运算函数是指两个（或多个）函数式通过加、减、乘、除四则运算所得的函数，

如．

对于�(�运)算+函�(数�)有,�如(�)下−结�论(�：),�奇(�±)奇×=�奇(�；),�偶(�±)÷偶�=(偶�)；奇±偶=非奇非偶；奇×(÷)奇=偶；奇×(÷)偶=奇；

偶×(÷)偶=偶．

(4)复合函数y=f[g(x)]的奇偶性原则：内偶则偶，两奇为奇．

(5)常见奇偶性函数模型

ax1ax1

奇函数：①函数f(x)m()(x0)或函数f(x)m()．

ax1ax1

②函数f(x)(axax)．

xm2mxm2m

③函数f(x)loglog(1)或函数f(x)loglog(1)．

axmaxmaxmaxm

④函数2或函数2．

f(x)loga(x1x)f(x)loga(x1x)

2．函数奇偶性的应用

(1)利用函数的奇偶性可求函数值或求参数的取值，求解的关键在于借助奇偶性转化为求已知区间上的函数

或得到参数的恒等式，利用方程思想求参数的值.

(2)画函数图象：利用函数的奇偶性可画出函数在其对称区间上的图象，结合几何直观求解相关问题.

知识点3函数的周期性与对称性的常用结论

1．函数的周期性常用结论(a是不为0的常数)

(1)若f(x+a)=f(x)，则T=a；

(2)若f(x+a)=f(x-a)，则T=2a；

(3)若f(x+a)=-f(x)，则T=2a；

(4)若f(x+a)=，则T=2a；

(5)若f(x+a)=，则T=2a；

(6)若f(x+a)=f(x+b)，则T=|a-b|(a≠b);

2．对称性的三个常用结论

(1)若函数f(x)满足f(a+x)=f(b-x)，则y=f(x)的图象关于直线对称.

(2)若函数f(x)满足f(a+x)=-f(b-x)，则y=f(x)的图象关于点对称.

(3)若函数f(x)满足f(a+x)+f(b-x)=c，则y=f(x)的图象关于点对称.

3．函数的的对称性与周期性的关系

(1)若函数y=f(x)有两条对称轴xa，xb(ab)，则函数y=f(x)是周期函数，且T2(ba)；

(2)若函数y=f(x)的图象有两个对称中心(a,c),(b,c)(ab)，则函数y=f(x)是周期函数，且T2(ba)；

(3)若函数y=f(x)有一条对称轴xa和一个对称中心(b,0)(ab)，则函数y=f(x)是周期函数，且T4(ba).

知识点4抽象函数及其解题策略

1．抽象函数及其求解方法

我们把不给出具体解析式，只给出函数的特殊条件或特征的函数称为抽象函数，一般用y=f(x)表示，抽象函

数问题可以全面考查函数的概念和性质，将函数定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性、图象集于一身，

是考查函数的良好载体.解决这类问题一般采用赋值法解决.

【题型1函数的单调性及其应用】

【例1】（2026·四川绵阳·模拟预测）下列函数中，是偶函数，且在上单调递减的是（）

A．B．C．−D∞．,0

2−2�

�=��=��=2�=log2�

【变式1-1】（2026·甘肃天水·一模）函数的单调递增区间是（）

2

−�+�+2

�=2

A．B．

1

−∞,2(−∞,−1]

C．，D．，

1

−12−12

【变式1-2】（2026·广东肇庆·一模）已知，若成立，则x的取值范

�−�

围是（）�(�)=e−e��+1+��−1>0

A．B．C．D．

【变式1-30】,+（∞2026·山东日照1·,一+模∞）定义在上的函−1数,+∞满足以下条−∞件,：0①∪0,+∞；②对

任意，当时都有R．�则=��的大�小−关�系−是�（�=）0

��1−��2

�1,�2∈0,+∞�1≠�2�1−�2>0�−5,�π,�−3

A．B．

C．�π>�−3>�−5D．�π>�−5>�−3

�π<�−3<�−5�π<�−5<�−3

【题型2函数的最值问题】

【例2】（2026·湖南·模拟预测）已知函数，则“，”是“在上的最小值

为2”的（）��∀�∈0,+∞��≥2��0,+∞

A．充分不必要条件B．必要不充分条件

C．充要条件D．既不充分又不必要条件

【变式2-1】（2026·宁夏陕西·模拟预测）已知函数，则在上的最大值为（）

�−�

A．B．C．0��+1=2−2D．1��−1,1

315

24

【变式2-2】（2026·江西宜春·一模）已知函数在上的最小值是1，则__________.

2

��=log2�−2��2,4�=

【变式2-3】（2026·广东肇庆·二模）已知函数，则的最小值是__________.

−�

2+1,�<1

��=2��

【题型3函数的奇偶性的综合应用】�−6�+4,�≥1

【例】（江苏徐州模拟预测）若函数（）是奇函数，则（）

32026··�

�+1

�

��=�⋅3�>0�=

A．B．1C．3D．9

1

3

【变式3-1】（2026·福建南平·二模）已知是定义在上且周期为4的奇函数，当时，，

�

则（）���−2<�<0��=e

�A2．+-2�ln2=B．C．D．2

11

−22

【变式3-2】（2026·陕西渭南·三模）已知是定义在上的奇函数，是偶函数，则（）

A．0B．��C．2RD�．�4+1�2026=

【变式3-3】（2026·贵州贵阳−·2二模）已知是定义在上的偶函数，且对任意，总

1212

有，则不等式�(�)的解集为�（）�,�∈[0,+∞),�≠�

�(�1)−�(�2)

�1−�2<0�(2�−1)<�(�)

A．B．C．D．

11

(−∞,3)∪(1,+∞)(1,+∞)(3,1)(−∞,1)

【题型4函数图象的识别及应用】

【例】（山东枣庄三模）函数的部分图象大致是（）

42026··−��

�e−e

2

��=�−1

A．B．

C．D．

【变式4-1】（2026·天津河西·三模）已知某函数的大致图象如图所示，则该函数的解析式可能为（）

．．．．

ABCD�−�

sin2��cos�e+e

222�−�

�=�+1�=�+1�=�+1�=2e−e

【变式4-2】（2026·四川成都·一模）已知定义在上的奇函数在上的图象如图所示，则不等式

的解集为（）��(�)[0,+∞)(�−

3)�(�)>0

A．B．

C．(−3,0)∪(3,3)D．(−3,0)∪(0,3)

【变式(】−（∞,−3)陕∪西(0,渭3)南三模）函数(−∞的,部−分3)图∪象(可3,能3)是（）

4-32026··3

3�−�

��=2+cos�

A．B．

C．D．

【题型5对称性与周期性的综合应用】

【例5】（2026·江西九江·一模）定义在上的函数满足：①对任意，都有；

②的图象关于直线对称：③R��．则下列说�法∈正R确的是�（2+）�=�1−�−�

32

�A2�．是奇函数�=1�2=B1．,�2=2是偶函数

��+2��+1

C．D．

2025

12�

222

【变式5-�1】（−2026=·安−徽合肥·模拟预测）定义域为R的函�数=1�，其=图0象关于直线对称，已知

为奇函数，且，则（）�(�)�=1�(�+2)−1

2025

A．2023�(1)=0B．20�2=41�(�)=C．2025D．2026

【变式5-2】（2026·湖南·一模）已知均为定义在上的函数，

，若的图象关于直线��,��对称，且�，则��−1的+值�是�（=�,）��+1=�1−

30

�+A�．463�2�+1B．464�=−1C．465�0=1D�=．1�46�6

【变式5-3】（2026·四川成都·模拟预测）函数对任意，，且为奇函数，

给出下列说法，其中错误的个数为（）���∈���+2=�4−���+6

（1）若时，，则；

�

（2）�∈的周0,3期为；��=2�8=4

（3）��的图象关于6点对称；

（4）��−.6,0

A�．202个5+�3≠B0．个C．个D．个

1234

【题型6类周期函数】

【例6】（25-26高一上·江西吉安·期末）设函数的定义域为R，且，当时，

����+4=2���∈0,4��=

，若对于，都有恒成立，则t的取值范围是（）

23

2�−8�∀�∈−∞,���≥−2

A．B．C．D．

【变式6-1−】∞（,2−0275·云南昆明−·二∞模,−）5定义“函数−∞是,−3上的级类周期函−∞数,”−如1下:函数，

对于给定的非零常数，总存在非零常数，使�=得�定�义域�内的�任意实数都有�=�恒�成,立�，∈D此

时为的周期.若�是上�的级类周期函�数，且，当����时=，��+�,且

�是��上的单�调=递�增�函数1，,+则∞实数的�取值范围为（）�=1�∈1,2��=2�+1�=

��A．1,+∞B．�C．D．

55

6,+∞2,+∞3,+∞10,+∞

【变式6-2】（2026·安徽合肥·模拟预测）定义在上的函数满足，且当时，

1

�����+1=2���∈0,1��=

.当时，，则的最小值为（）

3

1−2�−1�∈�,+∞��≤32�

A．B．C．D．

27291315

8844

【变式6-3】（2025·江西新余·一模）若函数，对于给定的非零实数，总存在非零常数，使

得定义域内的任意实数，都有�=�(�恒)成�立∈，�此时为的假周期�，函数是�上的

级假周期函�数，若函数�是�定�(义�)在=区�(间�+，�)内的3级�假周�(期�)函数且，当�=�(�)，��

，�函=数�(�)0+∞，若，�=2，�∈使[0,2)�(�)=

12

12

2−2�,0≤�≤1122

成立，则实数的取�(值�)范=围−是2l（n�+）2�+�+�∃�∈6,8∃�∈(0+∞)�(�)−

�(2−�),1<�<2

1

�(�A)．≤0B�．C．D．

13

(−∞,2]−∞,12−∞,3912,+∞

【题型7抽象函数的性质及其应用】

【例7】（2026·甘肃·模拟预测）已知偶函数满足：，且，若，

221

则（）����+��+2=4����+2>0�2<0

�A20．215=B．C．D．

【变式7-1】（2026·河南·模拟2预测）已知是定义−在2上的奇函数，且对任−1意，都有

，则（）����,���+��=��+

�+A�．2�=B．1C．0D．

【变式7-2】（2026·江苏南京·三模）已知定义在上的非常数函数满足：−对1于任意都有：

R�(�)�,�∈R��+�=

，.下列选项正确的是（）

��A�．�+�是�奇+函�数��1=e−1B．是偶函数

C．��D．��

2

【变式7-�3】（020=2−6·1辽宁抚顺·一模）已知定义域为�2=的e函−数1满足，

，且当时，恒成立�，�则≠下0列结论正�确�的是（��+）���+��=����

�1A=．2�∈0,+∞��>0B．

2

�3=6�2�=2��

C．为奇函数D．在区间是单调递增函数

����0,+∞

【题型8函数性质的综合应用】

【例8】（2026·河北沧州·模拟预测）已知函数的定义域为，且为奇函数，当时，

，则关于的不等式��的解集为（�）��+1�<1

�2

��A=．e−e���−�−1B．≥0

C．−1,2D．−2,1

【变式8-1−】∞（,−20126∪高2三,+上∞·陕西延安·专题练习）已−知∞偶,−函2数∪1,的+定∞义域为，对任意的满足

，且在区间上单调递减，若��，�，�，则，，

21

432

�−�的大=小�关�+系2为（�）�−1,0�=log3�=log81�=4log22����

��A．B．

C．��>��>��D．��>��>��

【变式8-�2】�（>20�26�·广>东�广�州·一模）已知函数的�定�义>域�为�>，�且�为偶函

数，若，则（）��R��+1+��−1=2,��+2

115

A．�1016=2�=B1．�(1�1)5=C．114D．113

【变式8-3】（25-26高三上·广东深圳·阶段检测）已知函数的定义域为为奇函数，

，则（）���,�2�+1��+��+

2=A2．�1为奇函数

B．��的图象关于直线对称

C．��的最小正周期为�4=3

�2�

D．的图象关于点对称

1

�2�2,0

【题型9函数新定义】

【例9】（2026·甘肃定西·模拟预测）若定义在上的函数满足对任意均有

，则称为“函数”.已�知为“��函数”，且�,�∈�，��+�=，�则��2−

�+�2（−�）�����−2���−2�2=1�−1<0�0+

�47=

A．B．0C．D．1

22

【变式9-−1】2（2026·上海浦东新·模拟预测）设函数2的定义域为，若存在实数，使得对于任

意，都有，则称为＂�严�格增函数＂，�对于＂严格�增函�数>＂0)，有以下四个结

论：�∈���<��+����−�−

＂－严格增函数＂一定在上严格增；

①＂�－严格增函数＂��一定是＂�－严格增函数＂（其中，且）

∗

②函数�是＂��严格增函数�＂�（其中表示不大于�的∈最N大整数�）≥2

③函数��=�不�是−＂严格增函数＂（�其中表示不�大于的最大整数）

④其中，正�确�的=结�论−个�数有（�）−．��

A．1个B．2个C．3个D．4个

【变式9-2】（2026·上海·模拟预测）设函数的定义域为，若对任意实数，恒有

成立，则称函数具有“性质”．��R����+��=2�

(1)若一次函数Ω具有性质，其中，求实数，的值；

(2)若函数具�有�性=质��+，�且在Ω上严格增�>，0证明：��；

(3)若具有性��质的函数Ω满足��：存在R常数，使得对�任�意=�，都有．证明：具有该

性质的函数Ω是唯一�的�，并写出其解析式�．>0�∈R��−�≤�

��

【变式9-3】（2026·上海长宁·二模）设连续函数定义域为，区间，记函数在区间

上的最大值为，最小值为.�=����⊆��=���

(1)设���，�，�(若�)，求实数的值；

�

(2)设��=e−��，�=−1,1，�若��=�0，�且，求的值；

32

��=�−3��=�,�+2���−���=4−1≤�≤1�

(3)已知，，且对任意闭区间，与均存在.

求证：“�0=0在�区1间=1上严格增”的充要条�件⊆是0“,1对于�任�意�闭区�间�(�)、，当，

且�=��时，0均,1有.”�1�2⊆0,1���1=���2

���1=���2�1=�2

一、单选题

1．（2026·上海黄浦·一模）下列函数中，既是偶函数、又在上严格减的函数是（）

A．B．C．0,1D．

2−�

�=−��=−�，�=��=2

2．（2026·安徽合肥·一模）若是上的增函数，则实数的取值范围为（）

，

��+1�<1

��=��

A．B．ln�+2C�．�≥1D．

3．（20216,·+江∞苏南通·模拟预1测,+）∞已知函数的定2义,+域∞为，且是2,奇+函∞数，是偶函数，则

（）��R��−2�2�−1

�2A02．6=B．C．1D．2

4．（20−226·广西柳州·一模）0已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为（）

����

．．

A�−�B�−�

2+22−2

��=4�−3��=3−4�

．．

C�−�D

2−2�

��=4�−3��=�−1

5．（2026·四川成都·三模）已知是定义在上的周期为2的偶函数，当时，，

2

设，，�=�，�+则1的大小R关系为（）�∈1,2��=log�

145

�=�2�=�3�=�−4�,�,�

A．B．C．D．

6．（20�26<·广�东<·�模拟预测）�已<知�<�是上的奇函�数<，�<��<�<，�若在上单调递增，

且，则在上的最小�值�是（R）��−1−�3−�=0��0,1

�A1．=2��BR．C．D．

7．（20−246·海南·模拟预测）−已3知是定义在上−的2奇函数，且当时−1，，则不等式

3

的解集为（）����>0��=�−8�−

1�A�．≤0B．

C．−2,2D．−∞,−2∪1,2

8．（202−62·福,0建∪宁1德,2·二模）设是定义在上的函−数2,1，若∪2,+∞，当时，，称

函数具有性质，则下列函�数�具有性质�的是（）∀�1,�2∈��1<�2��1<��2

A�．���B．

−�,�≤0

��=�+sin���=3

C．D．�+1,�>0

11

��

二、多选�题�=2+1−2��=�−1e

9．（2026·甘肃·模拟预测）已知函数，则（）

2�−1

��=�−1

A．的图象关于点对称B．的图象关于直线对称

C．��的值域为1,2D．��在定义域上单调�递=减−�+3

��−∞,2∪2,+∞��

10．（2026·湖北武汉·模拟预测）已知函数是定义域为R的偶函数且，，且满足

1

����>0�0=2��+2=

，则（）

1

��

A．是周期函数

B．直�线�是图象的一条对称轴

C．�=2��

D．�3=3

10

�=1��=12

11．（2026·安徽·模拟预测）已知定义域为R的函数的图象关于直线对称，且对任意的，恒

3

有．若，则下列说�法�正确的是（）�=2�∈�

�A�．+��的+一3个=周�期2为0313�7=1B．直线为的图象的一条对称轴

9

���=2��

C．D．

2026

三、填空�题3=0�=1��=1

12．（2026·安徽安庆·模拟预测）设是周期为4的奇函数，当时，，则

��0≤�≤1��=−�1−�

__________．

9

�−2=

13．（2026·河北雄安·三模）函数的图象的对称中心为__________．

1

�

��=2−2

14．（2026·福建三明·二模）已知是定义在上的奇函数，，若在上单

�(�)

�(�)��(−2)=−4�(�)=�(0,+∞)

调递增，则不等式的解集为__________.

四、解答题�(�)≤2�

15．（2026·上海黄浦·三模）已知函数．

�−�

(1)判断函数